2021年兰州市一诊数学试题（理科）分析及备考建议

2021年兰州市一诊考试已经落下帷幕，纵观今年的数学试题，整体稳中有新，符合现阶段高三学生的复习备考要求。

整体来说，这套试题所考察的知识、方法、技能、思想都是数学中最重要、最基础的部分，可以反映出学生的基础是否扎实，并且有意识地在和新高考并轨，对于复习备考有一定的指导性。

下面我们进行详细的分析。个人见解，不当之处，万望海涵！

第1题考察了对数函数的定义域和集合的并运算，属于传统题型中的简单题。近年来，函数的定义域、值域与集合的交、并、补运算相结合的题型很多，似乎成了一个热点。不过相对来说比较简单，考察的也比较基础。

第2题是复数的运算。考察了复数的四则运算以及共轭复数的相关知识点，在求解复数z的过程中，有点儿解方程的意思。复数的四则运算一直是考察的重点，除此以外，在复习过程中，不应该只局限于复数的四则运算，还应照顾到复数相等、纯虚数等基本的概念。如果需要拓展，可以加强复数与向量的联系，这点符合新高考的大趋势。

第3题考察了双曲线的渐近线以及a,b,c之间的基本关系式，属于基础知识和基本技能的考察，在复习的时候，熟记相关知识点是非常有必要的，提高正确率的同时还应该提高解题速度，这道题的解题时间不超过一分钟才算是基本达标。

第4题是一道非常好的题，向量与几何问题的结合是近年来考察的热点，也是新高考的基本要求，出题人在出题过程中，明显的在靠近新高考的要求，这一点可以从大量的题目中看得出。解决这道题有三种方法，分别是几何法、坐标法、向量法（基底），其中坐标法应该是重点和核心方法，熟练运用坐标法解决几何问题这一点非常有必要进行重点训练，其次，利用向量解决几何问题也不可忽视，尤其是平面向量基本定理的应用。

第5题是乘法计数原理的基本运用。从这一道题可以看得出，出题人有意识地在弱化排列组合的相关知识，这与新高考的要求是一致的，因此，在备考过程中，适当关注新高考的内容与试题，提高复习的精准度。

第6题考察了函数图象的对称变换和平移变换。题型新颖、重点突出，主要还是考察学生对相关知识的理解能力。除了平移和对称变换的方法外，还可以得出f(1-x)的解析式，用特值法及图象入手而选择正确答案，这样就与函数图象选择的基本题型相一致，解题方法也完全相同。函数图象变换的考察一直都是热点和难点，往往都是喜欢出现在难度较大的题型中，而函数图象变换本身就是一个难点。在备考过程中，可以想办法突破这个难点。

第7题以古代中国数学文化为背景，考察了长方体的外接球问题，核心是割补法的运用。这是一类比较简单的外接球问题，凡是以长方体的顶点构成的几何体，其外接球就是长方体的外接球，这个知识点的突破还是很容易的。其他几何体的外接球问题相对难度较大，可以选择一些典型的题型进行突破。

第8题考察频率分布折线图与数据的基本数字特征之间的关系。题目提出了“平均差”的概念，其本质与方差、标准差等并无太大区别，还是注重考查学生知识迁移能力。统计图的考察一直都是高考的重点和热点，新高考更是提高了这一块内容的地位、增加了部分内容。统计小题注重的是统计图的定性分析和读图能力，只有频率分布直方图更多的考察相关计算，但是大题中出现的多。在备考过程中，不妨作个翻转，多练一些计算方面的小题，多看一些定性分析方面的大题。

第9题考察了椭圆的相关内容，难度不大，但是对于学生计算能力和观察能力有一定的要求，适合现阶段的学生做，但是距离高考的考察难度还是有一定的距离。第9题这个位置是简单题和综合题的分界线，已经具备相当的难度。因此在备考过程中，这类题型还是以中档题的训练为主，要求要有一定的计算量和综合程度。

第10题考察了等比数列的相关内容，太过于简单，既缺乏计算量的考察，也缺乏综合思维的考察，好一点的学生通过简单的计算就可以看出答案，从题目的角度讲，既缺乏新意，也没有高度。究其原因，可能是因为新高考降低了数列的考察难度，所以数列题才偏简单，这或许是出题人对于高考的预测。在备考过程中，还是抓住基本概念和基本方法，这总是合适的，没必要刻意提高难度，更不能随意降低要求。

第11题本来是一道好题，与新高考中的多项选择题相对应，难度不大，但是考点丰富。但是，第4个命题让人非常不舒服，感觉跟吃了苍蝇一样恶心。虽然也能说得通，但是感觉缺少了数学的那种精确和美感，从另一个方面来说，不同的理解可能也会有所冲突，更让人难受的地方在于，这个问题对于真正懂基本不等式的学生来说，反而可能做错，对于那些似懂非懂的学生，反而容易做得对。不知道出题人的真正意图，感觉这个题出的跟恶作剧似的，难受但又无处诉说。第11题中第3个命题是分段函数在定义域上的单调性问题，这个在复习的时候要照顾到，虽然分段函数求值的问题考察较多，但是对于分段函数的基本性质还是要引起足够的重视，这道题似乎也是在提醒这一点。

第12题考察函数的构造，是一道传统题型，只要多加训练，这类题型不难突破。在备考过程中，抽象函数的解题方法应该得到足够的重视，从简单到复杂，都可能考到，因此，抽象函数问题可能成为考察的热点和重点。

第13题考察频率分布直方图。分析可以参考第8题。

第14题考察线性规划问题。新高考删去了线性规划、框图、算法、三视图、定积分、系统抽样等内容，从整套题看来，这是唯一一道考察了新高考删去的内容。这部分删去的内容现在成了鸡肋般存在，弃之可惜、食之无味。完全放弃确实不敢，花太多的时间也不甘心。去年高考之前，很多人认为新高考删去的内容不再出现，结果是全国3套卷子均出现了相关内容，还不重复，似乎是在提醒我们，不能完全放弃，毕竟还不是真正的新高考。在备考过程中，还是以简单题为主，适当复习即可。

第15题考察了等差数列及三角函数求值，比较简单，具体可以参考第10题的分析。

第16题比较好，有一定的难度，主要考察截面问题，对学生的作图及直观想象能力有一定的要求，而且题目比较新颖，这类题要求思维细致灵活。

第17题考察了三角形中的相关计算，传统却又不失新意。在备考过程中，三角函数及解三角形始终是一个绕不过去的重点内容，必须花费一定的时间和精力将其完全吃掉。

第18题考察了立体几何中线面垂直及二面角的问题，涉及到向量法的运用，当然也可以不用向量而解决。立体几何中的计算一直都是备考的重点和难点。在备考过程中，一方面要熟记相关定理和概念，培养空间想象能力，另一方面还要提高计算能力和掌握相关的计算方法。

第19题考察纯概率问题。在备考过程中，概率与统计要双向并行，不可偏废，多关注概率与统计相结合的题型，并且难度要有所上升，不能只停留在简单计算和理解的层面上。概率统计题的难度近年来有明显的上升趋势，这一点也是新高考的要求，因此，认识到这一点，对我们的备考是相当重要的。

第20题是函数压轴题。对已知条件的变形能力是最基本的要求，转化、构造新函数成了考察的热点，也成了解题的突破点。对条件的多角度理解始终是解题的金钥匙。在备考过程中，以见多识广为主要任务，不建议花太多时间，还是多看看这类题，总结相关解题方法。

第21题考察了双曲线，第（1）问难度不大，第（2）问难度较大，尤其是计算量很大，化简很繁琐。在备考过程中，还是多掌握一些常规方法，以解题思路为备考重点。

第22题考察了参数方程和极坐标方程，都是一些常见题型。备考的重点依然在计算和方法层面，同时注意一些范围问题。

第23题考察绝对值函数和不等式。难度一般，重在理解和转化。

虽然这套题有很多的优点，但是，对于试卷所反映出来的问题，也是不容忽视，大部分题目老旧，缺乏新意，计算量不足，题目梯次不够分明（选择题尤其突出），甚至有刻意迎合新高考的问题。如何做好复习备考工作，其中的尺度依然需要老师们去掌握。