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都知道，保守力是指做功与路径无关的力。典型的保守力有重力、弹力、万有引力和静电场力等。但很多人不理解保守力的意思，是什么决定一个力做功与路径无关？为什么保守力会有势能？势能既然是位置的函数，有的人感觉应该能从数学的角度统一定义，但又不知道怎么弄。本文就来说说这些问题吧。 1 01 常见的保守力 先来撸一撸常见的几个保守力，已经深谙这部分的，可略过直接看下一节。 重力：质量为 的物体，以水平面为xy平面，竖直向上为z轴建立坐标系，如下图，设物体从空间a点沿任意路径运动到b点。 由于重力竖直向下，即为 根据做功的定义：将力对位矢从a点沿给定路径积分到b点，即为所做功，即 显然，上面第三个等号后面是一个定积分，其值不包含关于积分路径的任何信息，即做功与路径无关，只取决于始末位置，为保守力。 弹力：设劲度系数为 的弹簧水平放置，连接一个小球，以弹簧原长 位置为原点，水平向右的方向为x轴，如下图，设某时刻小球在a点，经历若干来回后，另一时刻位于b点。 根据上图所示坐标系，根据胡克定律，小球受回复力为 根据做功的定义 同样，做功的结果并不体现小球来回往返的信息，做功与路径无关，也是保守力。 万有引力：质量为 的质点，在质量为 的质点的引力作用下，从a点沿如图所示路径到b点。 以 为原点， 所受万有引力为 式中 为径向单位矢量，与 反向。万有引力做功为 大多数书上采用如上图微元法分析，稍微麻烦一点。若在极坐标系中分析，其实更直观，因为 ，故 由于 大小不变，故 必定与 垂直（具体可参看公众号文章“大学物理的数学必备(一）：矢量、微分与导数”），则 ，从而 做功与路径无关，也是保守力。 至于静电场力，因为库伦定律与万有引力形式类似，故证明类似，此处略。 再来看一个非保守力的例子：摩擦力。 考查一个质量为 ，在水平地面滑动的物体，设它经过一个任意路径 从a点运动到b点，设地面滑动摩擦系数为 。 则摩擦力做功为 结果含有路径长度，故做功与路径有关。 1 02 一个等价的定义 根据保守力的定义，可得到一个推论：保守力沿任意闭合路径做功为零。 如图，保守力沿闭合路径acbda做功为 根据保守力的性质，必有 ，故上式为零。 反过来，如果力对任意闭合路径做功为零，则总可以证明沿任意两点之间不同路径做功相等。 故上述推论与保守力的定义互为充要条件，可当作另一个等价的定义。 1 03 探求保守力的共性 好，回头看那几个保守力有何特点。 重力，看得出，是因为它是一个与空间位置无关的恒力（注意，方向也要恒定，所以摩擦力不是恒力）才导致做功与路径无关，若换其他恒力，例如 其中 , 和 是常数，则 做功也与路径无关。 因此，与位置无关的恒力是保守力。 弹力，虽然是一个变力，但由于它的方向始终在一条直线上，且只是位置坐标x的函数，这导致做功只取决于始末位置。若考虑力 其做功显然也与路径无关。因此，只与一个坐标有关，且沿一条直线方向的力是保守力。 万有引力和静电场力作为保守力，是因为它们都只与矢径 有关，这种力总是沿着一条指向中心点的连线上，称之为有心力，由以上证明可知，若将万有引力换作其他任意有心力 也可以证明其做功与路径无关。因此，有心力是保守力。 以上总结还算到位吧，据此可以确认不少保守力。但这种总结看起来只是一种经验罢了，缺乏一般性的结论，理论上，到底是什么原因导致一个力是保守力呢？ 想想，做功的定义是什么？ 对，是力对空间的积累，在数学上是力的矢量函数 对位置矢量 的积分，它是第二类曲线积分，可通过将力取切向分力而化成第一类曲线积分，即 这种积分在数学上满足什么条件时，其积分值与路径无关呢？或者说，数学上，有什么条件使得一个闭合曲线积分总等于零？ 赶紧翻我那久未谋面的同济版高数。 有了！斯托克斯公式（二维情况称作格林公式）告诉我们：任意闭合曲线 的环路积分，总可以化为任一以该曲线为边界的曲面 上的通量积分（严格来讲，曲线和曲面都应该是光滑的），即 此处 ，称作旋度。显然当 为零时，这个闭合曲线的积分不就等于零吗？不错！这就是高等数学中判定曲线积分与路径是否有关的一个重要定理。 实际上，数学上已经证明，“矢量函数 的旋度为零”这个命题，与'矢量函数 的闭合曲线积分为零'以及“矢量函数 的曲线积分与路径无关”这两个命题是等价的。 那么，旋度是什么呢？在直角坐标系中，它的定义是 看起来有点不好理解吧。简单的说，旋度是用来刻画矢量在空间的旋转，弯曲和卷缩的程度。 用上述定义检验发现，前面提到的几个典型保守力的旋度都为零。既然这样，那判断一个力是否是保守力，只需判断作为力的矢量函数是否有旋度即可。如果旋度为零，则就是保守力，而旋度不为零，则不是保守力。 下面构造一个假想的“力”看看，假设 可以验证，其旋度为零，因此它必定为保守力。再构造一个“力”，假设 其旋度不为零，因此不是保守力。实际上，这个力分布在一个环上，其方向沿着切线方向，有兴趣的同学可自行证明。 旋度在场论中使用很频繁，现代物理学认为，力的作用都是通过场以光速传递的，它决定了力的性质。人们用场线描绘场强的分布，如果这些场线形成闭合的旋涡状，那就是有旋度的，这种场就不是保守场，而如果场线都是不闭合的，则没有旋度，就是保守场。 记得中学学的磁场吗？用来形象描绘磁场的磁力线是闭合曲线，空间无论多小的区域，里面都有嵌套着的大大小小的磁力线的旋涡，这表示磁场的旋度不为零。那么根据以上所讲，磁场就不是保守场。 对静电场来说，它是用起始于正电荷，终止于负电荷的电力线描绘的，由于正负电荷不能在同一点，因此这种曲线就永远不会闭合，所以静电场就没有旋度了。而感生电场就相反，它类似于磁场，描述它的场线总是闭合的，其旋度不为零。根据以上所讲，静电场和感生电场分别是保守场和非保守场。 1 04 什么是势能？ 对保守力来说，由于做功与路径无关，因此任意两点a和b之间，沿任意路径做功的值，只与a和b的位置有关。换句话说，做功可以表示为a和b的位置的函数 ，即 现在空间中取一个定点c，既然保守力做功与路径无关，则从任意点a到b所做的功等价于先从a到c，再从c到b所做功之和，即 根据积分的性质，倒转积分方向，所得值反号，故 根据(1)式，将上式右边两项都表示为函数 ，即 既然c点是一个定点，即 是一个常矢量，则上述右边的 函数只与第一个自变量有关，将其改写为新的函数 ，即 那么从a到b，保守力所做功 可表示为 故得到结论：保守力所做的功，等于一个位置函数 的减少值。 可是，这个费半天得到的结论有何用呢？ 我们知道，功是能量转化的量度，做功必然伴随着某种形式的能量的转换，在力的作用下，如果动能增加了，必然是某种其他的能量减少了，而反过来，如果动能减少了，这些动能必然变成了某种其他形式的能量。 上面这段话对任意的力都成立，但对保守力，有了这句话，我想你应该马上意识到上面结论背后的意义了。 是的， 具有与功一致的量纲，因此，全空间看起来就像一个蓄能的池子，不同位置蓄能不同，而 就是空间各点的储能值，基于这种理解，人们称其为位能。但其更广为人知的名称是势能，表示保守力在对应位置做功的潜在能力。 放在阳台上的花盆对下面的人具有潜在的危险，因为它的质量配上所在位置，就拥有了相应的能量，具有做功的潜能，将它取下，它能量就减小了。 到目前为止，已经比较清楚了，势能和保守力之间，类似于老板和工人之间的雇佣关系，前者负责供给，后者负责实施。你消耗了体力（做正功），我就提供资源支持，你赚了工分（做负功），我就回收资源以备后用。总之，咱们搭配一起，蓄势待发。 然而它们之间是否存在一种确定的数学关系呢？也就是说，根据保守力，是否能把势能函数定下来呢？反过来，根据一个普通的函数，它是否对应一个保守力呢？ 1 05 从保守力到势能 根据上节(2)式可知，在数学上，一个保守力的势能函数 在两点之间的差值，总等于保守力在此两点之间的任意路径上所做的功。 对确定的两点，做功的值是确定的，即两点之间的势能差是确定的。那么，若在未知的势能函数 加上一个任意常量，(2)式依然成立。这说明，势能函数本身的值不确定。 再借用老板和工人的关系来理解：工人今天从老板那里支取了一笔款，但工人无法知道老板到底有多少钱，他只知道老板的资金在支出的瞬间减少了多少。 看来想从力出发得到确切的势能是不可能的了！那就退一步，能否找到那个带有常数项的函数呢？ 这就需要先确认一件事：保守力的势能函数一定存在吗？ 答案是肯定的：存在！ 其实上面的(2)式已经表明这一结论，只是不那么直白罢了。在数学上，关于函数的曲线积分与路径无关的判定问题，不光可根据前面提到的三条等价命题（上滑看下是哪三条），还有第四条等价命题，它明确此函数是存在的。 这第四个命题说的是：
可证明，若 是保守力（前三条中的任一条成立即可），则此命题也成立；反过来，若此命题成立，也可推出该力是保守力。也就是说，这个命题也是力作为保守力的充要条件，也可作为保守力的定义。 那么，该命题中的 就是势能函数吗？不， 才是！因为保守力做功导致势能减少，而非增加。设 ，则 其实，有同学可能早已看出，此式不过就是上面(2)式的微分形式罢了，之所以在这里啰嗦一遍，原因有二。 一个原因是，我想将这四个关于保守力的等价定义汇聚在此：
另一个原因是，我们可根据全微分方程的解得到势能函数。 在数学上，微分方程 的解就是要寻找的势能函数 。而微分方程的理论，当 是保守力时，这个方程的通解为 此即势能函数，其中 是任意常数。 若设 ，则相当于选取了点 为零势能参考点，这样就将全空间的势能确定为 注意：此处用三元函数表示，其实不过是前面提到的 具体到一个坐标系中的形式而已。 课本上常见的势能表达式形如 其中 为任意点。此式与上面(4)式是一致的，有兴趣者可自行证明。如果要说二者之间的区别在哪里，那么，它们除了看起来有点差别之外，更重要的是，(4)式给出了一种势能函数的傻瓜求法，而此式还只是做功的与势能关系的原始表述。 作为本节方法的验证，我们来求一下重力，弹力和万有引力的势能函数。 重力： ，根据上述方法，设 处势能为零，则势能为 弹力：根据 ，根据上述方法，设 处势能为零，则势能为 万有引力：根据 设无穷远处势能为零，势能为 1 06 从势能到保守力 势能 既然是一个普通的场函数，在直角坐标系中，其全微分为 将其与上面(3)式对比，由于 , 和 是任意的，则必有 写成矢量形式即为 如果用梯度算符表示，就是 哦，原来保守力是其势能函数的负梯度！ 相比从力得到势能，从势能得到保守力看起来简单多了——毕竟求偏导谁不会呢！ 有的同学可能已经想到：一个函数的梯度不总是没有旋度吗？来看是不是这样的，设有函数 ，其梯度的旋度为 行列式运算用起来——噢，果然为零！ 哦！难怪保守力没有旋度，它的出身——函数的负梯度，就令它遗传了这一基因。 1 07 为什么保守力总是内力？ 现在知道了，保守力做功的过程，总伴随着势能与动能的转换，动能好说，谁动就是谁的；但势能到底属于哪个？力的作用是相互的，保守力也不例外。缺了某一方，就没有力的作用了，那势能也就没了。 既然势能的“军功章”上，作用双方都有份，那当然只能是共同拥有了！比如，阳台上的花盆，重力势能是它的吗？不是，是它和地球共有的。 如此一来，当提到保守力时，应将作用双方都包含进来，否则势能的概念就失去了有效性，这使得保守力总是体现为系统的内力。反过来，外力中就没有保守力了。 哦！那问题来了，上面计算的势能，考虑了双方吗？ 回答这个问题之前，先来看看一对力做功的计算问题。 考虑一对质点a和b，彼此之间有沿着连线的保守力作用，选择另一个位置O作为原点，计算二者之间的保守力对彼此做功， 两个质点相互作用，设a受到b的作用为 ，b受到a的作用为 ，二者都产生位移，则这一对力做功之和为 根据 则有 根据矢量的加法， 表示a相对b的位置。可见：一对力做功之和等于以其中一个质点为参考点时，力对另一个质点所做的功。 回头看看第一节中那几个典型的力做功的计算问题，其实我们计算的本来就是作用双方对彼此做功之和，因为我们都是以其中一个施力物体质点作为参考点。 因此，上面问题的答案是肯定的。 想想重力势能的表达式 ，这个 总是相对地球上某个位置来说的，通常是地面，这说明我们熟悉的重力势能本身就是地球和重物所共有的。 现在更明白了，既然你常用的重力，弹力和万有引力的势能的计算方法本来就将双方的贡献都考虑了，在将其中某一方隔离开的时候，你还能继续使用势能的概念吗？当然不行啦！ 1 08 保守力与能量守恒 以上讲那么多，好像还没说到“保守力”的意思，“保守”二字到底什么意思呢？ 如果只是从字面来解释，英文 conservative 意思是“保守的”，是指一种不变的性质，即换不同的路径，力做功保持一致。 但保守力的内涵不止如此！ 在引入势能后，系统的保守力内力做功导致势能变化，总是满足 而根据系统的动能定理，内外力做功之和为动能的增量，即 其中 以上三式联合得 其中 表示动能与势能之和。这说明，只有外力和非保守内力才会导致系统的能量发生改变。若系统不受外力，则非保守力是导致系统能量改变的原因。换句话说，如果只有保守力做功，系统的能量守恒。 这应该才算是保守力和非保守力最重要的性质，即：保守力不改变系统的能量，而非保守力改变系统的能量。 诸君现在大概能体会“保守”二字的意思了，保守 Conservative，除了“守旧的，不变的”的意思之外，还表示“守恒”，实际上，它的名词 Conservation，本来就是“守恒”的意思，例如守恒律：Conservation Law，包括能量守恒定律。 且慢！到底是能量守恒还是机械能守恒？ 保守力不只局限于牛顿力学，每种保守力都保证它的势能与动能之间转换时，总量保持不变。一个体系如果涉及更多的保守力，则能量守恒的表述中所包含的能量的种类就相应增多。 例如，若你的系统中只有万有引力，则你的能量守恒律只是机械能守恒定律，而若你的系统中还有静电场力，那么你的能量守恒就是指机械能与电势能的总体守恒。 而如果你的系统中本来有某种保守力，但你没有考虑，那么你就会得出能量不守恒的结论，实际上它是守恒的。若你将世界上所有已知保守力都考虑了，那么你更容易得到一个能量守恒的系统。 这种内部作用力都是保守力的系统称为保守系统，它的能量守恒。 当然，如果你考虑一个孤立系统，它的总能量一定是不变的，但这并非意味着你知道体系含有多少能量，实际上系统内到底有哪些能量，你都并不确定，只是基于“孤立”二字的涵义，加上“能量既不能被创造，也不能被消灭”的理念，人们相信总的能量守恒，但若系统内部有热产生，它就不是一个保守系统。 1 09 到底什么是保守力？ 以上关于保守力性质所导致的问题讲的差不多了，现在终于可以聊聊保守力的本质问题了，到底什么原因导致了保守力？为什么有非保守力？ 我们知道，自然界的一切力都是源于微观粒子之间的相互作用，这些作用通过粒子间的相互作用势 描述，它只与作用双方的相对位置有关。例如万有引力的势能函数就是一个例子。 由于 不含时间，则空间中的作用力与时间无关，这叫时间的均匀性，意思是说，无论什么时候去实验，所得的力学规律（比如牛顿方程）都是一样的，因此也叫物理规律的时间平移不变性。 时间的均匀性会带来什么后果呢？举个例子来说明一下。 我们知道，地球表面的重力场是稳定的，所以仅考虑重力作用时，时间是均匀的。设想有一发电厂在用电低谷时，用水泵从河里抽一定量的水（质量 ）到水塔（高 ）上去，待用电高峰时放水发电。 在不考虑能量损失的理想情况下，由于时间的均匀性，所消耗的能量总是 。若时间不均匀，那么总能找特定时间抽水，使消耗的能量尽可能的少一些，但得到的电能却没有减少！这显然违背了能量守恒的规律。 也就是说，若相互作用不随时间变化，即时间的均匀性，必然导致能量守恒。实际上，根据守恒律与对称性，可从理论上推得这一结论，这里就不介绍了。 从这个意义上说，所谓保守系统能量守恒，就是时间的均匀性所导致的，是一种时空的对称性的结果。 讲到这里，一向爱思考的麦迪的问题来了，一起来看看他和我的对话。  按你这种思路下去，那就没有非保守力的事了，能量应该总是守恒的啊！ 是的，从微观的角度讲，的确是这样！但这次，我想抬杠的是：能量难道不守恒吗？   呃......守恒？ 问你两个问题，一，通常什么情况下，我们会得出能量不守恒的结论？第二，为什么我们会认为不守恒？  第一个问题很好回答：有热产生的情况下！比如炸弹爆炸，物体碰撞，摩擦生热等等；第二个问题也挺好回答：因为热不属于机械能，而我们只考虑机械能啊！ 嗯，不错！若你把热都算进去，系统能量不就守恒了嘛！ 是的！但问题是，这样就破坏了“动能和势能组成机械能”的设定了！ 可是，为什么要固守机械能这个观念呢？上面一节不是说了嘛，保守系统的能量不局限于机械能。 那总得必须是势能或者动能吧？难道热能也属于这二者中之一？ 不错！问到点子上了！ 的确，热能本质上就是一种动能，还记得中学物理学的那句话吗？
热能本质上就是动能。确切的说，不光有动能，热能还包含分子之间的相互作用的势能，也就是说，热能和机械能一样，也是动能和势能加起来得到的东东！ 因此可以说：机械能是宏观的动能和势能，而热能是微观的动能和势能！ 听到这里，麦迪看起来挺高兴，他又要和我讨论了。 按你的意思，所有像爆炸、碰撞这些过程，如果深入其内部看，能量其实是不变的？ 差不多是这个意思，不光如此，生物的、化学的变化也一样。 就是说所有的能量其实都可归于动能和势能？ 嗯，没错！ 咦？那这些过程的力本质上也应该是保守力了？既然总能量都守恒！ 微观上可以这么说，但宏观上，这些力不是保守力。 此话怎讲？ 因为宏观系统不满足时间反演不变性。 听我这么说，麦迪又懵了。 其实，保守系统除了具有时间平移不变之外，还有一个性质，那就是时间反演不变性。换句话说，力学规律在时间取反后保持不变，以牛顿方程为例 现在将时间反号，即 ，因为保守力与时间无关，所以左边不变；而右边的分母反号，但其分子上的动量因为与速度有关，也反号，这保证右边不变，方程保持不变。 你可能会问：对时间平移不变性，你讲了一个抽水的例子，我懂了个七七八八，但这时间反演不变性为何也是必须的呢？ 这实际上关系到对称性的概念，之所以叫不变，就是我们看不出有什么变化，或者认为是合理的。例如一个单摆从左摆到右，有人拍下来，倒放给你看，你看不出是在倒放。这说明，质点或者微观粒子的运动本来就应该满足时间反演不变性，否则就与我们人的直觉不一致。 说到这里，有的人可能会问：牛顿定律不是只适用于宏观体系吗？现在你拿它来说明微观体系满足时间反演不变性？ 这个问题问的很好！但牛顿定律的研究对象都是质点，即有质量没大小的点，没有内部结构，其内部的组份不参与任何作用，不是“由大量粒子构成的热力学系统”，不是宏观体系。 当然，此处直接抛出“微观体系的力学规律都满足时间反演不变性”的观点，理由的确不充分，毕竟需要量子理论才能真正说明这一点。但量子理论的确满足时间反演不变性。 目前发现，所有的微观过程中，只发现 介子在弱作用下的衰变破坏了时间反演不变性，足见“时间反演不变性”的规律还是非常可靠的。 麦迪有点迫不及待了，又向我抛出问题。 你的意思是，这些过程不满足时间反演不变性，所以那些力就不是保守力了？ 没错！ 但系统的总能量却是守恒的哦！不矛盾吗？ 不矛盾，这是一切宏观的热力学过程所具有的性质！它不再是保守系统了。 啊！你要跟我扯热力学第二定律吗？ 那倒不是，但的确与它有关。宏观过程虽然能量守恒，但具有方向性，所以系统变成非保守的了。 哦，那微观时的可逆性，到宏观时，为什么就这样没了呢？ 这个属于统计物理的问题，后面有机会再讲。 是的，就像麦迪同学和我讨论的那样，与微观过程的可逆性不同，宏观过程是不可逆的。微观时的保守力的集体作用，在宏观过程中变成了非保守力。 这些非保守力消耗动能，产生热并散失掉，且过程不可逆，因此这些力被叫做耗散力。耗散力与速度有关，根据牛顿方程 左边的力如果与速度有关，时间反演后，变为 ，但右边不变，因此规律变了，这就导致系统不再具有可逆性。 虽然这些过程的总能量守恒，但是能量转换不可逆，这背后是热力学第二定律在起作用，需要用概率统计来解释，这里就不扯太多了。 最后一个问题：有没有不属于耗散力的非保守力？ 有，典型如洛伦兹力，其表达式为 因为洛伦兹力与速度有关，本身就不构成矢量场。虽然它对任意闭合路径做功为零，但不是保守力。 当时间取反时，速度和磁场都反向，所以洛仑兹力具有时间反演不变性，这使得它的牛顿方程是可逆的。 1 10 总结 好了，该讲的都讲了，总结一下。 a. 保守力 是指做功与路径无关的力，它在数学上还有三个等价的定义，即1) 沿任意闭合路径做功为零的力，2) 是全微分的力，3) 旋度为零的力。 b. 每个保守力都对应一种势能函数 ，保守力做功与势能变化的关系是 c. 选择零势能参考点后，空间任一点a的势能就确定了，即 势能是系统内成员共有的，因此保守力一般都是内力。 d. 保守力是它的势能的负梯度，即 用梯度算符表示为 e. 在力学范围内，只有保守力做功时，系统机械能守恒。如果保守力超出力学范围，则能量守恒依旧成立，但势能必须包括那些新的保守力的势能。而若涉及到热能，虽然总能量守恒，但系统不再是保守系统。 f. 从微观本源上说，自然界的力都是保守力，保守力之所以不改变系统的能量，是由时间平移不变性导致的。此外，保守力还满足时间反演不变性。 g. 之所以出现了非保守力，是因为宏观系统的一切过程都不可逆，出现了耗散力，这使得能量转化不可逆，这是热力学第二定律所导致的。 |
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