专题七分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问
题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函
数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数
不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的
图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较的关系，要注意的范围以代入到正确的
解析式。4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一
段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的。例如：，将代入两段解析式，计算结果相同，那么此分
段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。（2）每一个含绝对值
的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：，可转化为：5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范
围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将
分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。二、典型例题例1：已知函数，若，则实数_____【答案】：【思路】：从里向外一层层求
值，所以例2：设函数，则的值为_________【答案】：【思路与解析】：由解析式可知，只有，才能得到具体的数值，时只能依靠
向正数进行靠拢。由此可得：，而【名师点睛】：含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠
拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取
负数时，可以不断直至取到正数。理解到这两点，问题自然迎刃而解。例3：函数，则不等式的解集是()A.B.C.D.
【答案】：B【思路与解析】：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要对的范围分类讨论以代入不同的解析式：当时，，可解得
：或。所以或；当时，解得，所以，综上所述：例4：已知函数，则不等式的解集是________【答案】：【思路与解析】：要想解不等式
，首先要把转变为具体的表达式，观察已知分段函数，，占据整个括号的位置，说明对于函数而言，括号里的式子小于0时，代入上段解析式，当
括号里的式子大于0时，代入下段解析式。故要对的符号进行分类讨论。（1）当时，，不等式变为：（2）当时，，不等式变为：例5：已知函
数，则不等式的解集为___________【答案】：【思路与解析】：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：
一是要顾及的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。所以考虑先搁置代数方法，
去分析的图像性质，发现的两段解析式均可作图，所以考虑作出的图像，从而发现是增函数，从而无论在哪个范围，，从而解得：或【名师点睛】
：含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解(比如例3，例4）
。另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式（比如例5）。例6：已知函数.若，则的取值范围是A．B．
C．D．【答案】：C【思路与解析】：本题可以对进行分类讨论，以将变成具体不等式求解，但也可从的特点出发，考虑判断的奇偶性，通
过作图可发现为偶函数，所以，所解不等式变为，再由图像可得只需，即【名师点睛】：（1）本题判断函数的奇偶性可以简化运算，而想到这一
点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示（2）由于两段图像均易作出，所以在判断奇偶性时用的是图
像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到，只是在代
入过程中要注意的范围：设，则，，所以，即为偶函数例7：已知函数，若，则的值域是_______________【答案】：【解析】：
是一个分段函数，其分段标准以的大小为界，所以第一步先确定好的取值，解不等式：，解得：，故，分别求出每段最值，再取并集即可例8：已
知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________【答案】：【思路与解析】：若在单调增，则在上任取，均有，在任取中就包含均
在同一段取值的情况，所以可得要想在上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：，但仅仅满足这个条件是不够的。还有一
种取值可能为不在同一段取值，若也满足，均有，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。代入，有左段右端，即综上所述
可得：例9：已知，则下列选项错误的是（）A.①是的图像B.②是的图像C.③是的图像D.④是的图像【答案】：D【思路
与解析】：考虑先作出的图像（如右图所示），再按照选项进行验证即可：A.为向右平移一个单位，①正确；B.为关于轴对称的图像，②正
确；C.为正半轴图像不变，负半轴作与正半轴关于轴对称的图像，③正确；D.的图像为在轴上方的图像不变，下方图像沿轴对称翻折。而图
像均在轴上方，所以应与图像相同。④错误例10：函数，则下列结论正确的是（）A.函数在上为增函数B.函数的最小正周期为4C
.函数是奇函数D.函数无最小值【答案】：A【思路与解析】：可观察到的图像易于作出，所以考虑先作图，再看由图像能否判断各个选项
，如图所示可得：BC选项错误，D选项存在最小值，所以D错误，A选项是正确的。【名师点睛】：（1）本题利用数形结合是最为简便的方法，
一方面是因为本身便于作图，另一方面四个选项在图上也有具体的含义。（2）分段函数作图过程中，尤其在函数图象断开时，一定要注意端点处属
于哪个解析式。本题中就属于部分，所以才存在最小值。三、近年模拟题题目精选1、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在
上恒成立，则的取值范围为A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，∴，则.当时，，
即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.故选C.【名师点睛】本
题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知
函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）【答案】C【
解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并
且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即.故选C．【名师点睛】
该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将
式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首
先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图象
，再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.3、【2017年高考天津理数】已知函数设，
若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式可化为()，当时，()式即，即，又
（当时取等号），（当时取等号），所以，当时，()式为，．又（当时取等号），（当时取等号），所以．综上，．故选A．【名师点睛】首先
将转化为，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的取
值范围．4、【2018年高考江苏】函数满足，且在区间上，则的值为________．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此【
名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次
求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的
值是否满足相应段自变量的取值范围.5、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是__
_________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4)；【解析】由题意得或，所
以或，即，故不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【名师点
睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值
范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围
；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数
的图象，然后数形结合求解．6、【2018年高考天津理数】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是________
______.【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则；当时，方程即，整理可得：，很明显不是
方程的实数解，则.令，其中，，则原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图
象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分
类讨论和两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果
能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)
＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，
画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.7、【2017年高考浙江】已知aR，函数在区间[1，4]上的
最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值为，舍去；②当时，，此时命题
成立；③当时，，则：或，解得或．综上可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理
，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．8、【20
17年高考全国Ⅲ卷理数】设函数，则满足的x的取值范围是_________.【答案】【解析】令，当时，；当时，；当时，，写成分段函数
的形式：，函数在区间三段区间内均单调递增，且，可知x的取值范围是.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于
哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所
求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.9、已
知函数若，则______【答案】：【解析】：，所以10、已知，若，则__________.【答案】：或【解析】：若，则，无解；若，
则，由解析式可得：或11、（2019，湖州中学期中）函数,若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】：C【解析】：
当，即时；，故，故不成立；当，即时；，又在上显然成立即故，故选C．12、已知，则的解集为______________【答案】：【解
析】：时，，可得，当时，，综上可得：13、（2019，北京模拟）设函数①若，则的最小值为________②若恰有2个零点，则实数
的取值范围是__________【答案】：①②或【解析】：①时，，当时，，当时，，综上所述可得：②当时，为单调增函数
，且，当时，解析式可能的零点为，因为恰有2个零点，所以的区域中至少有一个零点。当时，可知在各有一个零点，符合题意。当时，在已有两个
零点，所以在不能有零点，故，综上所述：或14、（2019，福建模拟）若函数的值域是，则实数的取值范围是___________【答案
】：【解析】：从常系数函数入手，时，可得：，所以当时，的值域应为的子集，从而可知，所以，则，所以15、（2019，新课标II预测
）设函数，则（）A.B.C.D.【答案】：C【解析】：由分段函数可得：，因为，所以，则16、（2019，
山东模拟）设函数，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】：C【解析】：可将视为一个整体：，则有，根据分段函数特点可推断出，即，所以有或，解得：17、已知函数，则的值域是（）A.B.C.D.【答案】：C【解析】：，由三角函数性质可得：，即可求得值域为18、已知函数，无论为何值，函数在上总是不单调，则的取值范围是____________【答案】：【解析】：由得，解得，所以在单调递增，在单调递减。对于可知为单调函数或水平线。当单调递增时，无论为何值，只要将取到足够小，总能使为增函数。当单调递减或是为水平线时，可知恒不单调。所以19、已知，且，则使不等式成立的还应满足的条件为（）A.B.C.D.【答案】：D【解析】：观察可得题目条件具备轮换对称的特点，所以可以给定序，不妨设，又由可知异号，从而，所以：即 |
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