2021年初三数学期中测试卷（附答案）一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．在下列
实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列全国各地地铁标志
图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（）A．对广水市中学
生每天学习所用时间的调查B．对全国中学生心理健康现状的调查C．对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查D．对广水市初中
学生视力情况的调查4．正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．5．下列图形中，能确定∠1＞∠2的是（）
A．B．C．D．6．已知△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°7．一元二
次方程x（x﹣2）＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．如图，将
矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点F，∠EDF＝38°，则∠DBE的度数是（）A．25°B．
26°C．27°D．38°9．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能
确定10．根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（
）A．李飞或刘亮B．李飞C．刘亮D．无法确定11．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延
长线一点，当PA＝CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（）A．B．C．D．12．已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得P
A，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论：①△ABD可以由△
APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB＝150°；④S△APC+S△APB＝，其中正确的结论有（
）A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④二、填空题（本大题共8小题；共24分）13．﹣2的倒数是．14．若关于x的一元二次方程
（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是．15．若关于x的不等式的解集在数轴上表示为如图，则其解集为．16．在△
ABC中，已知∠B＝55°，∠C＝80°，则∠A＝．17．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠A
CD＝120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为．18．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观
察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第20个“稻草人”中有个“○”．19．如图，O为坐标原点，矩形OABC中，A（﹣8，0），C
（0，6），将矩形OABC绕点O旋转60°，得到矩形OA′B′C′，此时直线OA′与直线BC相交于P．则点P的坐标为．20．如图
，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为（1，0），（3，0），（0，1），点C在第四象限，∠ACB＝90°，AC＝BC．若△A
BC与△A''B''C''关于点D成中心对称，则点C''的坐标为．三、解答题（本大题共8小题；共60分）21．计算：+×．22．解方程
：＝1﹣．23．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离
相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？24．水库大坝截面
的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和
面积．25．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购
买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树
苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？26．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来4
8天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：时间t（天）13
6102040…日销售量y（kg）1181141081008040…（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天
的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠
n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．27．
如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点，（1）求证：△ADQ∽△QCP；（2）若AB＝10，连接B
D交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长．28．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图
形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图
”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺X
YZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平
分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相
交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．2019年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（一
）参考答案与试题解析一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．在下列实数中：
0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数是无限不循环小
数，可得答案．【解答】解：，0.343343334…是无理数，故选：B．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是
有限小数或无限循环小数．2．下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称
图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错
误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图
形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与
原图重合．3．下列调查中，最适宜采用全面调查方式的是（）A．对广水市中学生每天学习所用时间的调查B．对全国中学生心理健康现状的
调查C．对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查D．对广水市初中学生视力情况的调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准
确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可．【解答】解：对广水市中学生每天学习所用时间的调查适宜
采用抽样调查方式；对全国中学生心理健康现状的调查适宜采用抽样调查方式；对某班学生进行6月5日是“世界环境日”知晓情况的调查适宜采用
全面调查方式；对广水市初中学生视力情况的调查适宜采用抽样调查方式；故选：C．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查
还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查
，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】
根据正比例函数的性质；当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限选出答案即可．【解答】解：因为正比例函数y＝kx（k＞0）
，所以正比例函数y＝kx的图象在第一、三象限，故选：D．【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y＝kx中，
当k＞0时，y随x的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，直线经过第二、四象限．5．下列图形中，能确定
∠1＞∠2的是（）A．B．C．D．【分析】分别根据对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质对四个选项进行逐一判断即可．【解答
】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，故本选项错误；B、若两条直线平行，则∠1＝∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无
法进行判断，故本选项正确；C、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；D、∵已知三角形是直角三角形，∴由直角
三角形两锐角互余可判断出∠1＝∠2．故选：C．【点评】本题考查的是对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟
知以上知识是解答此题的关键．6．已知△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（）A．50°B．60°C．70°D．80
°【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝70°，∠B＝60°代入计算即可．【解答】解：∵∠A+
∠B+∠C＝180°，而∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°．故选：A．【点
评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．7．一元二次方程x（x﹣2）＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实
数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先把原方程变形为：x2﹣2x＝0，然后计算△，得到△＝4＞0，根
据△的含义即可判断方程根的情况．【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x＝0，∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，∴原方程有两个不相
等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0，（a≠0）根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，原方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．8．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，
点C落在点E处，BE与AD相交于点F，∠EDF＝38°，则∠DBE的度数是（）A．25°B．26°C．27°D．38°【分析】
根据翻折的性质可得∠1＝∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠3，从而得到∠2＝∠3，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可
得解．【解答】解：由翻折的性质得，∠1＝∠2，∵矩形的对边AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，在△BDE中，∠2+∠3+∠ED
F＝180°﹣90°，即2∠2+38°＝90°，解得∠2＝26°，∴∠DBE＝26°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，翻
折变换的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．9．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍
C．缩小5倍D．不能确定【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．【解答】解：∵各边都扩
大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选：A．【点评】用到的知识点为：三边对
应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关．10．根据李飞与刘亮射击训练的成绩
绘制了如图所示的折线统计图．根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（）A．李飞或刘亮B．李飞C．刘亮D
．无法确定【分析】根据折线统计图得出两人射击成绩，再计算出两人成绩的方差，据此即可作出判断．【解答】解：李飞的成绩为5、8、9、7
、8、9、10、8、9、7，则李飞成绩的平均数为＝8，所以李飞成绩的方差为×[（5﹣8）2+2×（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+3
×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝1.8；刘亮的成绩为7、8、8、9、7、8、8、9、7、9，则刘亮成绩的平均数为＝8，∴刘亮成绩
的方差为×[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]＝0.6，∵0.6＜1.8，∴应推荐刘亮，故选：C．【点评】本题
主要考查折线统计图与方差，解题的关键是根据折线统计图得出解题所需数据及方差的计算公式．11．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB
上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA＝CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】过
P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出
FD＝CD，推出DE＝AC即可．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．如图所示：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝
∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PF
D和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝1，∴DE＝．故选：A．【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性
质等知识点的应用；证明三角形全等是解决问题的关键．12．已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，
5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论：①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到
；②点P与点D的距离为3；③∠APB＝150°；④S△APC+S△APB＝，其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③
D．②③④【分析】由线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，根据旋转的性质有AD＝AP，∠DAP＝60°，再根据等边
三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，易得∠DAP＝∠PAC，于是△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；△ADP
为等边三角形，则有PD＝PA＝3；在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角
三角形，且∠BPD＝90°，则∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°；由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC
，则有S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的倍和直角三角形的面积
公式即可得到S△ADP+S△BPD＝×32+×3×4＝6+，可判断④不正确．【解答】解：连PD，如图，∵线段AP以点A为旋转中心顺
时针旋转60°得到线段AD，∴AD＝AP，∠DAP＝60°，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴∠DAB+
∠BAP＝∠PAC+∠BAP，∴∠DAP＝∠PAC，∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确；∵DA＝PA，
∠DAP＝60°，∴△ADP为等边三角形，∴PD＝PA＝3，所以②正确；在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，
∵32+42＝52，即PD2+PB2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，且∠BPD＝90°，由②得∠APD＝60°，∴∠APB＝∠A
PD+∠BPD＝60°+90°＝150°，所以③正确；∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC+S△APB＝S
△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD＝×32+×3×4＝6+，所以④不正确．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前
后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与
性质、勾股定理的逆定理．二、填空题（本大题共8小题；共24分）13．﹣2的倒数是．【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．【
解答】解：﹣2的倒数是﹣．【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，
0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．14．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0
的一个根为0，则m值是﹣2．【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0
，然后解关于m的一元二次方程即可．【解答】解：根据题意，得x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，∴m2﹣
4＝0，解得，m＝±2；又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，∴m＝﹣2；故答案为：﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．
解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件．15．若关于x的不等式的解集在数轴上表示为如图，
则其解集为﹣3＜x≤5．【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点
包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由图可得，则其解集为﹣3＜x≤5，
故答案为：﹣3＜x≤5．【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上表示的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤
向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个
就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．16．在△ABC中，已知∠B＝55°，∠C＝
80°，则∠A＝45°．【分析】根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．【解答】解：∵∠B＝55°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°，是基础题，认真计算即可．17
．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中
阴影部分的面积为2﹣．【分析】连接OC，求出∠D和∠COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求
出答案．【解答】解：连接OC，∵AC＝CD，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OC
D＝90°，∴∠COD＝60°，在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，OC＝2，∴CD＝2，∴阴影部分的面积是S△OC
D﹣S扇形COB＝×2×2﹣＝2﹣π，故答案为：2﹣π．【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，切线的性质，扇形的面
积，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积，题目比较典型，难度适中．18．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次
摆放，观察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第20个“稻草人”中有385个“○”．【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数
为1+4＝5；第2个图形中小圆的个数为1+5+1＝7；第3个图形中小圆的个数为1+6+4＝11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9
＝17；…由此得出第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．据此可以求得答案．【解答】解：∵第1个图形中小圆的个数为1
+4＝5；第2个图形中小圆的个数为1+5+1＝7；第3个图形中小圆的个数为1+6+4＝11；第4个图形中小圆的个数为1+7+9＝1
7；…∴第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．∴第20个“稻草人”中的“○”的个数为1+23+192＝385，故答
案为：385．【点评】此题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式
必须符合所有的图形．19．如图，O为坐标原点，矩形OABC中，A（﹣8，0），C（0，6），将矩形OABC绕点O旋转60°，得到矩
形OA′B′C′，此时直线OA′与直线BC相交于P．则点P的坐标为（﹣2，6）或（2，6）．【分析】作出图形，有两个解，利用直
角三角形的30°的性质可以解决问题．【解答】解：如图，矩形OABC绕点O旋转60°，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，所以有两种可
能，见图．∵∠AOP1＝60°，∠AOC＝90°，∴∠COP1＝30°，在RT△COP1中，∵OC＝6，∠COP1＝30°，∴CP
1＝2，∴点P1坐标为（﹣2，6），根据对称性，P1、P2关于y轴对称，∴P2坐标（2，6）．故答案为（﹣2，6）或（2，6）．【
点评】本题考查矩形的性质．直角三角形的30度角的性质，解题的关键是正确画出图形，熟练掌握30度角的性质，善于观察利用对称性就很容易
解决问题，善于中考常考题型．20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为（1，0），（3，0），（0，1），点C在第四象限
，∠ACB＝90°，AC＝BC．若△ABC与△A''B''C''关于点D成中心对称，则点C''的坐标为（﹣2，3）．【分析】如图，作C
H⊥AB于H．设C′（m，n）．求出点C坐标，利用中点坐标公式即可解决问题．【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．设C′（m，n）．
∵A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝2，∵△ABC的等腰直角三角形，CH⊥AB，∴AH＝HB＝1，CH＝A
B＝1，∴C（2，﹣1），∵C，C′关于D对称，D（0，1），∴＝0，＝1，∴m＝﹣2，n＝3，∴C′（﹣2，3）．故答案为（﹣2
，3）．【点评】本题考查中心对称，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三
、解答题（本大题共8小题；共60分）21．计算：+×．【分析】先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝2
+3＝2+3＝5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二
次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．22．解方程：＝1﹣．【分析】分
式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x＝x﹣2+1，移项合
并得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整
式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地
，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基地E应建在离A站多少千
米的地方？【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜边相等两次利用勾股
定理得到AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为x，则BE＝10﹣x，将DA＝8，CB＝2代入关系式即可求得．【解答】解：设基地E
应建在离A站x千米的地方．则BE＝（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2＝DE2∴302+x2＝DE2…
在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2＝CE2∴202+（50﹣x）2＝CE2又∵C、D两村到E点的距离相等．∴DE＝C
E∴DE2＝CE2∴302+x2＝202+（50﹣x）2解得x＝20∴基地E应建在离A站多少20千米的地方．【点评】考查了勾股定理
的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可．24．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之
比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30米，坝顶宽CD＝10米，求大坝的截面的周长和面积．【分析】先根据两个坡比求出
AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案
．【解答】解：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE＝30m，∴AE＝18米，在RT△ADE中，AD＝＝6米∵背水
坡坡比为1：2，∴BF＝60米，在RT△BCF中，BC＝＝30米，∴周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC＝6+10+30+88
＝（6+30+98）米，面积＝（10+18+10+60）×30÷2＝1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，
面积是1470平方米．【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾股定理的应用，解答本题关键是理解坡比
所表示的意义．25．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元
；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公
司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？【分析】根据设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]
＝8800，进而得出即可．【解答】解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该
校共购买了x棵树苗，由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]＝8800，解得：x1＝220，x2＝80．当x＝220时，120﹣
0.5×（220﹣60）＝40＜100，∴x＝220（不合题意，舍去）；当x＝80时，120﹣0.5×（80﹣60）＝110＞10
0，∴x＝80．答：该校共购买了80棵树苗．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知“如果购买树苗超过60棵，每增加1棵
，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元”得出方程是解题关键．26．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现
，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表
：时间t（天）136102040…日销售量y（kg）1181141081008040…（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关
系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销
售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n
的取值范围．【分析】（1）设y＝kt+b，利用待定系数法即可解决问题．（2）日利润＝日销售量×每公斤利润，据此分别表示前24天和后
24天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．（3）列式表示前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围．
【解答】解：（1）设y＝kt+b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114代入得到：解得，∴y＝﹣2t+120．将t＝30代入上式
，得：y＝﹣2×30+120＝60．所以在第30天的日销售量是60kg．（2）设第t天的销售利润为w元．当1≤t≤24时，由题意w
＝（﹣2t+120）（t+30﹣20）＝﹣（t﹣10）2+1250，∴t＝10时，w最大值为1250元．当25≤t≤48时，w＝（
﹣2t+120）（﹣t+48﹣20）＝t2﹣116t+3360，∵对称轴t＝58，a＝1＞0，∴在对称轴左侧w随t增大而减小，∴t
＝25时，w最大值＝1085，综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．由题意m＝
（﹣2t+120）（t+30﹣20）﹣（﹣2t+120）n＝﹣t2+（10+2n）t+1200﹣120n，∵在前24天中，每天扣除
捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴﹣＞23.5，（见图中提示）∴n＞6.75．又∵n＜9，∴n的取值范围为6.75＜n＜9
．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数
的性质求解时，正确表达关系式是关键．27．如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点，（1）求证：△A
DQ∽△QCP；（2）若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长．【分析】（1）根据正方形的性质可表示出P
C，DQ，CQ，AD的长，从而根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定．（2）根据相似三角形的对应边成比例
及已知不难求得BM，QN的长．【解答】证明：（1）∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝﹣BC，CQ＝DQ＝CD
，且BC＝CD＝AD∴PC：DQ＝CQ：AD＝1：2∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°∴△PCQ∽△ADQ（2）∵△BMP∽△AMD∴B
M：DM＝BP：AD＝3：4∵AB＝10，∴BD＝10，∴BM＝同理QN＝【点评】此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定
及性质的综合运用．28．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个
简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B
、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝40°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．②结合图形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由（2）的方法，进而可得答案．【解答】解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；③∠BG1C═（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°∴（140﹣x）+x＝77，14﹣x+x＝77，x＝70∴∠A为70°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．第1页共67页 |
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