中考数学压轴题分析：平行四边形的存在性问题

【中考真题】

（2020·常德）如图，已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线过点，，且与抛物线交于另一点，与轴交于点，求证：；
（3）若点，分别是抛物线与直线上的动点，以为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点坐标．

【分析】

题（1）利用待定系数法即可求解。
题（2）先求直线l的解析式，然后联立得到点坐标，并求出线段MC、MA和MB的长度即可。
题（3）是典型的两定两动型平行四边形的存在性问题。由于OC在y轴上，因此只需使得PD与OC平行且相等即可。设未知数建立等量关系再求解，需要排除与OC重合的情况。
【答案】解：（1）把点代入，
得到，
，
抛物线的解析式为．

（2）设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为，
令，得到，
，
由，解得或，
，
如图1中，过点作轴于，过作轴于，则，

，，
，
即．
（3）如图2中，设

为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形，
，，
，
，
整理得：或，
解得或或或0（舍弃），
，或，或．