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一个存在80年之久的代数猜想

2021-04-19  lindan9997
一个存在80年之久的代数猜想
2021-04-16 19:53

本文来自微信公众号:原理(ID:principia1687),作者:E. Klarreich,编译:佐佑,图片:岳岳子&雯雯子,原文标题:《数学家找到单位猜想的一个反例》,头图来自:《美丽心灵》

2月22日,数学家Giles Gardam在网上进行了一场长达一个多小时的演讲,演讲的内容是与K理论有着深厚渊源的单位猜想。这个猜想是一个基本却又令人困惑的代数问题,自被提出以来,已经困扰了数学家80多年之久。

1940年,英国数学家格雷厄姆·希格曼(Graham Higman)在他的博士论文中提出了单位猜想和零因数猜想;1956年,20世纪最杰出的数学家之一欧文·卡普兰斯基(Irving Kaplansky)在一份演讲报告中提到了零因数猜想;到了1970年,卡普兰斯基在一篇题为《环理论的问题》的论文中,正式提出了单位猜想和零因数猜想。

现在,单位猜想与零因数猜想和幂等猜想被统称为卡普兰斯基猜想。在卡普兰斯基的努力下,这些猜想受到了更多的关注。但一直以来,这些猜想都仍处于未决的状态。在近期的这场演讲中,Gardam介绍了单位猜想的发展史,以及与零因数猜想和幂等猜想有关的一些信息。在演讲的最后时分,他突然告诉大家:“现在是时候告诉大家一些新东西了——单位猜想实际上是错误的。”消息一出,便引起了许多数学家的注意,因为卡普兰斯基猜想与邻近数学领域的一些其他问题有关。

单位猜想涉及到群论中的大量知识。群论研究的是那些定义了可逆结合的乘积运算的集合。一个能够被称为群的集合,需要在其乘法运算的表现是正确的情况下,还满足两个额外的要求:一是集合中必须包含一个这样的特殊元素(通常被标记为“1”),当它与其他元素相乘时,其他元素能维持不变;二是每个元素g都必须有一个乘法逆元(写作“g-1”),且当它与g相乘时等于1(g×g-1=1)。

单位猜想所探讨的问题是:在一个代数结构族中,有哪些元素具有乘法逆元?不过它所考虑的并不是普通数字的乘法逆元,而是群代数(一种将数字系统与一个群结合起来的结构)中的元素的乘法逆元。

在许多方面,群代数中的元素与多项式很类似,只不过它们之间存在一个关键区别:对于多项式来说,当两个多项式相乘,有些项可能会相互抵消,但指数最高的那项中总会留下,比如(x - 1)(x + 1)=x2+x-x-1,互相抵消的是x和−x,x2仍然存在;但在群代数中,群的元素之间的关系可能导致一些其他的难以预测的抵消。

举个例子,假设有一个群是字母“A”的对称变换的集合,这个群只有两个元素:一是让每个点都维持在原有位置的转换(即“1”);二是通过中央垂直轴进行的两次反射(记为“r”),反射两次会使每个点都复原到原来的位置,r×r=1。在这种情况下,如果将r+2与−r/3+2/3相乘,那么会发现几乎所有的项都抵消了,只留下了1。于是乎r+2和−r/3+2/3是一对乘法逆元。

在1940年,希格曼提出一个大胆的猜想,他认为在群代数中,这种所有项都全部抵消的情况,只在用于构造群代数的群包含某些幂等于1的元素时才会发生。他提出,在所有其他群代数中,只有最简单的元素才有乘法逆元,即只含一项的元素(如3x)可以具有乘法逆元,具有多个项的和(如r+2)的元素不具有乘法逆元。

卡普兰斯基呼吁更多数学家来关注这个猜想,他将单位猜想与零因子猜想和幂等猜想打包在一起并进行了推广。再后来,有人将强大的代数K理论引入其中,这使一些数学家得以为零因子猜想和幂等猜想提供一些证据,但对单位猜想始终无能为力。

在很长一段时间里,数学家既不能证明这个猜想,也不能找到其反例。许多数学家都已经放弃了这三个猜想,将证明或推翻它们都视为无望之事。直到现在。

Gardam通过在由一种特定三维晶体形状的对称性构成的群代数中,发现了不同寻常的“单位”,他在这个群代数中发现了具有乘法逆元的元素,因而证明了单位猜想是错误的。在一篇于2月25日向arXiv提交了一篇文章,Gardam简单描述了他通过利用三维晶体形状的对称性结构,找到了单位猜想的一个反例。

在Gardam的证明中,他用到了一个简单的被称为Hantzsche-Wendt的群,这个群描绘了一种被物理学家认为是宇宙形状的可能模型的对称性,而这种形状是通过将三维晶体的侧面粘合起来而建立的。Hantzsche-Wendt群是一个无限群,即使对于群代数中的简短的和,也存在无限多种可能性。在2010年,有数学家证明,即使在Hantzsche-Wendt群中存在单位猜想的反例,也不会存在于最简单的求和之中。

Gardam由Hantzsche-Wendt群建立的群代数中,找到了一对分别具有21项的乘法逆元。找到这一对乘法逆元需要计算机进行大量的复杂搜索,但验证它们是否是一对乘法逆元则并不困难,只需将它们相乘,再检查得到的441项乘积是否可以简化为1。

对于成功找到的这一反例,Gardam表示,这更多的是一个概念性的证明,虽然目前无法预知这个反例将如何影响其他卡普兰斯基猜想,但这表明了研究这个问题并非无望之事。

目前,Gardam还尚未公布他的算法细节,一旦公布,其他数学家或许就找到更多的反例。有数学家推测,或许在不久的未来,我们就将找到无数个反例。接下来,留给数学家的任务将是理解Gardam的复杂单位背后的原理。

#参考来源:

/mathematician-disproves-group-algebra-unit-conjecture-20210412/ 

/pdf/2102.11818.pdf 

/MathematicsMuenster/news/artikel/2021-03-04.shtml

本文来自微信公众号:原理(ID:principia1687),作者:E. Klarreich,编译:佐佑,图片:岳岳子&雯雯子

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