第一章多项式§7多项式函数§1数域§8复、实系数多项式的因式分解§2一元多项式§3整除的概念§9有理系数多项式§4
最大公因式§10多元多项式§5因式分解§11对称多项式§6重因式一、数域定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0
与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．常见数域：复数域C；实数域R；有理数域Q；
（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）说明：1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P中，则说数集P对这个运算是封闭的．2
）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称集P为一个数域．数域的性质定
理任意数域P都包括有理数域Q．即，有理数域为最小数域．设是一个符号（或称文字），是一其中常用等表示．二、一元多项式的定
义定义个非负整数，形式表达式称为数域P上的一元多项式．多项式中，①称为i次项，称为i次项系数．②若则称为
的首项，为首项系数，n称为多项式的次数，记作③若，即，则称之零多项式零次多项式注：为零多项式．零多
项式不定义次数．区别：对一定存在使成立，其中或并且这样的是唯一决定的．称为除的商，为除
三、除法1、定理的余式．设若存在使则称整除记作①时，称为的因式，为的倍式．②不能整除时记作：整除1．
定义③允许，此时有即④当时，如果则除所得的商可表成零多项式整除零多项式，有意义．区别：除数为零，
无意义．整除的判定定理11)对有对有2)若，则时，与有相同的因式和倍式．整除的性
质即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式．3)若则5)若则对有4)若（
整除关系的传递性）6)整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．若且则称为的公因式．
若i)ii)若，且
，则则称为的最大公因式．四、公因式最大公因式1．公因式:满足:2．最大公因式:满足：①
的首项系数为1的最大公因式记作:②，是与零多项式0的最若不全为零，则若为的最大公因式，则，c
为非零常数．注：大公因式．③两个零多项式的最大公因式为0．④最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.引
理：若等式成立，则与有相同的公因式,从而．最大公因式的存在性与求法定理2对，在中
存在一个最大公因式，且可表成的一个组合，即，使．②定理２中最大公因式中的不唯一.③
对于，使,但是未必是的最大公因式.说明:①定理２中用来求最大公因式的方
法，通常称为辗转相除法．④若，且则为的最公因式．求，并求使例1解
:且由得例2.设求，并求使若则称为互素的(或互质的)．互素除去零次多项式外无
互素1．定义:说明:由定义，其它公因式．定理3互素，使显然．设为的任一公因式，则从而又故2．互素
的判定与性质证：定理4若，且，则又证：使于是有由定理4有推论若，且而，则于是
，使从而，使又证:设，且
，若不能表示成数域P上两个次数比低的多项式的乘积，则称为数域P上的不可约多项式.五、
不可约多项式定义：说明：①一个多项式是否不可约依赖于系数域.②一次多项式总是不可约多项式.③多项式
不可约的因式只有非零常数及其自身的非零常数倍.④多项式不可约，对有或证：设
则或即或不可约.
，若则或证：若
结论成立.若不整除，则不可约，则必有某个使得定理5：推论：
若，则可则，且适当排列因式的次序后，有其中
是一些非零常数．因式分解及唯一性定理1.定理：唯一地分解成数域P上一些不可约多
项式的乘积.所谓唯一性是说，若有两个分解式设为数域P的不可约多项式，若，但则称为的
重因式.若>1,则称为的重因式.若＝1,则称为
的单因式.（若=0，不是的因式)六、k重因式定义若不可约多项式是
的重因式为的重因式，但未必是则它是的微商的重因式.的
重因式.2.定理6若不可约多项式是的重因式则是的因式，但不是的因式.不可约多项式是的重因式是与的
公因式.推论1推论2，若其中为不可约多项式，则为的重因式.多项式没有重因式推论3推论4根
据推论3、4可用辗转相除法，求出来判别是否有重因式．若有重因式，还可由的结果写出来.例1.判别多项式有无重因式.
说明不可约多项式为的重因式为的重因式.推论5设数将的表示式里的用代替，得到P中的数这样，对P中的每一个数
，由多项式确定P中唯一的一个数与之对应，于是称为P上的一个多项式函数．称为当时的值，记
作七、多项式函数与根1.多项式函数若多项式函数在处的值为0，即则称为的一个根或零点．易知，若则，
2.多项式函数的根(或零点)是的根（余数定理）：用一次多项式去除多项式所得余式是
一个常数，这个常数等于函数值推论:二、多项式函数的有关性质1.定理7若是的重因
式，则称为的重根.当时，称为的单根．当时，称
为的重根．2.多项式函数的k重根定义①是的重根是
的重因式．②有重根必有重因式．反之不然，即有重因式未必有重
根．为的重因式，但在R上没有根．注：例如，任一中的次多项式
在中的根不可能多于个，重根按重数计算．且若有
使则3.定理8(根的个数定理)4.定理9例2求t值，使有重根．解：若即此时，
有重根，即若为的三重根．此时，有重根，为的二重根．则则例4若
求解：的重根，1为从而，1为的根．于是有，若
则在复数域上必有一根．若则存在在复数域上必有一个一次因式．使
即，一、复系数多项式1.代数基本定理推论1若则
在复数域上必有一根．若则存在在复数域上必有一个一次因式．使即，八、复系数多项式1.代数基本定理推论1则可约．若
则在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积．推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即2.复系
数多项式因式分解定理若则在其中是不同的
复数，若，则有n个推论1上具有标准分解式推论2复根（重根按重数计算）．设命题：若是实系数多项
式的复根，则的共轭复数也是的复根．若为根，则∴也是为复根．实系数多项式证：两边取
共轭有设，由代数基本定理,有一复根．，若，则可唯一地分解成一次因式与
二次不可约因式的乘积．若为实数,则，其中证：对的次数作数学归纳．①时，结论
显然成立.实系数多项式因式分解定理②假设对次数多项式，所有次数≥3的多项式皆可约.九、整系数多项式的因式分解定理11若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多
项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．的，若
则设是整系数多项式，且是
本原推论必为整系数多项式．定理12设是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，其中是互素的，则必有
例2证明:在上不可约．若可约，则至少有一个一次因式，但的有理根只可能是所以不可约．证：也即有一个有理根．而矛盾．是一个整系数多项式，若有一个素数使得设则在有理数域上是不可约的．定理13艾森斯坦因Eisenstein判别法例3证明：在上不可约．例4判断证：（令即可）．（为素数）在上是否可约．(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式)令则为整系数多项式．但在上不可约，从而在上不可约．解：即 |
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