相似：从比例线段到梅涅劳斯定理

相似是初中几何重要且难度较大的内容，相似侧重研究线段之间的比例关系，本文从一个例题的证明出发，探究图形中存在的线段比例关系．

01

例题探究

例题呈现

如图，△ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P，若AD=2DE，求证：AP=3AB．

思路分析：条件为两个比例，AD：DE=2:1，BD：DC=1:1，求证AB：AP=1:3．

已知比例求比例，考虑作平行线得“A”字型或“8”字型，实现转化比例．

重点考虑：过哪个点作哪条线的平行线？

【思路1】考虑到问题是求证AB:AP=1:3，等价于AB:BP=1:2，不妨过点B作平行线．

思路1：过点B作平行线

思路1：过点B作平行线

【思路2】考虑到条件中的两个比例均与点D有关，不妨过点D作平行线．

思路2：过点D作平行线

思路2：过点D作平行线

【思路3】除了B、D之外，剩下的A、P、E、C同样可以试着作平行线，这四个点均为条件或问题中比例线段的一个端点．

思路3：过点A作平行线

思路3：过点A作平行线

思路3：过点C作平行线

思路3：过点C作平行线

思路3：过点P作平行线

思路3：过点P作平行线

思路3：过点E作平行线

思路3：过点E作平行线

【思路4】既然已经有这么多作法了，不妨猜想，在本题中，是否过任意一点作任意一边平行线均可解决问题？实际上，只差作AC的平行线了．

但轻易不作AC平行线，与其他线段相比，AC显得最多余，甚至拿掉AC也是一个完整的题目．

思路4：作AC的平行线

思路4：作AC的平行线

思路4：作AC的平行线

思路4：作AC的平行线

02

梅涅劳斯定理

【思路5】涉及到关于三角形中的比例线段，不妨考虑下Menelaus定理．

思路5：menelaus定理

运用梅涅劳斯定理解题，关键是要找准三角形和截线，本题涉及到比例的三条线分别为AP、BC、AE，构成的三角形为△ABD，∴△ABD被PEC所截，得比例关系．

回到上面的问题，我们在思考为什么在例题中我们从不同的角度作辅助线均可解决问题？如果从不同的位置作辅助线均能证明梅涅劳斯定理，也算是一种回答．

03

定理证明

我们把图中的6个点分为两类：

（1）顶点：A、B、C；

（2）截点：D、E、F．

把图中的4条线也分为两类：

（1）三角形的边：AB、BC、AC；

（2）截线：DEF．

那么，考虑3种情况即可：

（1）过顶点作边的平行线；

（2）过顶点作截线的平行线；

（3）过截点作边的平行线．

法1：过顶点作边的平行线

法2：过顶点作截线的平行线

法3：过截点作边的平行线

过程虽略显麻烦，但结果依然是肯定的，事实上，如果条件中有具体比例，则计算算不上复杂，对于定理的证明而言，不着急过截点作平行线．

举了以上3种情况，代表着过任意点作任意线的平行线均能证明定理，则必能解决比例计算的问题．

问题到这里就可以结束了，但结果还不能让人满意，为什么三角形被直线所截，会有如此的比例关系？能否有更加直观的解释或证明？

也正因为此本文搁置甚久，直到我遇见了……

04

西姆松定理

定理：如图，点P在△ABC的外接圆上，过点P分别向△ABC三边作垂线，则三个垂足共线．（即D、E、F共线）

或许涉及到比例的线段之间是这样一种位置关系吧，或许探究还可以继续，但我觉得我可以说服自己了，就这样吧．