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本讲，我们重点谈谈二元一次方程中两大常考问题，解方程的灵活消元与含参问题的多法消参． ——写在前面 (先除再加减) 例1：解方程  分析： 我们在加减消元时，通常采用类似①式×4，②式×3，使x(或y)前的系数相等(或互为相反数)，再把两式相减(或相加)，达到消元的目的．但是观察题目所给两个方程中，未知数的系数均较大，而15y，10y，又恰好是5y的倍数，因此，可以考虑将两式同时分别÷3，÷2． 解答：  (先除再加减) 变式：解方程  分析： 对于这类复杂方程组，我们可以先将其化简，如果系数可以先分别除，则计算进一步简便． 解答：  (加减之后再加减) 例2：解方程  分析：  解答：  (加减之后再加减) 变式：解方程  分析： 将原方程组去分母化简后，不难发现属于交叉相反型，可以用上题的方法完成． 解答： (换元后加减) 例3：解方程 分析： 本题可以将原方程组化简后求解．但还应关注到两个方程中，都含有m＋1，且都含有n－2(2－n是其相反数)，因此，可以将其分别作为整体，用其他字母代替，从而达到换元的目的． 解答： 一般来说，含参问题会给出一个方程组和另外一个条件，如果给出的方程组没有参数，另外的条件中含参，则可以直接解方程组，将x，y的值代入．这里主要研究给出的方程组中的含参问题．根据情况，又可以分为2类． 1、给出的方程组中一个含参 例1： 分析： 根据另外条件，x、y互为相反数，说明x＋y＝0，则可以与方程组中一个不含参的方程重组方程组，从而求出x，y的值，再代入另外一个含参方程，求出参数． 解答： 法1：重组方程组 法2：两式相加 两式相加得，x＋y＝4m， ∴4m＝0，m＝0． 1、给出的方程组中一个含参 变式： 分析： 本题与上题类似，可以重组方程组解答．也可以将两式相减，凑出x＋y． 解答： 法1：重组方程组 法2：两式相减 两式相减得，x＋y＝k＋1， k＋1＝0，k＝－1． 2、给出的方程组中，两个均含参 例1： 分析： 仔细观察方程组，不难发现，把两式直接相减，可以先暂时消去参数m，得到关于x，y的方程，再与另一条件联立方程组，求出x，y，再代入含参数m的方程中求m． 在数感好的情况下，我们不难发现，两式通过稍复杂些的加减消元方法，可直接得到x＋y的形式，这样，就可以直接与另一条件中，等式右边的8，组成含参方程，从而求解． 我进一步观察，原方程组中的两个方程，均包含x＋y整体的倍数，因此，我们可以先将x＋y作为整体代入，从而用含参数m的代数式表示剩余的y，从而建立关于m的方程，求解即可． 解答： 法1：消参求解再代入 法2：灵活加减消元 法3：整体代入 由题意得， 3x＋5y＝3(x＋y)＋2y＝24＋2y＝m＋2， ∴2y＝m－22， 2x＋3y＝2(x＋y)＋y＝16＋y＝m， y＝m－16， ∴m－22＝2(m－16)，m＝10． 2、给出的方程组中，两个均含参 变式： 分析： 本题与上题类似，可以将两式变形后，消去参数a，与另一条件重组方程组，求出x，y的值代入，算a． 也可以将两式相减，凑出x＋y． 还可以把x＋y作为整体代入，用含参数a的代数式表示剩余的y，从而建立关于a的方程，求解． 解答： 法1：消参求解再代入 法2：灵活加减消元 ①＋②得，4x＋4y＝2＋2a， ∵x＋y＝0，∴2＋2a＝0，a＝－1． 法3：整体代入 由题意得， 3x＋y＝3(x＋y)－2y＝－2y＝1＋3a， ∴2y＝－1－3a， x＋3y＝(x＋y)＋2y＝2y＝1－a， ∴－1－3a＝1－a，a＝－1． 小结 其实以上介绍的几种含参方程组的解法，都属于巧法．最后再介绍一种通法，很简单，把参数也看作数字，用含参数的代数式表示x，y，然后根据另一条件，建立关于参数的方程即可． 其他三题，就留给同学们自己思考． (未完待续) |
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