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本讲我们重点对平行的判定和性质运用中的稍难题作个整理．重点分2个版块
1、学会寻找中间角； 2、认识平行线拐角模型． 平行线的许多证明题，需要在判定定理与性质中不断切换。 由角等(互补)，得平行，是判定． 由平行，得角等(互补)，是性质． 而在证明时，我们时常需由结论倒推，找到其中关键的中间角．
| 例1：
如图，AD∥BC，∠A＝∠C，试说明AB∥DC．
分析： 要证AB∥DC，结合已知的∠A和∠C，可以借助∠CDE＝∠A，或∠ABF＝∠C来证，以∠CDE为例，它就是一个关键的中间角，不仅与∠A是同位角，与∠C也是内错角，位置特殊，非常重要．
解答：
∵AD∥BC (已知) ∴∠C＝∠CDE(两直线平行，内错角相等) 又∵∠A＝∠C (已知) ∴∠A＝∠CDE(等量代换) ∴AB∥DC(同位角相等，两直线平行) |
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| 变式：
如图，∠1＝∠2，∠A＝∠C．试说明∠E＝∠F．
分析： 本题同样要关注中间角，∠1＝∠2的条件不能继续得到结论，就得找中间角．显然，找它们的对顶角，如∠1的对顶角就是∠2的同位角，接着可以证AB∥CD，而要将平行的条件与∠A＝∠C结合起来，又要再找一个中间角，结合例1，易知可找∠ABF或∠CDE．
解答：
如下图， ∵∠2＝∠3(对顶角相等) 又∵∠2＝∠1(已知) ∴∠1＝∠3(等量代换) ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行) ∴∠A＝∠4(两直线平行，同位角相等) 又∵∠A＝∠C(已知) ∴∠C＝∠4(等量代换) ∴AE∥FC(内错角相等，两直线平行) ∴∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等) |
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| 例2：
如图所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠B＝∠3，你能判断∠ACB与∠AED的大小关系吗?说明理由．
分析： 本题同样也要找中间角，∠1＋∠2＝180°的条件不能直接用，不难发现∠1的邻补角和∠2是内错角，这就是关键的中间角，推出∠DFE与∠2相等后，可证AB∥EF，此时结合∠B＝∠3的条件，可发现，∠ADE是关键角．
∵∠1＋∠2＝180°(已知) ∠1＋∠DFE＝180°(邻补角定义) ∴∠2＝∠DFE(同角的补角相等) ∴BD∥FE(内错角相等，两直线平行) ∴∠3＝∠ADE(两直线平行，内错角相等) ∵∠3＝∠B(已知) ∴∠B＝∠ADE(等量代换) ∴DE∥BC(同位角相等，两直线平行) ∴∠AED＝∠ACB (两直线平行，同位角相等) |
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初中几何证明中，模型教学还是非常必要的，尤其在一些填空选择中，记住模型结论，往往事半功倍，这一讲，我们就来认识初中阶段几何上的第一个模型，平行线拐角模型．
| 如图，AB∥CD，探究∠B，∠D与∠BED之间的关系． 分析： 显然本题不添加辅助线是无法解决的，因此，从这个模型开始，我们要接触初中阶段几何的第一种辅助线，由于∠B和∠D在被截直线内侧，我们要把∠B和∠D进行转化，可以通过内错角或同旁内角，而此时想到过点E作平行，就可以同时构造出∠B和∠D的内错角．
图1 图2
如图1， ∴∠B＝∠1， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠D， ∴∠B＋∠D＝∠1＋∠2， 即∠B＋∠D＝∠BED． 如图2， ∴∠B＋∠1＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＋∠D＝180°， ∴∠B＋∠1＋∠2＋∠D＝360°， 即∠B＋∠D＋∠BED＝360°． |
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| 模型3，4：
如图，AB∥CD，探究∠B，∠D与∠BED之间的关系．
分析： 显然，图形位置虽变，但添加辅助线的方法是不变的．
图3 图4 如图3，过点E作EF∥AB． ∴∠B＝∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D＝∠1， ∴∠BED＝∠BEF－∠1 即∠BED＝∠B－∠D 如图4，过点E作EF∥AB． ∴∠B＝∠1， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D＝∠BEF， ∴∠BED＝∠BEF－∠1 即∠BED＝∠D－∠B |
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| 例3：
已知AB∥CD，∠1＝55°，∠C ＝100°，则∠A＝ ______°
分析： 显然，本题蕴含了模型2，求出∠1的补角，∠AEC的度数，利用模型2的结论，即可口算．
由题意得，∠AEC＝125°，∠A＋∠AEC＋∠C＝360°，∴∠A＝360°－125°－100°＝135° |
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| 例4：
如图1，已知AB∥CD，∠E＝80°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝ ______°
分析： 本题其实蕴含了2个模型，模型1和模型2，我们可以分别找出∠ABF，∠CDF与∠BFD的关系，∠E，∠ABE，∠CDE的关系，进而可以利用整体思想来解决．
作EG∥AB，FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴EG∥AB∥FH∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∠ABE＋∠BEG＝180°，∠GED＋∠CDE＝180°， ∴∠ABE＋∠BEG＋∠GED＋∠CDE＝360° ∵∠BED＝∠BEG＋∠DEG＝80°， ∴∠ABE＋∠CDE＝280°， ∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E ∴∠ABF＋∠CDF＝140°， ∴∠BFD＝∠BFH＋∠DFH＝140° |
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