中考数学压轴题分析：二次函数区间最值问题

二次函数含参问题见的比较多了，本文内容选自2020年日照中考数学压轴题。题目非常典型，涉及二次函数在给定自变量取值范围（区间）内的最值问题，也就是常说的轴定区间动问题。对称轴是固定的，但是给定的范围却是变化的，因此需要进行分类讨论。

【中考真题】

（2020·日照）如图，函数的图象经过点，两点，，分别是方程的两个实数根，且．
（Ⅰ）求，的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数，
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．

【分析】

题（Ⅰ）先解方程组，再代入求二次函数的解析式。

题（Ⅱ）求出点A、B、C、D的坐标，然后利用三边成比例进行证明结论。

题（Ⅲ）1中，由于对称轴在给定的范围内，因此顶点D处取得最大值，点C处取得最小值。

题（Ⅲ）2中，区间的范围只有1个单位长度，可以分为t+1≤1，t≥1，以及点D在t和t+1之间三种情况进行讨论。前两种最值直接可以求，比较简单。

最后一种的话其实还需要分为两种情况，一种就是t离1近，此时x=t+1时取得最小值；另一种就是t+1离1近的时候，此时x=t时取到最小值。

本题的关键就是分类讨论。

【答案】解：，分别是方程的两个实数根，且，
用因式分解法解方程：，
，，
，，
，，
把，代入得，，解得，
函数解析式为．
证明：令，即，
解得，，
抛物线与轴的交点为，，
，，
对称轴为，顶点，即，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
在和中，，，
，
；
解：抛物线的对称轴为，顶点为，
（1）在范围内，
当时，；当时，；
（2）①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值，最大值，
令，即，解得．
②当时，此时，，不合题意，舍去；
③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时，令，即解得：（舍，（舍；
或者，即（不合题意，舍去）；
④当时，此时，，不合题意，舍去；
⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值，
令，解得．
综上，或．