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二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

2021-06-11  木桩指路
二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

毫不夸张地说,谁错过了二次函数,就相当于错过了中考,基本与重点高中无缘。因此,如何学好二次函数自然成为了教师、考生和家长非常关心的话题。

初中数学函数知识主要集中在以下这三种函数:一次函数(包括正比例函数)、反比例函数、二次函数。其中最为重要的就是二次函数,我们对全国各地中考试卷进行分析,你就会发现绝大部分压轴题都和二次函数密切相关,要那么就是与二次函数相关的函数综合问题,或是函数与几何结合综合性问题等等。

为了能更好帮助大家做好中考复习工作,下面就一起简单讲讲与二次函数有关的常见三种题型。

二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

​一是考查二次函数的图像与性质

典型例题分析1:

如图,二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.该抛物线的顶点为M.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)判断△BCM的形状,并说明理由;

(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

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二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

​考点分析:

二次函数综合题、综合题.

题干分析:

(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式;

(2)根据B、C、M的坐标,可求得△BCM三边的长,然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可;

(3)假设存在符合条件的P点;首先连接AC,根据A、C的坐标及(2)题所得△BDC三边的比例关系,即可判断出点O符合P点的要求,因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似,那么分别过A、C作线段AC的垂线,这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求,可根据相似三角形的性质(或射影定理)求得OP的长,也就得到了点P的坐标.

解题反思:

此题是二次函数的综合题,涉及到二次函数解析式的确定、勾股定理、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质等知识,(3)题中能够发现点O是符合要求的P点,是解决此题的突破口.

二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

​二是考查与二次函数有关的应用题

典型例题分析2:

某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系,每盆植入3株时,平均单株盈利3元,以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元,要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株?

小明的解法如下:

解:设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3﹣0.5x)元,

由题意得(x+3)(3﹣0.5x)=10,

化简,整理得:x2﹣3x+=0

解这个方程,得:x1=1,x2=2,

答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植入4株或5株.

(1)本题涉及的主要数量有每盆花苗株数,平均单株盈利,每盆花苗的盈利等,请写出两个不同的等量关系: 平均单株盈利×株数=每盆盈利

平均单株盈利=3﹣0.5×每盆增加的株数 .

(2)请用一种与小明不相同的方法求解上述问题.

二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

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二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

​考点分析:

一元二次方程的应用;二次函数的应用。

题干分析:

(1)根据题意可写出平均单株盈利×株数=每盆盈利;平均单株盈利=3﹣0.5×每盆增加的株数.

(2)除了方程法,可用列表法,图象法和函数法,同学们可选择自己喜欢的方法看看.

解题反思:

本题考查理解题意的能力,关键能够找到里面的等量关系列出,以及找出和方程不同的方法,如列表法,图象法,函数法等.

二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

​​三是与二次函数有关的综合压轴题

典型例题分析3:

如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等,若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;

(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等,若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.

二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

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二次函数该怎么学?这三种题型必须要彻底掌握

​考点分析:

二次函数综合题.

题干分析:

(1)把三点坐标代入函数式,列式求得a,b,c的值,即求出解析式;

(2)求得抛物线顶点P,从直线BC的斜率算起,设过点P的直线,解得直线代入抛物线解析式解得点Q;

(3)求得点M,由点M,P的纵坐标关系可知,点R存在,y=2代入解得.

解题反思:

本题考查了二次函数的综合运用,考查到了三点确定二次函数解析式,两直线相等,即斜率相等,两三角形面积相等,由同底等高;点M的纵坐标的长度是点P的一半,从而解得.本题逻辑思维性强,需要耐心和细心,是道好题.

虽然二次函数的难度比较大,但并不代表它不可征服,只要掌握好相关的基础知识和方法技巧,多做针对性练习,相信大家一定能学好二次函数,考取理想的分数。

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