一元二次方程韦达定理的一个新证明深圳市扬美实验学校陈光波为简明起见，本文仅考虑二次项系数等于1的一元二次方程。先证明方程有两不相等的根的情
形。设α和β是方程（1）的两不相等的根（1）由根的定义可得（2）（3）-（2）整理可得（4）因两根不相等，故有（5）（
3）+（2）整理可得（６）将（5）式代入（6），整理即得（7）由（5）式可推知，一元二次方程不相等的根的个数不会超过两个。设α
、β和γ为方程（1）的三个不相等的根。由（5）式可得（8）联立（5）、（8）两式，得γ＝β。这样，一元二次方程也就不可能有两个以
上的不相等的根。下面再来证明方程只有一个根的情形。设方程（1）只有一个根α，依定义可知，若γ≠0，则（9）-（2）整理可得（1
0）故（11）这样，若2α+ｂ≠0，则当γ＝-（2α+ｂ）≠0时，α+γ也为方程（1）的根。这就与方程（1）只有一个根α相矛盾了
。因此，若方程（1）只有一个根α，则2α+ｂ就一定等于0。这一点也可由若α是方程（1）的一个根，则-（α+ｂ）也满足方程（1）导出
。因方程只有一个根，故-（α+ｂ）＝α，即（12）将ｂ＝-2α代入（2）式，整理可得（13）（12）、（13）两式表明，若将一
元二次方程的唯一的一个根看作是两相等的重根，那么（5）、（7）两式对于此情形也是成立的。换言之，只要一元二次方程有根，韦达定理就成
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