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真实世界的脉络:平行宇宙及其寓意(4)

2021-06-14  廿氏春秋
我一直在讨论的是量子计算机能够比现有的机器更快地求解传统类型的数学问题。但是存在另一类计算任务,传统计算机根本不能完成它,而量子计算机则是有希望的。由于不可思议的巧合,首批发现的这类问题之一也与公钥密码学有关。这一次不是破译现存的密码体制,而是实现一个新的、绝对安全的量子密码系统。1989年,在纽约约克镇高地IBM研究所,在理论家查尔斯·班尼特的办公室里,建成了第一台能够运转的量子计算机。这是一台专用量子计算机,由一对量子密码设备组成,由班尼特和蒙特利尔大学的吉勒斯·布拉萨德设计。它是第一台曾经完成过图灵机所不能完成的非平凡计算的机器。
在班尼特和布拉萨德的量子密码系统中,消息被编码在激光器发出的一个个光子的状态中。虽然传送一条消息需要许多光子(每比特一个光子,外加浪费在各种无效工作中的许多光子),但是可以用现有的技术造出这台机器,因为它一次只需在一个光子上执行量子计算。系统的安全性不是基于难解性(不论是传统的还是量子的难解性),而是直接基于量子干涉的性质:正是这才使它具有传统方法所不能获得的绝对安全性。无论是哪种计算机,无论做多少计算,无论算几百万年还是几万亿年,都无助于窃听者偷听到量子加密的消息,因为如果人们通过有干涉效应的媒介通信,那么他们就能够发觉窃听者。根据经典物理,没有办法能够防止已经接触到通信媒介(如电话线)的窃听者安装被动侦听装置。但是,我解释过,如果有人测量了一个量子系统,那么他就改变了以后的干涉性质。通信协议就依靠这一效应。通信双方有效地建立起反复的干涉实验,协调他们在公共信道上的行为。只有当干涉通过了检查,证明没有窃听者,他们才继续下一阶段的协议,这时才用一些传送的信息作为密钥。在最坏情况下,坚持不懈的窃听者可能会完全阻断通信(当然,切断电话线更容易达到目的)。但是对于阅读消息来说,只有指定的接收方才能读到,而且这是由物理定律保证的。
因为量子密码术依赖于操纵单个光子,所以它受到很大的局限。成功接收到的每一个光子负载1比特消息,必须设法完整地从发送方传送到接收方。但是所有传送方法都有损耗,如果损耗太大,消息就传达不到接受方了。建立中继站(在现有的通信系统中用来弥补损耗)会危及安全性,因为窃听者可以监听进入中继站的信息而不会被发觉。现有的最好的量子密码系统采用光纤,能传达大约10千米的范围。这足以给诸如城市的金融区这样的地方提供绝对安全的内部通信网。市场化的系统可能为期不远了,但是为了一般地解决公钥密码问题(如全球通信),还需要进一步发展量子密码学。
量子计算领域的实验和理论研究正在世界范围内加速进行,甚至更有希望的实现量子计算机的新技术已经提出,具有超过传统计算的各种优点的新型量子计算正在持续不断地被发现、被分析。我感到所有这些发展都很振奋人心,我相信它们中的某些发展会产生技术硕果。但就本书而言,那些是枝节问题了。从基础科学角度看,量子计算多么有用无关紧要,我们的第一台通用量子计算机是下星期建成还是几百年后建成,还是永远也建不成,这都无关紧要。无论怎样,对于那些寻求对真实世界的基本理解的人们来说,量子计算理论必定成为他们的世界观的不可或缺的组成部分。通过量子计算机的理论研究,我们可以发现而且正在发现关于物理定律、通用性以及真实世界结构的几个表面无关的解释之间的内在联系。
术语
量子计算:需要量子力学过程,尤其是干涉效应的计算。换句话说,是通过平行宇宙间的协作来完成的计算。
指数计算:输入每增加一位数字,所需资源(如时间)增加大约常数倍的计算。
易解/难解(粗略但管用的规则):如果完成计算需要的资源不随着输入数的位数指数地增加,那么该计算任务被认为是易解的。
混沌:大多数经典系统运动的不稳定性。系统的两个初始状态的微小差异结果导致两条运动轨迹的差异呈指数增长。但是真实世界遵循量子物理,而不是经典物理。混沌造成的不可预期性一般都被相同宇宙变为不同宇宙的过程中所造成的量子不确定性所淹没。
通用量子计算机:能够完成任何其他量子计算机所能完成的计算,营造任何有限的、物理上可能的虚拟现实环境的计算机。
量子密码术:能够被量子计算机执行,而不能被传统计算机执行的任何形式的密码术。
专用量子计算机:非通用的量子计算机,如量子密码设备和量子因数分解引擎。
脱散:如果量子计算在不同宇宙中的不同分支对环境的影响不同,那么干涉作用会被削弱,计算可能失败。脱散是实际实现更强大量子计算机的主要障碍。
小结
物理定律允许计算机营造所有物理可能的环境,而无需使用多得不切实际的资源。所以,通用计算不仅是可能的(如图灵原理要求的那样),而且还是易解的。量子现象可能涉及大量平行宇宙,因此可能无法在一个宇宙中高效地模拟它。但是,这一强形式的通用性依然成立,因为量子计算机能高效地营造所有物理上可能的量子环境,即使在大量宇宙相互作用的情况下。量子计算机还能高效求解一定的数学问题,如因数分解,用传统方法这是难解的;它能够实现用传统方法不可能实现的密码术。量子计算是驾驭自然的全新方法。
下一章可能会激怒许多数学家。没办法,数学不是他们所认为的那个样子。
(对于数学知识可靠性的传统假设不熟悉的读者,可能认为这一章的主要结论是显然的,即我们关于数学真理的知识依赖于我们关于物理世界的知识,而且前者不比后者更加可靠。这些读者可以跳过这一章,直接进入第11章关于时间的讨论。)

10章 数学的本质

迄今为止所描述的“真实世界的结构”是物理实在的结构,但是我还随意地谈到了物质世界中找不到的实体——抽象概念,如数字和计算机程序的无穷集合。物理定律本身也不是石头和行星那样的物理实体。如我说过的,伽利略的“自然之经书”只是一种比喻。接着我讲到存在虚构的虚拟现实环境,这种不存在的环境的定律与真实的物理定律不一样。除此以外,我还说过“康哥图”环境,它甚至不能在虚拟现实中营造。我说过,对于每一个可营造的环境都存在无穷多康哥图环境。但是,说这样的环境“存在”是什么意思?如果它们在现实中不存在,甚至在虚拟现实中不存在,那么它们在哪儿存在?
抽象的、非物理实体存在吗?它们是真实世界结构的组成部分吗?这里我对纯粹词语的用法不感兴趣。很显然,数字、物理定律等确实在某些意义上“存在”,而在另一些意义上不“存在”。本质问题是怎么理解这种实体?它们中哪些仅仅是为了语言形式的方便性,最终只是指代通常的物理实在?哪些仅仅是短暂的文化现象?哪些是随心所欲的,就像只需查寻的平凡的游戏规则?又有哪些(如果有的话)只能被解释为独立存在的?最后这一种类型的实体必定是本书所定义的真实世界结构的组成部分,因为为了理解一切已理解的事物,人们必须理解它们。
这就是说,我们应该再次启用约翰逊博士的准则。如果想要知道给定的抽象概念是否真实存在,就要问它是否以复杂的、自主的方式“反弹”。例如,数学家通过如下精确的定义刻画第一个例子中的“自然数”1,2,3,…。
1是一个自然数。
每一个自然数恰好有一个后继,后继也是一个自然数。
1不是任何自然数的后继。
后继相同的两个自然数是同一个数。
这一定义试图抽象地表达顺次离散量的直观物理概念。(更准确地说,如我在前一章解释的,这一概念实际上是量子力学的。)算术运算(如乘法、加法)以及更深入的概念(如素数)是根据“自然数”这一概念定义的。但是,在通过这一定义建立了抽象的“自然数”概念,并通过这一直观初步了解了自然数以后,我们发现关于它们仍有许多东西还不理解。素数的定义一劳永逸地规定了哪些是素数,哪些不是素数。但是对于哪些数是素数的理解(例如,素数在非常大的尺度上如何分布,如何成簇,“随机”程度有多高,以及为什么)涉及大量新的洞察和新的解释。的确,事实证明数论自成体系(经常这样说)。为了更充分地理解数字,我们不得不定义许多新类型的抽象实体,假设许多新的结构以及结构间的关联。我们发现,有些抽象结构与我们已知的其他直观概念有关系,但是表面上这些直观概念似乎与数无关,如对称、旋转、连续统、集合、无穷,等等。所以,我们以为自己很熟悉的抽象数学实体却可能出乎意料或令人失望。它们可能会意外地以新面目或伪装的面目突然出现,它们可能先是令人费解的,随后又符合新的解释。所以,它们是复杂且自主的,因而根据约翰逊博士的准则,我们只能承认它们是真实的。因为我们不能把它们理解为我们自身的一部分或我们已知的别的什么东西的一部分,但是能够把它们理解为独立的实体,所以结论必定是这些抽象实体是真实的、独立的。
不过,抽象实体是无形的。它们不像石头那样物理地反冲,所以实验和观察在数学中不能像在科学中那样扮演同样的角色。在数学中,扮演这一角色的是证明。约翰逊博士的石头通过让他的脚弹回表示反冲。素数的反冲体现在当我们证明了素数的意外性质时,尤其是当我们还能进一步解释它时。依传统观点,证明和实验之间的关键区别是,证明无需涉及物质世界。我们可以在自己心智内部完成证明,或者可以在营造错误物理现象的虚拟现实生成器内完成证明。只要遵循数学推理规则,我们应当得出与其他人一样的答案。流行的观点是,除了有可能疏忽犯错以外,如果我们证明了什么,那么我们就绝对肯定地知道它是对的。
数学家们为这种绝对肯定性感到十分自豪,而科学家们则有点儿忌妒,因为在科学中任何命题都不可能完全肯定。不论理论把现有的观测结果解释得多好,都有可能在某一时刻有人做出了新的、无法解释的观测结果,对当前的整个解释结构提出质疑。更糟的是,有人可能会提出更好的理论,不仅解释所有现有的观测结果,而且解释为什么前面的理论似乎解释得很好,但实际上是完全错误的。例如,自古以来人们观察到我们脚下的大地是静止的,伽利略对这一古老的观察结果找到了新的解释,其中含有大地实际上是运动的意思。虚拟现实——可以使一个环境逼真地相像于另一个环境——突出了这一事实,即如果把观察当成理论的最终仲裁者时,现有的解释无论多么显然,是否有丁点儿正确性都是不能完全肯定的;但如果把证明当成仲裁者,那人们就认为是可以肯定的了。
据说刚开始提出逻辑规则时,人们是希望它们能够提供一个公正可靠的解决所有争端的办法。这一愿望不可能实现。对逻辑本身的研究揭示出,逻辑演绎作为发现真理的手段,其能力是非常有限的。给定关于世界的实际假设,人们可以演绎出结论,但是结论并不比假设更可靠。逻辑能够无需借助于假设证明的公式只有重言式(如“所有行星都是行星”)这样的陈述句,什么也没断言。特别地,科学的所有实际问题都落在单靠逻辑就能解决争议的范围以外。但是人们认为,数学落在这一范围以内。所以,数学家寻求绝对而抽象的真理,而科学家聊以自慰的是他们能够获得物质世界的本质的且有用的知识。但是他们必须承认,这些知识的正确性是没有保证的。它们永远是暂时正确的,永远是可能出错的。有些人认为科学的特征是“归纳”,认为归纳法是一种类似于演绎法,只是稍微更易出错的证明方法。这一想法是为了尽量粉饰科学知识的二流地位。既然不能拥有演绎法证明的确定性,那么拥有归纳法证明的近似确定性也算凑合吧。
我说过,不存在“归纳”这样的证明方法。在科学中推导出“近似确定性”只是一个神话。我怎能“近似确定”地证明明天不会有人公开发表一个美妙新颖的物理理论,推翻了我的大部分关于真实世界的无异议的假设?或者“近似确定”地证明我没有处在虚拟现实生成器内?但是这些并不是说科学知识真的是“二等”公民,因为认为数学能产生确定性的想法也是一个神话。
自古以来人们就有认为数学知识具有特殊优越地位的想法,这一想法通常与下面这一想法相关联,即某些抽象实体不仅是真实世界结构的一部分,而且甚至比物质世界更真实。毕达哥拉斯认为,自然界的规律性就是自然数之间的数学关系表达式,口号是“万物皆数”。这话有点儿夸张。但是柏拉图更进一步,事实上彻底否认了物质世界是真实的。他认为我们对物质世界的表面体验是无意义的或误导的,认为我们感知的物理对象和现象仅仅是它们的理想本质(即“形式”或“思想”)的“影子”或不完美的仿制品,这些理想本质存在于一个独立的王国,它才是真正的实在。在这个王国中,存在着诸如1,2,3,…这样纯粹数的形式,以及加法和乘法这样的数学运算形式,当然还有其他东西。我们可以感知这些形式的影子,比如我们在桌子上放一个苹果,又放一个苹果,于是看见有两个苹果。但是苹果只能不完美地展示“1-性”和“2-性”(以及就此而言的“苹果性”)。两个苹果并不完全相同,所以在桌子上没有真正的2。可以反驳说数字2还可以由桌子上存在两个不同的东西来表示。但是这一表示仍然是不完美的,因为我们必须承认,在桌子上还存在从苹果上掉下来的细胞、灰尘以及空气。与毕达哥拉斯不同,柏拉图对于自然数没有特别的个人意见,他的真实世界包含所有概念的形式。例如,它包含完美的圆的形式。我们所感知的“圆”从来不是真正的圆,不是完全圆的,也不是完全平的,而是有一定厚度的,等等。所有这些都是不完美的。
那么柏拉图指出了一个问题。给定所有这些世俗的不完美性(他还可以加上“即使对于世俗的圆,我们的感知也是不完美的”),我们怎么可能知道关于真正的、完美的圆的知识?很显然,我们的确知道这些知识,但是怎么知道的?当欧几里得不能接触到真正的圆、点或直线时,他是从哪儿获得那些表达在他的著名公理中的几何知识的?如果没有人能感知证明所涉及的抽象实体,那么数学证明的确定性从哪里来?柏拉图的答案是,我们并非从这一影子和幻像世界中获得这些东西的知识。相反地,我们是直接从真实的形式世界本身获得这些知识的。他认为,我们天生具有那一世界的完整的知识,只是生下来时忘掉了,随后由于我们相信自己的感官而导致了层层错误,使它们模糊了。但是,通过孜孜不倦地运用“推理”,我们可以回忆起这一真实世界,从而产生经验无法提供的绝对确定性。
我怀疑是否有人相信这一漏洞百出的想入非非(包括柏拉图本人,他毕竟是非常能干的哲学家,并且信奉对公众说高尚的谎言)。但是,他提出的问题——我们怎么可能知道抽象实体的知识,先不论确定性——是足够实在的;而且他提出的解决办法里的某些要素已经成为今天流行的知识论的组成部分。特别地,认为数学知识和科学知识的来源不同,数学的“特殊”来源赋予它绝对确定性,这一核心思想直到今天实际上被所有数学家不加批判地接受。现在他们称这个来源为数学直觉,但是它恰恰扮演了柏拉图的形式王国中“回忆”的角色。
究竟我们能指望数学直觉揭示出哪种类型的完全可靠的知识吗?关于这一点有过许多激烈的争论。换句话说,数学家们相信数学直觉是绝对确定性的源泉,但他们在数学直觉产生的结果方面却不能取得一致意见!显然,这是一个无穷无尽、无法解决的争论。
不可避免地,大多数这样的争论集中在各种证明方法的正确性上。其中一个争论涉及所谓的“虚”数,虚数是负数的平方根。关于普通的“实”数的新定理的证明是通过在证明的中间阶段借助于虚数的性质而得以完成的。例如,关于素数分布的第一个定理就是用这种方法证明的。但是一些数学家反对虚数,理由是它们不实。(现在这个术语仍然反映了这一古老的争论,虽然现在我们认为虚数与“实”数是一样实的。)我猜他们的学校老师曾经不允许他们对-1取平方根,所以他们不明白为什么别人可以这么做。难怪他们称这一无情的冲动为“数学直觉”。但是其他数学家有不同的直觉,他们理解虚数是什么,虚数怎样与实数相适应。他们想,为什么不能定义新的抽象实体,让它们具有人们想要的性质呢?当然,禁止这么做的唯一合理的理由只能是所要求的性质在逻辑上有矛盾。(这实际上是现代的共识。数学家约翰·霍顿·康韦干脆称之为“数学家思想解放运动”。)诚然,没有人证明虚数体系是自洽的,但是也没有人证明通常的自然数算术是自洽的。
在无穷数、无穷集以及数学分析中无穷小量的用法的正确性上,也存在类似的争论。戴维·希尔伯特这位伟大的德国数学家为广义相对论和量子理论奠定了大量的数学基础,他评论道“数学文献中充斥着空洞和荒谬,归根溯源是无穷这个概念在作怪”。我们将看到,一些数学家根本否认涉及无穷实体的推理的合理性。19世纪纯数学的巨大成功对于解决这些争论几乎没有用,反而还强化了这些争论,并引发了新的争论。随着数学推理变得越来越复杂,它不可避免地离日常直观越来越远,这导致两个重要的、相对立的结果。一方面,数学家们对证明更加小心谨慎了,必须满足更高水平的严格性,证明才被承认。但是另一方面,发明出了一些更强有力的证明方法,这些方法的正确性并非总能由现有的方法来证实。这经常会让人怀疑一个具体的证明方法不论多么自明,是不是完全可靠的?
于是大约在1900年,数学出现了基础危机,即没有了基础的危机。但是纯逻辑定律怎么了?人们不是想用它来解决数学王国里的所有争议的吗?令人尴尬的是“纯逻辑定律”实际上正是现在数学争论的焦点。亚里士多德是第一个于公元前4世纪编撰这些定律的,从而创立了今天称为证明论的学科。他设想证明必须由一系列陈述句组成,由前提和定义开始,到所要的结论结束。一系列陈述句要想构成正确的证明,除了开始的前提以外,每个陈述句必须遵从所谓三段论的一组固定模式之一,从前面的陈述句导出。典型的三段论如下:
所有人终有一死。
苏格拉底是人。
[所以]苏格拉底终有一死。
换言之,该规则说,如果一个形如“所有A具有性质B”(如“所有人终有一死”)的陈述句出现在证明里,而且另一个形如“个体X是A”(如“苏格拉底是人”)也出现了,那么陈述句“X具有性质B”(如“苏格拉底终有一死”)可以正确地出现在后面的证明中,特别地,它是正确的结论。三段论表达了我们所称的推理规则,即定义证明中允许步骤的规则,使得前提的真理性传递给结论。由于同样原因,这些规则可以用来判定一个号称的证明是不是正确的。
亚里士多德宣称所有正确的证明都能用三段论形式表达,但是没有给出证明!证明论的问题是,现代数学证明几乎没有用纯粹三段论序列来表达的,许多证明甚至在理论上都不能变形为这种形式。而大多数数学家不能使自己完全坚持亚里士多德的法则,因为一些新的证明就像亚里士多德推理一样不证自明。数学已经进步了,像符号逻辑和集合论这样的新工具允许数学家们以新的方式把各种数学结构彼此联系起来。这创造出新的不证自明的真理,独立于传统的推理规则,所以那些传统的规则显然是不够充分的。但是新的证明方法中哪些是真正可靠不会出错的?应该怎样修改推理规则使它们具有亚里士多德错误声称的那种完备性?如果数学家们不能就什么是不证自明的、什么是胡说八道达成一致意见,那么怎样才能重新确立老规则的那种绝对权威?
与此同时,数学家们继续构建他们抽象的空中楼阁。就实际应用意义而言,许多这些构造似乎是足够坚固的了,有些已经成为科学技术必不可少的工具,大部分由美丽而成果丰富的解释结构联系起来。不过,没有人敢保证整个结构或者其中的任何实质部分没有逻辑矛盾,倘若果真如此,就会使它变成真正的胡说。1902年,波特兰·罗素证明一个为严格定义集合论而提出的理论体系是有矛盾的,这个理论体系是由德国逻辑学家弗雷格刚刚提出的。这并不是说在证明中使用集合就必然是错误的。的确,几乎没有数学家认真地想过通常使用集合、算术或数学的其他核心领域的方法可能会是不正确的。罗素的结果使人震惊的是,数学家们本来以为他们的学科是通过数学定理证明给出绝对确定性的最卓越的方法。对不同证明方法正确性的争论本身就削弱了该学科的整体意义(与人们原先所设想的相比)。
因此许多数学家感到,把证明论以及数学本身置于一个安全可靠的基础之上是一项紧迫任务。他们想要在大跃进之后对后方有所巩固:一劳永逸地定义哪种类型的证明是绝对安全可靠的,哪种不是。凡是落在可靠范围以外的证明都可以抛弃,而在可靠范围以内的证明将组成未来整个数学的唯一基础。
为此,荷兰数学家布劳威尔倡导一种证明论的极端保守方案,即直觉主义,直到今天还有其追随者。直觉主义者企图以能想到的最狭窄的方式解释“直觉”,只保留他们认为无异议的自明的方面。他们把这样定义的数学直觉抬高到甚至比柏拉图所认为的还要高的地位:认为它甚至比纯逻辑更为优先。于是他们认为逻辑本身是不可靠的,除非它被直接的数学直觉所证实。例如,直觉主义者否认任何无穷实体有直接直觉的可能性。因此,他们彻底地否认存在任何无穷集,如所有自然数的集合。命题“存在无穷多自然数”被他们认为明显是错误的,命题“康哥图环境比物理可能的环境更多”被他们认为完全没有意义。
历史上,直觉主义扮演了宝贵的思想解放的角色,正如归纳主义一样。它勇敢地质疑公认的确定性,这些确定性有些的确是错误的。但是作为实际的理论来判断哪些是正确的而哪些是不正确的数学证明,它没有任何价值。实际上,直觉主义恰恰是唯我主义在数学上的表达。二者都是对这一想法的过度反应:我们不能肯定自己对广袤世界的认识。二者提出的解决办法都是撤回到我们认为能够直接认识的内部世界中去,从而(?)才能确信所知为真。二者的解决办法都涉及要么否定外部世界的存在,要么至少放弃对外部世界的解释。在这两种情况下,这种放弃还使得人们不可能解释许多偏爱的领域内存在的内容。例如,假如像直觉主义者所坚持的那样,存在无穷多自然数的确是错误的,那么我们能够推断出只能存在有穷个自然数。多少呢?无论多少,那么为什么不能形成在这个数后面的下一个自然数的直觉呢?直觉主义者会为这一问题辩解,指出我刚才的论证中假设了日常逻辑的正确性。具体说,其中涉及根据不存在无穷多个自然数,推理出必定存在某个具体的有穷个数。有关推理规则称为排中律。它是说,对于任何命题X(如“存在无穷多自然数”),在X为真和它的反面(“存在有穷个自然数”)为真之间不存在第三种可能。直觉主义者很酷地否定了排中律。
既然在大多数人心目中排中律本身就有强有力的直觉作为后盾,否定它自然会引起非直觉主义者怀疑直觉主义者的直觉究竟是否有那么自明和可靠。或者,如果我们认为排中律来源于逻辑直觉,这使我们重新审视数学直觉是否真的能取代逻辑这一问题。无论怎样,数学直觉取代逻辑这一点可能是不证自明的吗?
但是所有这些仅仅是从外部批判直觉主义,不是反驳,直觉主义也不可能被反驳。如果有人坚持认为一个不证自明的命题对他是自明的,就好像他坚持认为只有他自己是存在的,那么他是不能被证伪的。然而,正如一般地对待唯我主义一样,直觉主义真正致命的缺陷不是在攻击它时暴露出来的,而是当认真地使用它自己的语言,把它作为被它随意裁剪过的世界的一种解释时暴露出来的。直觉主义者相信有穷自然数1,2,3,…甚至10949769651859是实在的,但是,因为这些数都有后继,所以它们形成无穷序列,这一直观论证在直觉主义者看来不过是自欺欺人或装模做样,是根本站不住脚的。但是,如果他们的抽象“自然数”概念与这些数原先用来形式化的直观之间切断了联系,那么直觉主义者也就否定了他们自己通常用来理解自然数的解释结构。这对于那些喜欢解释而不喜欢无解释的复杂结构的人来说又产生了一个新问题。直觉主义解决这一问题不是通过为自然数提供另一种或更深入的解释结构,而是如宗教裁判所和唯我主义的做法一样:进一步从解释后撤。它引进更多未经解释的复杂结构(在本例中是否定排中律),其唯一目的是允许直觉主义者表现得好像其对立面的解释是对的,而又不能由此得出关于实在的任何结论。
正如唯我主义的出发点是为了对一个多样化惊人、变化无常的世界进行简化,但是当认真采纳它时,证明它不过是现实主义加上一些不必要的复杂结构。与此类似,直觉主义最后不过是一种曾经被认真倡导过的最违反直觉的学说。
为了“一劳永逸地建立起数学方法的确信性”,戴维·希尔伯特提出了一个更合乎常理的计划,但最终仍然失败了。希尔伯特计划的基础是一致性(无矛盾)思想。他希望一劳永逸地制订好一套完整的、具有一定性质的现代数学证明的推理规则,这套规则在数目上是有限的,而且简明易用,能够毫无争议地确定任一个宣称的证明是否满足这套规则。这些规则最好还是直观和自明的,但这一点不是务实的希尔伯特所着重考虑的。如果这套规则差不多对应直观,只要他能确信它们是自洽的,他就感到满意了。也就是说,如果这套规则指出某个给定的证明是正确的,他想要确信它们不会再指出另一个结论相反的证明也是正确的。他怎样才能保证这一点呢?这一次,一致性是必须被证明的,所用的证明方法本身遵循这同一套推理规则。希尔伯特希望能够恢复亚里士多德的完备性和确定性。在这套规则下,每一条正确的数学命题在理论上都可以证明,而错误的命题都不能得到证明。1900年,为标志世纪之交,希尔伯特发表了一组问题,他希望数学家们在20世纪能够解决它们。其中第二个问题[1]是找到具有以上性质的一组推理规则,按照它们自己的标准证明它们是没有矛盾的。
希尔伯特肯定会失望。31年后,库尔特·哥德尔用彻底的反驳对证明论进行了一场革命,时至今日数学和哲学界仍然感到震颤:他证明希尔伯特第二问题是不可解的。哥德尔首先证明,任何一组能够正确检验普通算术证明正确性的推理规则都不能检验关于其自身一致性的证明是否正确,因此不可能找到希尔伯特设想的一致性可证的一组规则。然后,哥德尔证明,如果某一(充分丰富的)数学分支的一组推理规则是无矛盾的(不论是否可证),那么在该数学分支内部必定存在正确的证明方法,其正确性不能由这些规则证明。这被称为哥德尔不完备性定理。为了证明这一定理,哥德尔非凡地扩展了第6章中提到的康托的“对角线论证”。他从考虑任一组无矛盾的推理规则开始,然后说明怎样构造一个命题,在这组规则下它既不能被证实也不能被证伪。随后他证明该命题是对的。
假如希尔伯特方案成功了,那么这对于本书所宣扬的真实世界观念来说是一个坏消息,因为这会取消在判断数学思想时理解的必要性。任何人或任何无头脑的机器只要能记住希尔伯特所希望的那一组推理规则,就可以像最能干的数学家一样成为判断数学命题的法官,而不需要数学家的洞察力和理解力,甚至不需要知道该命题的含义是什么。理论上,完全不懂数学,只懂得希尔伯特规则,都有可能做出新的数学发现。这只需要按照字母顺序,依次检查所有可能的字母和数学符号串,直到其中一个通过检验,成为某个著名的未解决猜想的证明或反证。在理论上,人们可以无需理解就能解决任何数学争论,甚至无需知道符号的意义,更不用理解证明原理、证明结论、证明方法以及证明可靠的原因了。
看起来好像在数学中获得统一的证明标准至少会有助于我们向全面的大统一迈进,即我在第1章中所提到的知识的“加深”。但是实际情况恰好相反。正如物理学中预言性的“大统一理论”一样,希尔伯特规则关于真实世界的结构几乎什么也没有说。就数学而言,它们会实现还原主义者最终的幻想,(理论上)预言一切,但什么也不解释。此外,如果数学是还原主义的,那么我在第1章中讨论的所有那些人类知识结构中缺乏的、不受欢迎的特点就会出现在数学中:数学概念就会形成层次结构,希尔伯特规则处在根部。比起那些由规则立刻可以验证的数学真理,那些从这些规则出发、验证过程非常复杂的数学真理在客观上处在更不基本的地位。这样的基本真理只可能有有穷多个,随着时间的推移,数学关心的问题将不得不越来越远离基本问题。在这一凄凉的假设下,数学可能会走向终结。若不然,随着数学家被迫研究的“凸现”问题越来越复杂以及这些问题与学科基础之间的联系越来越弱,它会不可避免地分化为更神秘的专门领域。
感谢哥德尔,我们知道永远不会有一成不变的方法来判定数学命题的真伪,正如没有一成不变的方法来判定科学理论的真伪一样,也不会有一成不变的方法产生新的数学知识。所以,数学的进步总是依赖于创造性的发挥。数学家总是有可能也有必要发明新型证明。他们将通过新的论证和新的解释方式来证实这些证明,这依赖于他们不断改进对有关的抽象实体的理解。哥德尔本人的定理就是恰当的例子:为了证明它们,他必须发明新的证明方法。我讲过,该方法基于“对角线论证”,但是哥德尔以新的方式扩展了这一论证。以前没有人用这种方法证明过,没有见过哥德尔方法的人所制定的推理规则都不可能有足够的远见指出这种方法是正确的。但是它的正确性是不证自明的,这种自明性从何而来?它来自哥德尔对证明本质的理解。哥德尔证明像任何数学证明一样有说服力,但前提是人们必须首先理解与之相伴的解释。
所以,正如在科学中一样,在纯数学中解释终究还是扮演着同样首要的角色。在这两种情况下,寻求解释与理解世界——物质世界和数学抽象世界——是努力的目标,证明和观测仅仅是验证解释的手段。
根据哥德尔的结果,罗杰·彭罗斯得出一个进一步激进的且非常柏拉图式的教训。像柏拉图一样,彭罗斯痴迷于人类心智掌握抽象的数学确定性的能力;与柏拉图不同,彭罗斯不相信超自然的东西,认为大脑当然是自然界的一部分,而且只能接触到自然界。所以,问题对他比对柏拉图更加尖锐:模糊的、不可靠的物质世界怎么可能把数学确定性传递给它自己的模糊的、不可靠的一部分,如数学家的脑袋?具体说,彭罗斯想知道,我们怎么可能知道新的、正确的证明形式的绝对可靠性?哥德尔向我们证明这样的证明形式有无穷多种。
彭罗斯现在仍在寻找详细的答案,但是他的确宣称,这种无边无际的数学直觉的存在本身就是与现有的物质结构根本上不相容的,特别是它与图灵原理不相容。他的论证总结如下:如果图灵原理是对的,那么我们可以考虑把大脑(如其他物体一样)看作一台执行特殊程序的计算机,大脑与环境的相互作用构成程序的输入输出。现在考虑一位数学家,正在判定一种新提出的证明形式是否正确,做这样一种判定无异于在这位数学家脑袋里执行一段验证证明正确性的计算机程序。这样的程序包含了一组希尔伯特推理规则,根据哥德尔定理,它不可能是完备的。此外,我讲过,哥德尔给出了一种构造命题并证明其为真的方法,而那些规则不可能识别这种命题是被证明的。所以,数学家也永远不能识别该命题是被证明的,因为数学家的心智实际上是运用那些规则的一台计算机。然后,彭罗斯提出,把该命题以及哥德尔证明它成立的方法给这位数学家看。数学家理解这个证明,毕竟它的正确性是自明的。于是,这位数学家总能看出它是正确的吧。但这就与哥德尔定理相矛盾了。因此,在上面的论证中必定存在某个错误假设。彭罗斯认为错误假设就是图灵原理。
大部分计算机科学家不同意彭罗斯说图灵原理是其中最薄弱的一环。他们会说,叙述当中的那位数学家的确不能看出哥德尔的命题是被证明的。一位数学家突然变得不能理解一个自明的证明,这似乎很奇怪。但是请看下面的命题:
戴维·多伊奇不能始终如一地判断本陈述是对的。
我拼尽全力,但仍然不能始终如一地判断这个命题是不是对的。因为如果我说它对,我就是在说我不能说它是对的,自相矛盾。但是你可以看出它是对的,是吧?这说明至少有可能一个命题对某个人来说是深奥难懂的,而对其他人来说是自明正确的。
不管怎样,彭罗斯希望有一个新的基础物理理论代替量子理论和广义相对论,其预言是崭新的、可检验的,而对于所有现存的观测结果,它当然与量子论和相对论保持一致。(这些理论还没有实验反例。)但是,彭罗斯的世界与现在的物理学所描述的世界是完全不同的,其基本的现实结构是我们所称的数学抽象世界。在这方面,彭罗斯的现实包括所有数学抽象,但可能不是把所有抽象(如荣誉和公正)都包括在内,它介于柏拉图和毕达哥拉斯的现实之间。对他来说,我们所称的物质世界是完全真实的(这也与柏拉图不同),但是它是数学的一部分,或是从数学中凸现出来的。此外,不存在通用性,特别是不存在机器能够描绘所有可能的人类思维过程。不过,世界(当然,尤其是它的数学基础)仍然是可理解的。保证其可理解性的不是计算的通用性,而是物理学中一个全新的现象(虽然对柏拉图来说不新鲜):数学实体直接作用于人脑,通过什么物理过程还有待于发现。这样,按照彭罗斯的说法,大脑进行数学思维时不仅仅参考我们现在所称的物质世界,它还直接接触到柏拉图的数学形式实在世界,而且可以(跌跌撞撞地)绝对确定地领悟那里的数学真理。
常有人说大脑可能就是一台量子计算机,它的直觉、意识和问题求解能力可能依赖于量子计算。这也许是对的,但是我没有看到任何证据以及任何令人信服的论证。我的赌注是,如果把大脑看作计算机,那么它应是传统计算机。但这些与彭罗斯的思想无关。他并不是说大脑是一种新型通用计算机,与通用量子计算机不同,崭新的后量子物理学使它能够拥有更大的计算本领。他所论证的是一种新的物理学,不支持计算通用性,在这个新理论下,大脑的某些行为根本不能看作为计算。
我得承认我想不出这样一个理论。然而,根本性的突破在发生前确实是难以设想的。很自然,在彭罗斯完成他的理论的形式化以前,很难评价它。如果一个理论具有他所期望的这些性质,而且的确最终取代了量子理论或广义相对论,或者同时取代二者,不论是通过实验检验还是给出更深层的解释,那么所有通情达理的人都会采纳它。那时我们就会开始尝试理解该理论的解释结构,迫使我们接受崭新的世界观了。有可能这是与本书阐述的世界观非常不同的世界观。但是,即使这一切都发生了,我仍然看不出该怎样满足该理论原来的出发点,即解释我们掌握新的数学证明的能力。现在以及整个历史,伟大的数学家们对于不同的证明方法的正确性一直存不同的、互相矛盾的直觉,这依然是个事实。所以,即使真的存在某个绝对的物理数学实在,将其真理直接灌入我们的大脑,从而产生数学直觉,数学家们也并非总能把这些直觉与其他错误的直觉和思想区别开来。不幸的是,当我们理解一个真正正确的证明时,没有铃响,也没有灯闪。有时在“啊哈,我知道了!”那一瞬间我们会感到灯光一闪[2]——不过是错觉。即使该理论预言,存在某个以前未注意到的物理的指示器伴随着真正的直觉(现在这已经变得非常难以置信了),当然我们会发现它很有用,但是这仍然不等于证明指示器管用。任何东西都不能证明一个更好的物理理论不会在某一天取代彭罗斯理论,揭示出设想中的指示器终究不可靠,而某个另外的指示器更好。所以,即使我们对彭罗斯的提议做出所有可能的让步,只要我们想象它是对的,并且完全用它的观点看待世界,这仍然无助于我们解释通过数学所获得的知识的所谓的确定性。
我只是概述了彭罗斯及其反对者的论证要点。读者可以推测出我实际上站在反对者一边。然而,即使承认彭罗斯的哥德尔式论证没能证明它想要证明的东西,而且他提出的新的物理理论似乎不能解释它想要解释的东西,彭罗斯也仍然在这一点上是对的,即任何基于现有的科学理性概念的世界观都会在公认的数学基础方面出问题(或者反之,如彭罗斯所说的)。这是一个由柏拉图提出的古老问题,正如彭罗斯所指出的,鉴于哥德尔定理和图灵原理,这个问题变得更加尖锐,它就是在一个由物质组成、由科学方法理解的现实中,数学确定性从何而来?虽然大部分数学家和计算机科学家认为数学直觉的确定性是当然成立的,但是他们没有认真地对待它与科学世界观相一致的问题。彭罗斯的确认真对待这个问题了,而且提出了解决方案。他的建议主张一个可理解的世界,拒绝超自然,承认创造性是数学的核心,把客观实在性归因于物质世界和抽象实体,而且包含数学基础和物理的整合。在所有这些方面我是站在他一边的。
因为布劳威尔、希尔伯特、彭罗斯以及所有其他人尝试应对柏拉图挑战的努力似乎都没有成功,所以值得再次审查柏拉图对下面这一思想的表面上的破坏性,即数学真理可以由科学方法获得。
首先,柏拉图告诉我们由于只能接触到(比如)不完美的圆,所以我们不能获得完美圆的任何知识。但究竟为什么不能呢?人们完全可以说我们不能发现行星运动的规律,因为无法接触到真正的行星,而只能接触到行星的图像。(宗教裁判所就是这么说的,我已经解释过为什么他们错了。)人们也完全可以说不可能制造精确的机器工具,因为必须用不精确的机器工具制造第一个精确工具。借助于事后诸葛亮,我们可以看到,这种非议是因为对科学工作方式的了解实在太粗略——有点儿像归纳主义。这并不令人奇怪,因为柏拉图生活的年代还没有我们能承认为科学的东西。假如,从经验中了解圆的唯一途径是检查成千上万的物理圆,然后从积累的数据中推测出它们的抽象欧几里得概念的知识,那么柏拉图是对的。但是如果我们形成一个假设,即现实的圆以一定方式类似于抽象的圆,而恰好假设是对的,那么我们通过观察现实圆一样可以获得抽象圆的知识。在欧几里得几何中,人们经常用图解来说明几何问题或解答。如果图解中圆的缺陷给人以错误的印象,例如两个圆好像相切而实际上并未相切,那么这种描述方法就可能产生错误。但是如果人们理解了现实圆和完美圆的关系,那么就可以小心地去除所有这样的错误。如果人们不理解这一关系,那么实际上就根本不可能理解欧几里得几何。
人们能够从圆的图解中获得的关于完美圆的知识的可靠性完全依赖于这个假设的准确性,即这二者以适当的方式彼此类似。这一假设涉及物理对象(图解)——实际上是物理理论——永远不能被确定地认识。但是,如柏拉图所说的那样,这并不能排除从经验中了解完美圆的可能性;它仅仅排除了获得确定性的可能。对于不是寻求确定性而只是寻求解释的人来说,这并不令人担忧。
欧几里得几何可以完全不用图解而抽象地形式化,但是数字、字母和数学符号在符号证明中使用的方式不可能比图解产生出更多的确定性,理由是一样的。符号也是物理对象(比如说墨水在纸上的图案),代表抽象的对象。我们再次完全依赖于这一假设,即符号的物理行为对应于所代表的抽象对象的行为。因此,通过操纵这些符号而获得的知识的可靠性完全依赖于描述这些符号的物理行为以及我们的手、眼等操纵、观察符号的行为的理论的准确性。弄虚作假的墨水可以让符号在我们不注意时偶然改变形状(可能是某个高科技的爱恶作剧的人的遥控),可以很快使我们在“确定”掌握的知识上误入歧途。
现在我们重新审视柏拉图的另一个假设:我们无法接触到完美的物质世界。我们不会找到完美的荣誉和正义,这一点他也许是对的;我们不会找到物理定律或所有自然数的集合,这一点他肯定是对的。但是我们可以找到桥牌里完美的一手牌,或给定的棋局中完美的一步棋。也就是说,我们可以找到完全具有指定的抽象性质的物理对象或过程。我们可以用真实的象棋学习下棋,效果就如用完美的象棋“形式”一样。马缺一角照样可以将死对方。
的确是,完美的欧几里得圆可以被我们感知。因为柏拉图不知道虚拟现实,所以他没有意识到这一点。不难按照欧几里得几何规则给第5章设想的虚拟现实生成器编程,使得用户能够感受到完美圆。没有厚度,圆是不可见的,除非我们改变了光学定律。在这种情况下,我们可以给它光亮,让用户知道它的位置。(完美主义者可能更喜欢没有这种装饰。)我们可以让圆刚硬、穿不透,用户可以用刚硬、穿不透的工具和测量仪器检验它的性质。虚拟现实测径器必须有完美的刃边,能够准确测量零厚度。用户可以根据欧几里得几何规则“画”其他圆或几何图形。工具的大小以及用户本人的大小都可以随意调节,使得几何定理的预言能够在任何尺寸上得到验证,不论精确度要求有多高。所描绘的圆在各方面的反应都恰好与欧几里得公理吻合。所以,根据今天的科学,我们的结论只能是柏拉图落伍了。我们能够在物理实在(即虚拟现实)中感知完美圆,但是我们不会在柏拉图“形式”王国中感知完美圆,因为即使能够称这个王国是存在的,我们也根本没有感觉到它。
顺便说一句,柏拉图认为物理实在由抽象概念的非完美模拟组成的思想在今天看来似乎是不必要的非对称态度。如柏拉图一样,我们仍然为抽象概念本身而研究抽象,但是在后伽利略时代的科学中,在虚拟现实理论中我们还把抽象概念看作为理解真实或人造物理实体的手段。在这一情形下,我们当然认为抽象概念几乎总是对真实物理情景的近似。所以,柏拉图把沙子中用小棍画的圆看作是对真实的、数学的圆的近似,而当代物理学家则把数学的圆看作是对真实的行星轨道、原子以及其他物质实体的形状的糟糕的近似。
既然虚拟现实生成器或其用户界面总是有可能出错,那么真的能说欧几里得圆的虚拟现实描绘符合数学确定性的标准,具有完美性吗?能。没有人宣称数学本身就没有这种不确定性。数学家可能算错,可能记错公理,可能在描述自己的工作时写错了,等等。宣称的是,除去愚蠢的错误以外,他们的结论是可靠的。类似地,虚拟现实生成器在按照设计要求正常工作时,能够精确地描绘一个完美的欧几里得圆。
一个类似的反对意见认为,我们永远不能确信虚拟现实生成器在给定的程序控制下会怎样运转,因为这依赖于机器的运行状况,最终依赖于物理定律。既然我们不能确切地知道物理定律,那我们就不能确切地知道机器是否真正描绘了欧氏几何。但是,没有人否认意料之外的物理现象——不论是由未知的物理定律造成的还是仅仅由大脑疾病或者墨水把戏造成的——可能会误导数学家。但是如果物理定律正如我们所料的那样,那么虚拟现实生成器就能完美地完成其功能,即使我们不能确信这一点。这里必须仔细区分两件事:我们能否知道虚拟现实生成器描绘了完美圆,以及它是否事实上描绘了完美圆。我们不能确切地知道这一点,但是这丝毫无损于机器实际上描绘的圆的完美性。很快我会再次讨论这一关键性的区别——关于实体的知识的完美性(确定性)和实体本身的“完美性”之间的区别。
假设我们故意修改欧氏几何程序,使得虚拟现实生成器仍然很好地描绘圆,但是不那么完美。那么感知这种不完美的描绘,我们就不能得到关于完美圆的任何知识吗?这完全依赖于我们是否知道程序在哪些方面被修改了。如果我们知道,那么就能确切地知道(除了愚蠢的错误等)我们在机器里的感觉的哪些方面忠实地反映了完美圆,而哪些方面则没有。在这种情况下,我们获得的知识是与利用正确的程序所获得的知识一样可靠的。
当我们想象圆时,我们就是在自己的脑子里做这种虚拟现实描绘。这并非一种无用的思考完美圆的方法,原因是我们能够形成精确的理论来描述我们想象的圆与完美圆有哪些性质相同,哪些性质不同。
利用完美的虚拟现实描绘,我们可以体验平面上6个相同的圆与另一个相同的圆相切,而没有互相重叠。在这种情况下,这种体验相当于严格证明了这种图案是可能的,因为所描绘的图形的几何性质与抽象图形的几何性质完全相同。但是这种与完美图形的“实践”交互不能导出欧氏几何的所有知识。大部分有趣的定理涉及不止一个几何图案,而是涉及无穷多类图案。例如,任何欧几里得三角形的角度之和等于180˚,在虚拟现实中我们可以完美地准确测量个别的三角形,但是即使在虚拟现实中我们也不可能测量所有三角形,所以无法验证定理。
我们怎样验证它呢?通过证明。传统上,证明定义为陈述句的序列,满足自明的推理规则。但是物理上“证明”过程相当于什么?为了即刻证明有关无穷多三角形的陈述句,我们考察一定的物理对象——在此种情况下是符号——与所有三角形具有共同的性质。例如,在适当情况下,当我们看到符号“∆ABC≌∆DEF”(即“三角形ABC全等于三角形DEF”)时,我们断定,以一定方式定义的一类三角形与以另一种方式定义的另一类相应的三角形总是具有相同的形状。给这一结论以证明地位的“适当情况”是,用物理学术语来说,符号在纸上出现在其他符号(其中一些代表欧几里得几何公理)之下,而且符号出现的模式遵循一定的规则,即推理规则。
但是我们应该用哪些推理规则呢?这就如同问我们应该怎样为虚拟现实生成器编程,以使它描绘欧几里得几何世界。答案是我们必须采用这样的推理规则:就我们所理解的程度,能够使符号的行为以恰当的方式如同所指代的抽象实体的行为一样。我们怎样能保证这一点?不能。设想有批评家反对我们的推理规则,因为他们认为我们的符号的行为将与抽象实体的行为不同。我们不可能求教于权威亚里士多德或柏拉图,也不可能证明我们的推理规则是可靠的(与哥德尔定理显著不同,这会导致无穷递归,因为我们必须首先证明所使用的证明方法本身是正确的)。我们也不能轻蔑地对批评者说,他们的直觉一定出错了,因为我们的直觉认为这些符号完美地模拟了抽象实体。我们能做的只有解释。我们必须解释为什么认为在这种情况下,这些符号在我们所给定的规则下,其行为就像所要求的那样。批评者可以解释为什么他们支持对立的理论。这两种理论的分歧部分地是关于物理对象的可观测行为的分歧。这种分歧可以用通常的科学方法解决。有时可以容易地解决,有时不行。产生这种分歧的另一个原因是关于抽象实体自身性质的观念冲突。这再次成为一个解释冲突的问题,这次是关于抽象对象而非物理对象。我们可能会与批评者达成共同的理解,或者可能同意说我们讨论的是两个不同的抽象对象,或者可能达不成一致。说不准。所以,与传统的信念相反,数学上的争论并非总是可以用纯粹程序性的手段得以解决的。
表面看起来,通常的符号证明似乎与那种虚拟现实的“实践”式的证明具有显著不同的特征,但是现在我们看到,它们之间的关系就如同计算与物理实验的关系一样。任何物理实验都可以看作计算,任何计算也都是物理实验。在这两种证明中,都是根据规则来操纵物理实体(不论是否在虚拟现实中)。在这两种情况下,物理实体代表涉及的抽象实体,而且证明的可靠性依赖于这一理论的正确性,即物理实体和抽象实体的确具有某些恰当的共同性质。
从以上的讨论还可以看出,证明是一个物理过程。实际上,证明是一种计算。“证明”一个命题意味着完成一个计算,如果正确地完成此计算,将确立命题成立。当我们用“证明”这个词指代一个对象时,如指代纸上墨水写的一段文字时,我们的意思是该对象可以用作为一个程序,重现相应种类的计算。
因此,数学定理、数学证明过程、数学直觉感受都不能产生任何确定性,任何东西都不能。我们的数学知识可以像科学知识一样渊博,它可以是精致美妙的解释,它可以是毫无异议得到公认的,但是它不可能是确信无疑的。没有人能保证一个以前认为是正确的证明某一天不会被证明隐含一个深藏的误解,这个误解之所以显得很自然是由于以前某个未被怀疑的关于物理世界、抽象世界或某些物理实体和抽象实体的关系的“自明”的假设。
正是这种错误的、自明的假设使得几何学两千多年来被错误地划分为数学分支,从公元前约300年欧几里得写他的《原本》起,直到19世纪(实际上直到今天大部分字典和教科书里都错了)。欧氏几何形成了每一位数学家的直觉的要素。终于有一部分数学家开始质疑欧氏公理中某一条是否自明(所谓的“平行公理”)。起初他们并没有质疑该公理的正确性。据说伟大的德国数学家高斯是第一个开始检验它的人。在证明三角形的角度之和等于180˚的证明中,平行公理是必需的。传说在极端保密的情况下(因为害怕受嘲笑),高斯让助手带上信号灯和经纬仪站在三个山顶上,这是他可以方便地测量的最大的三角形的顶点。他发现欧几里得的预言没有偏差。但是我们现在知道,这只是因为他的仪器不够敏感。(地球的附近区域在几何上恰巧是非常平整的。)爱因斯坦的广义相对论包含与欧几里得相矛盾的新的几何理论,而且已经得到实验证实。真实的三角形的角度之和真的不一定等于180˚,而是依赖于三角形内的引力场。
另一非常类似的错误划分的原因在于,数学家们自古以来在他们的学科性质认识上一直在犯一个根本性错误,即认为数学知识比任何其他形式的知识更确切。由于这一错误,人们只能把证明论划分为数学的一部分,因为如果证明数学的证明方法的理论本身都是不确定的,那么数学定理也不可能是确定的。但是我们已经看到,证明论不是数学的分支,它是一门科学。证明不是抽象的,不存在抽象地证明某个结论这样的事情,正如同不存在抽象的演算或计算某个结果这样的事情一样。人们当然可以定义一类抽象实体,称它们为“证明”,但是这些“证明”不能证实数学陈述,因为没人能看见它们。它们不能说服任何人相信命题是成立的,正如同物理上不存在的抽象虚拟现实生成器不能说服人们相信他们处在不同的环境中以及抽象计算机不能为我们分解因数一样。数学中的“证明论”与现实中哪些数学真理可证而哪些不可证无关,正如同抽象“计算”理论与现实中数学家或别的什么人能计算什么而不能计算什么无关一样,除非有一个另外的、经验主义的理由相信理论中的抽象“计算”与真实计算相似。计算(包括能作为证明的特殊计算)是物理过程。证明论是关于怎样确保这些过程正确地模拟了它们所想要模拟的抽象实体的。
哥德尔定理被赞美为“两千年来纯逻辑的第一个新定理”,但并非如此。哥德尔定理是关于什么可证什么不可证的,证明是物理过程。证明论中所有东西都不仅仅与逻辑有关。哥德尔用来证明关于证明的一般断言时所采用的新方法依赖于一定的假设,这些假设是关于哪些物理过程能够而哪些物理过程不能够以观察者可以察觉且信服的方式表示抽象事实。哥德尔把这些假设提炼出来融进对他的结果的明确且不言而喻的证明中。他的结果是自明的,不是因为它们是“纯逻辑的”,而是因为数学家们发现假设是自明的。
哥德尔的假设之一是传统的假设,即证明只能有有限步。这一假设的直观证明是,我们的生命是有限的,不可能掌握无穷多断言。顺便提一句,这一直观在1976年曾使许多数学家发愁。那时肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯用计算机证明了著名的“四色猜想”(只用4种不同的颜色就可以给平面上的任何地图着色,使得相邻区域的颜色都不相同)。这一程序需要计算机运算几百小时,这意味着如果把证明步骤写下来,一个人用几辈子也读不完,更不用说它是否自明了。“我们应该接受计算机对四色猜想的证明吗?”怀疑论者会问,虽然当他们接受相对“简单”的证明时,他们从来不会给自己大脑里的所有神经触发分门别类。
当应用到具有无穷步骤的假想的证明时,这一担忧就显得更加有理了。但是什么是“一步”,什么是“无穷”?在公元前5世纪,埃利亚的齐诺[3]基于类似的直观就断言,如果乌龟先行,那么阿基里斯[4]永远不会超过乌龟。在阿基里斯到达乌龟现在所处的位置时,乌龟又向前挪动了一点,而当他到达这一位置时,它又向前挪动了一点,依此类推以至无穷。所以这一“赶超”过程需要阿基里斯完成无限多赶超的步骤,作为有限的生命他是办不到的。但是阿基里斯能够做的事情不能靠纯逻辑来发现,它完全依赖于物理定律支配他能做什么。如果那些定律说他能赶超乌龟,那么他就能赶超它。根据经典物理,赶超需要无限多形如“移到乌龟现在的位置”这样的步骤,在这一意义下,这是一个计算上无穷的操作。等价地,把它看作是运用给定的一组操作使一个物理量变得比另一个物理量更大的证明,它是一个具有无限步骤的证明。但是有关的定律指明它是物理上有限的过程,这就是全部有意义的内容。
就我们所知,哥德尔关于步骤和有限的直观确实抓住了证明过程中真实的物理限制。量子理论需要离散步骤。在物理对象相互作用的已知方式中,没有一种允许在得出结论前经过无穷多步骤。(然而,宇宙的全部历史有可能完成无限多步骤,我将在第14章中解释这一点。)假如真是这样(这是不可能的),那么经典物理就会与这些直观不一致了。例如,传统系统的连续运动会允许存在“模拟”计算,它不是按步骤进行计算,而且与通用图灵机拥有完全不同的全部本领。已经知道有几个例子在设想的经典定律下能够用物理上有限的方法完成无限的计算(按照图灵机或量子计算机的标准衡量是无限的)。当然,经典物理与无数实验结果是不相容的,所以推究“实际的”经典物理定律“会是什么样”是非常不自然的;但是这些例子表明,不用任何物理知识是不可能证明一个证明是必须由有限步组成的。同样的道理也适用于这一直观,即只能有有限条推理规则,而且这些规则必须是“简单易用的”。这些要求在抽象概念中都是无意义的:它们是物理的要求。希尔伯特在其影响广泛的文章《论无穷》中很轻蔑地嘲笑了认为“有限步”要求是本质要求的观点。但是上面的论证表明他错了:它是本质的要求,而且它只能从他和其他数学家的物理直观中得出。
在哥德尔关于证明的直观中,至少有一个被证明是错的;幸运的是,它恰好没有影响到他的定理的证明。他的这一直观是原封不动地从希腊数学的史前历史中继承下来的,每一代数学家都没有质疑过,直到20世纪80年代量子计算理论的发现证明它是错误的。这一直观认为证明是一种类型的对象,即符合推理规则的一系列语句。我说过,证明最好不被看作对象,而是看作过程,看作一种计算。但是在传统的证明论和计算理论中,这二者没有本质的区别,原因如下。如果能够检查证明过程,我们只需要不太多的额外努力就能够记录下这一过程中发生的每件相关事件。作为物理对象,这一记录就形成了在语句序列意义上的证明。反之,如果有这样一个记录,我们就能通读它,检查它是否满足推理规则,在这一检查过程中我们就证明了结论。换句话说,在传统情况下,在证明过程和证明对象之间相互转换总是容易的。
现在考虑某一个数学演算,它在所有传统计算机上都是难解的。但是设想一台量子计算机能够利用(例如)10500个宇宙间的干涉轻易地完成计算。为了更清楚起见,假设演算的结果(与因数分解的结果不同)在得出时不能容易地得到验证。为完成这样一个计算,给量子计算机编程,运行程序,得到结果,这一过程就形成了关于该数学演算具有这一特定结果的一个证明。但是现在没法记录下证明过程中发生的每一个事件,因为大部分都发生在其他宇宙中,测量计算状态会改变干涉性质,从而使证明失效。所以,建立旧形式的证明对象是不可能的。此外,就我们所知,在这个宇宙中简直没有足够的材料来组成这样一个对象,因为证明的步数比已知的这个宇宙中的原子数还要多得多。这个例子表明,由于量子计算的可能性,这两个证明的概念是不等价的。认为证明是一个对象的直观概念没有抓住现实中数学陈述可以被证明的所有方式。
我们再一次看到,从直观中尽量剔除所有可能的模糊性和错误,只保留不证自明的真理,这一导出确定性的传统的数学方法是有缺陷的。哥德尔正是这么做的,丘奇、波斯特尤其是图灵在构想他们的通用计算模型时也是这么做的。图灵希望他的抽象纸带模型是简单、明了、定义明确的,使它不依赖于任何可能被证伪的物理假设,从而使它成为独立于基础物理的抽象计算理论的基础。正如费曼曾经评论的:“他以为自己理解纸。”但是他错了。真实的、量子力学的纸与图灵机所用的抽象材料是非常不一样的。图灵机完全是传统的,不允许在不同宇宙的纸上写有不同的符号,更不允许这些符号还互相干涉。当然,检测纸带的不同状态间的干涉是不实际的,但是要点是图灵的直观,由于包含来自经典物理的错误假设,他抽象掉了所设想的机器的某些计算性质,而且这些恰好是他想要保留的性质。这就是为什么最后的计算模型是不完备的原因。
各个年代的数学家在证明和确定性问题上犯下各种错误,这是很自然的。当前的讨论让我们认为目前的观点也不会永远不变。但是,数学家们跌跌撞撞犯下这些错误,而且甚至不能认识到在这些问题上有犯错误的可能,我认为他们的狂妄与一个古老的、流传甚广的混淆有关,即混淆了数学的方法和主题。容我解释。与物理实体间的关系不同,抽象实体间的关系与任何偶然事件和任何物理定律无关。它们是完全客观地由抽象实体自身的自主属性决定的。因此,作为研究这些关系和属性的学科,数学就是研究绝对必然真理的学科。换句话说,数学研究的真理是绝对确定的,但是这并不意味着我们关于这些必然真理的知识本身是确定的,也不意味着数学方法赋予其结论必然真理性。毕竟数学也研究谬误和悖论,这并不意味着这种研究的结论就必定是错误的或自相矛盾的。
必然真理仅仅是数学的主题,不是我们研究数学所得的奖赏。数学的目标不是也不可能是数学的确定性,甚至不是数学真理,不论是不是确定的。它是且只能是数学解释。
那么,为什么数学这么好用呢?为什么它得出的结论虽然不是确定的,但是可以被公认且毫无问题地至少运用几千年?原因最终在于我们关于物理世界的某些知识也是非常可靠无异议的。当对物理世界充分了解后,我们也就了解了哪些物理对象与哪些抽象对象具有共同性质。但是在理论上,数学知识的可靠性仍然是附属于物理现实知识的。每一个数学证明的正确性完全依赖于我们对于支配某些物理对象的行为的规律的认识是否正确,不论对象是虚拟现实生成器、墨水、纸张还是我们自己的大脑。
所以,数学直观是物理直观的一种。物理直观是一组有关物质世界变化方式的经验法则,有些可能是天生的,许多是在儿童时期建立的。例如,我们有这样的直观,即存在物理对象这样的东西,它们具有一定的属性,如形状、颜色、重量以及空间位置,某些属性当对象未被注意时依然存在。另一个例子是存在物理变量——时间,属性相对于它而变化,但是不论怎样,对象本体不随时间变化。再一个例子是对象之间有相互作用,相互作用可以改变对象的某些属性。数学直观关心的是物理世界怎样显示抽象实体的性质。这种直观之一是构成对象行为的基础是抽象定律或至少是解释。空间中允许有封闭的表面把“内”与“外”分开的直观可以提炼为数学上集合这个概念的直观,把所有东西划分为集合的成员和非成员。但是数学家们进一步的提炼(从罗素反驳弗雷格的集合论开始)表明,当涉及的集合包含“太多”成员时(成员无穷的程度太大),这一直观就不再准确了。
即使物理直观或数学直观是天生的,这也不证明它拥有特殊的权威性。天生的直观不能看作为柏拉图的形式世界的“回忆”,因为往往许多被进化的偶然事件植入人类的直观恰恰是错误的,这种现象屡见不鲜。例如,人眼及其控制软件隐含地包含了这一错误理论,即黄光是由红光和绿光组成的混合光(意思是黄光给我们的感觉恰好同红光和绿光的混合给我们的感觉一样)。实际上,所有三种光有不同的频率,不能通过混合其他频率的光得到。红光和绿光的混合对我们来说显得像是黄光,这一事实与光的性质毫无关系,而是我们眼睛的性质。这是我们遥远的祖先在进化过程中某个时候发生的折衷设计方案的结果。有可能(虽然我不相信)欧几里得几何或亚里士多德逻辑是被莫名其妙地植入我们的大脑结构中的,哲学家康德相信这一点,但是逻辑上这并不会蕴含它们是对的。即使假设另一个更难以置信的情形,我们天生具有本质上无法摒弃的直观,这样的直观仍然不一定是对的。
如果数学知识真的如传统上所认为的那样是可以被确定地证实的,因而是分层的,那么真实世界的脉络的确就不会像现在这样具有统一的结构了。数学实体是真实世界结构的组成部分,因为它们是复杂且自主的。它们形成的这种实在的某些方面类似于柏拉图或彭罗斯设想的抽象王国:虽然依定义它们是无形的,但是它们客观存在,具有独立于物理定律的性质。然而,正是物理过程才允许我们获得这一王国的知识,而且它还附加上严格的限制。物理实在中的一切都是可理解的,而可理解的数学真理恰恰是那些碰巧对应某个物理真理的无穷小的那一部分,例如这样的事实:如果以一定的方式处理纸上用墨水写的一些符号,那么会出现一些别的符号。也就是说,它们是那些可以在虚拟现实中描绘的真理。我们别无选择,只能假设不可理解的数学实体也是真实的,因为它们不可避免地出现在关于可理解实体的解释中。
存在这样的物理对象(如手指、计算机和大脑),其行为可以模仿一些抽象对象的行为。物理实在的结构以这种方式给我们提供了观察抽象世界的窗口。这个窗口非常狭窄,只给我们有限范围的景象。我们看到的某些结构(如自然数或经典逻辑推理规则)对抽象世界似乎是重要或“基本”的,正如同深刻的自然定律对物理世界是基本的一样。但是这可能是误导的假象,因为我们真正看到的仅仅是某些抽象结构对于我们关于抽象世界的理解是基本的。没有理由认为这些结构在抽象世界中客观上也是意义重大的,仅仅是某些抽象实体距离我们的窗口比其他实体更近、更容易被观察到。
术语
数学:研究绝对必然真理的学科。
证明:确立数学命题正确性的一种方法。传统定义上的证明是指一组有序的陈述句,由一些前提开始,到所要的结论为止,并且满足一定的“推理规则”。更好的定义是指模拟某些抽象实体性质的计算,其结果确立了该抽象实体具有给定的性质。
数学直观:传统意义上是指数学推理的终极的自明的确证之源。在实际上是指关于一定物理对象的行为的一组理论(有意识的或无意识的),这些物理对象的行为模拟了相关抽象实体的行为。
直觉主义:一种学说,认为所有关于抽象实体的推理都是不可靠的,除非基于直接的自明的直觉。这是唯我主义的数学版本。
希尔伯特第二问题:为了“一劳永逸地确立数学方法的确信性”,寻找一组对所有正确证明都充分的推理规则,然后根据它们自身的标准证明这些规则是无矛盾的。
哥德尔不完备性定理:证明希尔伯特第二问题是无解的。对于任何一组推理规则,存在正确的证明不能由这组规则推出为正确的。
小结
复杂且自主的抽象实体客观地存在,而且是真实世界结构的组成部分。逻辑上存在关于这些实体的必然真理,这些组成了数学的主题。但是,不能确信地知道这些真理。证明不能赋予其结论确定性。某一形式的证明的正确性依赖于我们对于完成证明所使用的对象的行为理论的正确性。因此,数学知识本来是派生的,完全依赖于我们的物理知识。可理解的数学真理恰好是可以在虚拟现实中描绘的无穷小的一部分真理。但是不可理解的数学实体(如康哥图环境)也存在,因为它们不可避免地出现在我们对于可理解实体的解释中。
我讲过,计算始终是一个量子概念,因为经典物理与组成经典计算理论基础的直观不相容。时间也是这样。在发现量子理论以前几千年,时间是第一个量子概念。
 
[1].原文为第十个问题,但是作者指出应为第二个问题。后续段落都作相应改动。——译注
[2].“euraka”,意思是“妙哉,正是它!”,“哈!没错!”。据说古希腊科学家阿基米德终于想出了国王向他提出的检验王冠含金量问题的解答时,从浴缸里跳出来,狂喜异常,在大街上边跑边喊,向世界大声宣告:“我知道了!我知道了!”——译注[3].大约公元前5世纪古希腊埃利亚学派的哲学家。——译注
[4].希腊神话中的英雄。传说他在出生后被母亲倒提着在冥河水中浸过,所以除脚踵以外,浑身刀枪不入。——译注

11章 时间:第一个量子概念

似波浪滔滔不息涌向沙石的海滩:
我们的光阴匆匆奔向终点;
后浪推前浪一个个交替不断,
前推后拥一浪浪奋勇争先。
——威廉·莎士比亚(十四行诗 60)
虽然时间是我们最熟知的物质世界的属性之一,但是它却因极其神秘而闻名。神秘一直是与我们一同成长的时间概念的要素。例如,圣奥古斯丁[1]说过:
时间是什么?如果没有人问我,我还知道;可当我想要向问我的人解释时,我却不知道了。(《忏悔录》)
很少有人认为距离是神秘的,但是所有人都知道时间是神秘的。时间的神秘性都来自于它的基本的、常识性的属性,即我们称为“现在”的当前时刻不是固定不变的,而是连续不断向未来行进。这种运动称为时间流。
我们将会看到,不存在时间流这类东西,这一概念不过是纯粹常识性的。我们把它视为当然,甚至认为它是语言的结构之一。在《英语语法大全》这本书里,伦道夫·夸克及其合著者借助于图11-1来解释常识的时间概念。直线上的每一点代表一个具体的、固定的时刻,三角形“▽”标示“连续的运动点,当前时刻”在直线上的位置,认为它从左向右运动。有一些人(如莎士比亚在上面引用的十四行诗中)认为具体的事件是“固定的”,而直线本身经过它们(在图11-1中从右向左),从而未来时刻掠过当前时刻变成过去时刻。
 

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11-1 英语中认为的常识的时间概念(基于夸克等所著的《英语语法大全》)
我们说“时间可以认为是一条线”是什么意思?我们的意思是,正如一条线可以看作不同位置上的一系列点一样,物体的运动变化可以看作它自身的一系列静止的“瞬像”,每一时刻有一幅。说线上的每一点代表一个具体的时刻,就是说我们可以想象所有瞬像沿着直线叠在一起,如图11-2所示。某些瞬像显示过去的翻转箭头,某些则表示未来的箭头,其中之一——运动的“▽”目前所指向的那一个——显示现在的箭头,虽然很快这一个箭头将变成过去,因为“▽”还在前进。物体在不同瞬间的影像集合起来就是运动的物体,正如一系列静态的图片依次投射到屏幕上集合起来就是运动图画一样。它们中的每一个单独都不变化。变化是通过移动“▽”(“电影放映机”)依次指明(“照亮”)它们而形成的,从而一个一个地,它们依次成为现在。
 

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11-2 运动物体作为一系列“瞬像”,一个接一个地变成当前时刻
现在的语法学家不想对语言的使用方式进行任何价值评判,他们只想记录、分析与理解它,所以不能因为夸克等人描述的时间理论的优劣而责备他们。他们并没有说它是一个好理论,他们只是说它是我们的理论,我认为这一点是对的。不幸的是,它不是一个好理论。坦率地说,常识的时间理论之所以内在神秘的原因是它本质上是荒谬的。不仅仅因为它实际上不准确,我们将会看到,甚至用它自己的术语,它也是毫无意义的。
也许这很令人吃惊。我们已经变得习惯于修改我们的常识,使之与科学发现保持一致。常识经常被证明是错误,甚至非常错。但是就日常经验而言,常识会变成胡扯,这还是不寻常的。然而这正是这里的实际情况。
再来考虑图11-2,它显示了两个实体的运动,其中之一是翻转的箭头,以一系列瞬像表示。另一个是运动的“当前时刻”,从左向右掠过图示。但是当前时刻的运动在图中没有表示为一系列瞬像。相反,一个特别的时刻用“▽”单挑出来,用黑线强调,唯一标示为“(现在)”。所以,虽然标题说“现在”穿过图示,但只有它的一个瞬像在一个具体的时刻被画出来了。
为什么?毕竟本图的全部要点就是要显示在一个持续阶段发生的变化,而不仅仅局限于一个时刻。如果我们只想要图示显示一个时刻,那么就不需要费神去画多个翻转箭头的瞬像了。本图是用来说明常识理论的,即任何运动变化的物体都是一系列瞬像,每个时刻一个瞬像。所以,如果“▽”在运动,那么为什么不也画出它的一系列瞬像呢?如果这是时间原理的真实描述,那么画出来的这一个瞬像必定只是可能存在的许多瞬像之一。实际上,照本图的原样,它确实是误导的:它显示的“▽”不是在运动,而是在某一个时刻存在,随后立刻不存在了。如果是这样,那么“现在”就会是固定的时刻。我加了一个标记“当前时刻的运动”以及一个虚线箭头表示“▽”向右运动,但是这无济于事。这张图本身所显示的以及夸克等人的图解(图11-1)所显示的都是除了强调突出的那一个时刻以外,“▽”没有到达任何别的时刻。
人们最多能说图11-2是一幅混合的图示,执拗地以两种不同的方式描绘运动。对于运动的箭头,它阐明了常识的时间理论,而仅仅声明当前时刻是运动的,描绘出来好像是不动的。我们应该怎样修改这幅图示,使它既能阐明对于当前时刻运动的常识时间理论又能阐明箭头运动的常识时间理论呢?通过引入更多“▽”的瞬像,每个时刻一个瞬像,为每个瞬像标明在那一时刻“现在”的位置。那应该是哪里呢?显然,在每一时刻,“现在”就是这一个时刻。例如,在午夜,“▽”必定指向午夜箭头的瞬像;在凌晨1点,它必定指向凌晨1点的瞬像,等等。因此,图示应该如图11-3所示。
 

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11-3 在每一时刻,“现在”就是该时刻
这一改进的图示令人满意地阐明了运动,但是现在我们的时间概念被严重地削减了。认为运动物体是其自身一系列瞬时副本的常识观点仍然存在,但是另一个常识观点——时间流——已经不存在了。在这幅图示中,没有“连续的运动点,当前时刻”一个接一个地掠过固定时刻。没有这样一个过程:一个固定时刻在未来开始启动,然后变成现在,最后变成过去。多个符号“▽”和“(现在)”不再用于区分一个时刻与其他时刻,因此是多余的。如果把它们删除,图示也一样阐明翻转箭头的运动。
所以,除去主观因素以外,不存在单个的“当前时刻”。从一个具体时刻的观察者的角度来看,这一时刻的确是特殊的,可以被观察者唯一地称为“现在”,正如同空间中的一个位置,从处于这个位置的观察者的角度来看,可以单挑出来作为“这里”。但是客观上,没有一个时刻比其他时刻更有特权成为“现在”,正如同没有一个位置比其他位置更有特权成为“这里”。主观的“这里”可以随着观察者的移动穿过空间,主观的“现在”也可以类似地穿过时间吗?图11-1和图11-2究竟是否正确地阐明了从一个具体时刻的观察者的角度所看到的时间?当然不是。甚至在主观上,“现在”也没有穿过时间。经常说现在好像沿着时间前进,因为现在仅仅相对于我们的意识才得以定义,而我们的意识向前掠过时间。但是我们的意识没有也不可能这么做。当我们说意识“似乎”从一个时刻走到下一个时刻时,我们仅仅是在解释常识的时间流理论。但是,认为“我们察觉的”某个时刻从一个时刻运动到另一个时刻与认为一个当前时刻或任何别的时刻从一个时刻运动到另一个时刻没有什么区别。任何事物都不能从一个时刻运动到另一个时刻。在某一个具体时刻存在就意味着永远在那里存在。我们的意识在所有(我们清醒的)时刻存在。
诚然,观察者的不同瞬像感觉到的“现在”时刻不同,但是那不意味着观察者的意识——或任何其他运动变化的实体——穿过时间,如当前时刻被人们所设想的那样。观察者的不同瞬像并不是依次处于现在之中,并不是依次感知他们的现在。他们都有知觉,主观上都处于现在之中。客观上,没有现在。
我们没有感觉到时间流逝或穿行,我们感觉到的是当前的感受同我们现在对过去的感受的记忆之间的差别。我们把这些差别解释为宇宙随时间变化的证据,这是正确的;我们也把它们解释为意识、现在或什么东西穿过时间的证据,这是错误的。
如果运动的现在有一两天奇怪地停止运动,然后又以10倍于以前的速度开始运动,我们会感觉到什么?没有什么特殊的感觉,或者说,这个问题毫无意义。这里没有任何东西可以运动、停止或者流逝,也没有任何东西可以有意义地被称为时间的“速度”。在时间上存在的所有东西的形式都被认为是沿着时间轴排列的不变的瞬像,这包括了所有观察者的感觉经验,其中有他们认为时间“流逝”的错误直觉。他们可以想象“运动的现在”沿着直线行进、停止和启动,甚至后退或者彻底消失,但是想象它并不会使它发生,所有东西都不能沿着时间轴运动,时间不能流动。
时间流的观点其实预先假定了在常识的时刻序列时间以外还存在第二种时间。如果“现在”真的从一个时刻运动到另一个时刻,那么它必定是相对于这个外部的时间。但是认真采纳这个观点将导致无穷递归下去,因为我们不得不认为外部时间本身是连续的时刻,其自身“当前时刻”的运动又是相对于另一个外部时间,等等。在每一个阶段,时间流都不会有意义,除非我们将其归因于一个外部时间流,这样无穷无尽下去。在每一个阶段,我们都会有一个无意义的概念;整个无穷体系也没有意义。
这种错误的根源在于,我们习惯于将时间想作外在于所考虑的物质实体以外的一个框架。我们习惯于认为物质实体是能够变化的,所以是以不同时刻存在的一系列自身的副本的形式存在的。但是时刻序列本身(如图11-1至图11-3所示)是一个例外的实体,它不存在于时间框架以内,它就是时间框架。既然在它以外不存在时间,那么认为它变化或者以连续多个自身的副本形式存在就是自相矛盾的了。这使得这样的图解难以理解。像任何其他物理对象一样,图解本身的确在一段时间内存在,的确由多个自身的副本组成。但是图示描绘的内容——事物的副本序列——只存在一个副本。没有一个准确的时间框架图示能够是运动变化的图示,它必定是静态的。但是在想象它时存在心理上的固有困难。虽然图示是静态的,但是我们不能静止地理解它。它在纸上同时描绘了一系列时刻,为了把它与我们的经验联系起来,我们关注的焦点必须沿着序列运动。例如,我们可能注视一个瞬像,认为它代表“现在”,稍后注视它右边的瞬像,认为它代表新的“现在”。那么我们就可能会把关注的焦点在纯粹图示上的真实运动与事物穿过真正时刻的不可能运动混淆起来。很容易这样。
但是除了用图解阐明常识的时间理论的困难以外,还存在更多的问题。该理论本身包含一个本质的、深刻的含糊之处:它不能决定在客观上现在是一个时刻还是多个时刻,例如图11-1描绘了一个时刻还是多个时刻。常识希望现在是一个时刻,从而可以允许时间的流动——允许现在从过去到未来掠过不同时刻。但是常识也希望时间是一系列时刻,所有运动变化由实体在不同时刻的副本间的差异组成。这意味着时刻本身是不变的。所以,具体的时刻不可能变成现在,或者变得不成为现在,因为这些都是变化。所以,在客观上现在不可能是一个单独的时刻。
我们坚持这两个不相容的概念——运动的现在和不变的时刻序列——的原因是我们两个都需要,或者说我们认为需要。在日常生活中我们不断引用这两个概念,尽管不是同时引用。在描述事件时,例如说事件何时发生,我们想的是不变的时刻序列;在解释事件之间的因果关系时,我们想的是运动的现在。
例如,说法拉第“于1831年”发现电磁感应时,我们把该事件划入时刻的一定范围,即我们指明了在世界历史的长长的瞬像序列中,在哪一组瞬像中可以找到这一发现。当我们说事件在何时发生时,不涉及时间流,正如同说它在哪里发生时不涉及“距离流”一样。但是只要说事件为什么发生,我们就引用了时间流这个概念。当我们说把电动机和发电机部分地归功于法拉第,其发现的影响直到今天仍然能感觉到时,在我们心里有一幅图画,它描绘了从1831年开始的影响,连续掠过19世纪剩余年代的所有时刻,直到20世纪发电站这一类事物的出现。如果不小心,我们会认为20世纪原先还没有受到1831年的重大事件的影响,随后当影响波及21世纪以及以后时才被它们“改变”了。但是一般情况下,我们是小心的,不同时使用常识时间理论的这两个部分,从而避免这个不一致的想法。只有当我们思考时间本身时,我们才同时涉及这两个部分,这时我们才惊讶于时间的神秘!也许“悖论”是比神秘更恰当的词,因为这里在两个显然自明的观点之间存在明显的冲突。它们不可能同时成立,我们会看到两个都不对。
与常识不同,我们的物理理论是内在一致的,而且它首次获得一致性是通过抛弃时间流概念。诚然,物理学家像其他人一样谈论时间流。例如,牛顿在其著作《原理》中建立了牛顿力学和引力原理,他写道:
绝对的、真实的、数学的时间本身,根据其自身的性质,均匀地流动,与任何外部事物无关。
但是牛顿很聪明,没有把他认为时间流动的断言翻译成数学形式,也没有从中导出任何结论。牛顿的物理理论没有一条引用时间流,后来的物理理论也没有引用时间流或者与时间流概念相容。
为什么牛顿认为有必要说时间“均匀地流动”?“均匀”并没有错,人们可以把它的意思解释为时间的度量对于不同位置和不同运动状态的观察者而言是同样的。这是一个本质的断言(从爱因斯坦以后,我们知道这是不准确的)。但是它本可以如我叙述的那样容易陈述,无需说时间流动。我想牛顿是有意使用熟悉的时间语言,而不是指其字面意思,正如他可以非形式地说太阳“升起”一样。他需要向研究这一革命性工作的读者传达,在牛顿的时间概念里没有创新的和复杂的东西。《原理》给许多词(如“力”和“质量”)指定了精确的技术含义,与它们的日常意义有所不同。但是作为“时间”所指的数字就是常识意义上的时间,就是我们在钟表和日历上看到的数字,在《原理》中的时间概念就是常识的时间概念。
可惜,时间不流动。在牛顿物理中,时间和运动很像图11-3所示的那样,只有一个小小不同:我画的连续时刻是彼此分开的,而在所有量子物理以前的物理学中这只是一种近似,因为时间是连续的。我们必须想象,有无穷多、无穷薄的瞬像连续地插在我画的瞬像之间。如果每个瞬像代表在一个具体时刻物理上存在的全部空间中的一切,那么可以认为瞬像面对面地粘在一起,形成单一的、不可改变的块,包含时空中发生的一切(见图11-4),即全部物理实在。这种图解的一个不可避免的缺点是,在每一时刻,空间的瞬像被画成两维的,而实际上它们是三维的,每一个瞬像是一个具体时刻的空间。这样我们把时间看成第四维,类似于经典几何空间的三个维度。空间和时间像这样作为四维实体被统一考虑,称之为时空。
 

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11-4 把时空看作连续时刻
在牛顿物理中,这一对时间的四维几何解释是可有可无的,但是在爱因斯坦相对论中,它变成这一理论不可或缺的部分。这是因为,根据相对论,以不同速度运动的观察者对于哪些事件是同时的看法不一,即对于哪些事件应该出现在同一瞬像,他们的看法不一。所以,对时空是如何被切成“时刻”的,他们每个人有不同的感觉。不论怎样,只要他们每个人把瞬像以图11-4的方式码放起来,那么得到的时空都是相同的。所以,根据相对论,图11-4所示的“时刻”不是时空的客观形态:它们仅仅代表一个观察者感知同时性的方式。另一个观察者会以不同的角度画代表“现在”的切片。所以,图11-4背后的客观现实(即时空及其物质内容)可以画成图11-5的样子。
 

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11-5 运动物体的时空观
时空有时称为“块宇宙”,因为在其中整个物理实在——它的过去、现在和未来——被一次成型地描绘出来,冻结为单一的四维块。相对于时空,所有东西都不动。我们称为“时刻”的东西是某一个穿过时空的切片,当这些切片的内容彼此不同时,我们称其为变化或穿过空间的运动。
我说过,我们所想的时间流是与原因和结果相关联的。我们认为原因在结果之前,运动的现在先抵达原因,然后才抵达结果,而且结果随现在时刻一起向前流动。哲学上,最重要的因果过程是我们的决心和随后的行动。常识的观点是我们具有自由意志,即有时我们能够以几种可能的方式影响未来事件(例如我们身体的运动),并且能够选择哪一个将发生;相反,我们根本不可能影响过去。(我将在第13章中讨论自由意志。)过去是固定的,而未来是未定的。对于许多哲学家来说,时间流就是这样一个过程:未定的未来,一个时刻接着一个时刻地变成固定的过去。另一些人说,未来每一个时刻的若干可选择的事件是可能性,时间流就是这样一个过程:一个时刻接着一个时刻,这些可能性之一变成现实性(从而,根据这些人的看法,未来本来根本不存在,直到时间流撞上它才把它变成过去)。但是如果未来真的是未定的(它的确是!),那么这也与时间流无关,因为不存在时间流。在时空物理学(实际上就是从牛顿开始的所有量子物理以前的物理学)中,未来不是未定的。它就在那儿,其内容明确、固定,就像过去和现在一样。如果时空中一个具体时刻是“未定的”(在任一种意义上),那么当它变成现在和过去时,它必定仍然是未定的,因为时刻不可能变化。
主观上,可以说一个给定的观察者的未来“从该观察者的角度来看是未定的”,因为人们不可能测量或观察自己的未来。但是这一主观意义上的未定性不容选择。如果你有一张上星期的彩票,还未得知是否中奖,那么从你的角度看,结果依然未定,虽然客观上它是确定的。但是,不论主观上还是客观上,你都不能改变它。还没有影响它的因素都不再能够影响它了。常识的自由意志理论说,上星期在你还可以选择是否买一张彩票的时候,未来还是客观上未定的,你的确可以有两个或者更多选择。但这是与时空不相容的。所以根据时空物理,未来的未定性是一种错觉,因而原因和自由意志也不过是错觉。我们需要也坚持这一信念,认为未来能够被现在的事件所影响,尤其能够被我们的选择所影响;但是这也许不过是我们的一种方式,以应付对未来无知这一事实。实际上,我们没进行选择。甚至当我们认为自己在考虑选择时,其结果也已经在那里了,在时空的某一适当的切片上,像时空中的其他东西一样不可更改,不受我们深思熟虑的影响。而且那些深思熟虑本身似乎就是不可更改的,甚至在我们知道它们之前就已经存在于给它们分配的时刻上了。
成为某一原因的“结果”意味着受这一原因的影响——被这一原因改变。所以,当时空物理否认时间流的真实性时,它在逻辑上也就不能容纳常识的因果概念。因为在块宇宙中一切都不可更改:时空的一部分不能改变另一部分,就如固定的三维物体的一部分不能改变另一部分一样。
于是,在时空物理时代,所有基础理论都具有这一性质:给定在某一时刻之前发生的一切,物理定律能够确定所有后来时刻发生的事情。瞬像由其他瞬像决定这一属性称为决定论。例如,在牛顿物理中,如果人们知道一个孤立系统(如太阳系)中所有物体在某一时刻的位置和速度,那么人们在理论上就能够计算(预言)那些物体在以后所有时刻的位置,也能在理论上计算(追溯)它们在以前所有时刻的位置。
由一个瞬像确定另一个瞬像的物理定律就是把不同瞬像“粘”在一起成为一个时空的“胶水”。虽然不可能,但请让我们想象自己不知怎么地处在时空以外(从而有我们自己的外部时间,独立于时空内的时间),沿着时空内的某一个具体的观察者所看到的每一个时刻把时空切成一个个空间的瞬像,然后把瞬像次序打乱,将它们重新以新的次序粘在一起。从外部,我们能说这不是一个真正的时空吗?几乎肯定可以这么说。原因之一是,在这个被打乱的时空中,物理过程是不连续的,物体可以在一点上突然消失,在另一点又重新出现。原因之二是,更重要的是,物理定律不再成立,至少真正的物理定律不再成立。会存在不同的一组定律,明确地或者隐含地考虑到次序打乱的情况,正确地描述被打乱的时空。
对于我们来说,被打乱的时空和真正的时空之间的差别是很严重的,但是对于那里的居民来说是怎么样呢?他们能发现这种差异吗?现在我们处于靠近胡说的危险之中——我们所熟悉的常识时间理论的胡说。但是请宽恕我,我们会避开胡说。那些居民当然不能发现这种差异。假如他们能,那么他们早就发现了。例如,他们会评论他们所在世界存在的不连续性,发表有关这方面的科学论文,假如他们能够在被打乱的时空中生存下来的话。但是从我们奇妙的局外人的角度看,他们的确生存着,他们的科学论文也存在着。我们可以阅读那些论文,看到它们仍然仅仅包含原来时空的观察结果。在物理事件时空中的所有记录(包括有意识的观察者的记忆和感觉中的记录)都与原来时空中的记录相同。我们仅仅打乱了瞬像的次序,并没有从内部改变它们,所以那些居民仍然以原来的次序感知它们。
所以,就真实的物理(即时空内的居民感知到的物理)而言,所有这些对时空的切片和重组都是无意义的。不仅是被打乱次序的时空,而且甚至是未粘在一起的瞬像集合,它们在物理上都是与原来的时空相同的。我们把所有的瞬像描写成粘在一起、次序正确,是因为这代表由物理定律确定的它们之间的相互关系。一幅关于以不同次序粘在一起的瞬像图画将代表同样的物理事件——同样的历史,只是多少会有些歪曲那些事件之间的关系。所以,瞬像有其内在次序,这决定于其内容和真正的物理定律。任一瞬像与物理定律一道不仅决定了所有其他瞬像,而且决定了它们的次序以及它自己在序列中的位置。换句话说,每一个瞬像有一个“时间戳”,编码在其物理内容里。
如果要使时间概念不含有错误,不再是一个处于物理实在以外的超越其上的时间框架,那么事情就必定是这样。瞬像的时间戳是存在于宇宙内部的某个自然钟上的读数。在某些瞬像中,例如包含人类文明的瞬像中存在实际的时钟。在其他瞬像中存在物理变量,如太阳或空间中所有物质的化学成分,这些变量可以认为是时钟,因为它们在不同瞬像中取确定的、不同的值,至少在时空的一定区域上是这样。在这两种时钟交叠的地方,我们可以校准、统一它们,使其相互一致。
我们可以用物理定律确定的内在顺序重构时空。从任一瞬像开始,然后计算紧邻的前后瞬像应该是什么样,从剩余的集合中找出这些瞬像,把它们粘在原先瞬像的两边。反复做这一过程,构建起整个时空。这些计算太复杂,在实际生活中不能完成,但是它们在思想实验中是合理的,在思想实验中我们想象自己超脱于真实的物质世界之外。(而且严格说来,在前量子物理学中存在连续的无穷多瞬像,所以刚才描述的过程必须替换为一个极限过程,其中时空用无穷多步拼装起来,但原理是一样的。)
从一个事件可以预测另一个事件并不意味着这些事件有因果关系。例如,电动力学说所有电子负载的电荷相同,所以,利用这一理论我们可以而且经常从一个电子的测量结果预言另一个电子的测量结果。但是任一结果都不是由另一个结果引起的。实际上,就我们所知,电子的电荷值不是由任何物理过程引起的,可能是由物理定律本身“引起”的(虽然就目前所知,物理定律没有预言电子的电荷,仅仅说所有电子有相同的电荷)。但无论怎样,这样一个事件的例子(电子的测量结果)表明即使事件彼此可以预测,但是彼此之间可以完全没有因果关系。
这里还有一个例子。如果我们看到一个完全组装好的拼板玩具中一片的位置,并且知道所有片的形状,而且知道它们都以正确的方式连接好,那么就能够预言所有其他片的位置了。但是,这并不是说其他片处在它们的位置上是由于我们看到的那个片处在它现在的位置上所导致的。这种因果关系是否成立,依赖于这个拼板玩具作为一个整体是怎样形成的。如果我们看到的那一片是第一个被摆放的,那么它的确就是其他片各处其位的原因之一了。如果另外一片是第一个被摆放的,那么我们看到的那个片的位置就是结果,而不是原因了。但是如果拼板玩具是由拼板玩具切割机一次成型造出来的,而且还从未被拆散过,那么这些片的位置就彼此不构成因果关系了。它们不是以某种顺序组装起来的,而是同时造出来的,所处的位置已经遵循了游戏规则,使得这些位置彼此可以预测。不论怎样,它们中任何一个都不是其他位置的原因。
物理定律对于时空中事件的确定就像一个正确连接的拼板玩具的可预测性一样。物理定律由一个时刻发生的事件决定另一个时刻发生的事件,就像拼板玩具规则由一些片的位置决定另一些片的位置一样。但是,如同拼板玩具一样,不同时刻的事件是否彼此有因果关系依赖于时刻是如何形成的。观察拼板玩具,我们不能看出它是不是由一次摆放一片的方式形成的。但是对于时空,我们知道说一个时刻在另一个时刻之后“摆放”是没有意义的,因为那是时间流概念。所以我们知道,虽然某些事件可以由其他事件预言,但是时空中没有一个事件是另一个事件的原因。我再次强调,这些全部是根据前量子物理学认为发生的一切都在时空中。我们所看到的是时空与因果关系的存在是不相容的。这并不是说人们讲某些物理事件彼此有因果关系是错误的,而只是说这一直观与时空物理定律是不相容的。但是这没什么,因为时空物理是错的。
在第8章中我说过,一个实体要成为它自身被复制的原因必须具备两个条件:首先,该实体事实上被复制了;其次,它的大部分变种在同样的情况下没有被复制。这一定义包含了这种观点,即原因是那个对结果的发生起决定性作用的因素,这个定义对于一般的因果关系也成立。X要成为Y的原因必须具备两个条件:首先,X和Y都发生了;其次,如果X没发生,则Y不会发生。例如,阳光是地球上有生命存在的原因,因为阳光和生命都在地球上实际出现了,而且生命在没有阳光的情况下不会进化出来。
所以,思考因果时不可避免地也要考虑因果的变种。人们经常说在其他情况相同的条件下如果这样那样的事件有所不同,那么什么什么就会发生。历史学家可能会断言“如果法拉第死于1830年,那么技术会延迟20年”。这种断言的意思似乎非常明确,既然事实上法拉第没有死于1830年,而且于1831年发现了电磁感应,它就显得似乎非常有道理。这相当于说实际发生的技术进步部分地是由于法拉第的发现,因而也由于他还活着。但是在时空物理背景下,推断不存在的事件的未来是什么意思?如果时空中没有法拉第死于1830年这样的事件,那么也就没有他死之后这样的事情。当然我们可以想象一个时空包含这样的事件,但是因为仅仅是想象它,我们也就能想象它包含我们想要的任何后果。例如,可以想象法拉第死后技术进步有了加速发展。我们可以设法规避这种不确定性,只想象这样的时空,其中虽然有关事件与实际时空中的不同,但是物理定律是相同的。以这样的方式限制我们的想象,这么做有何根据并不清楚,但不论怎样,如果物理定律相同,那么有关事件就不可能不同,因为定律由以前的历史唯一地决定了它。所以,前面的历史也必须想象成不同的。怎样不同?我们想象的历史变种的后果怎样,关键依赖于我们的“其他情况相同”是什么意思,而这是完全不可确定的,因为有无穷多种方式想象1830年以前的事物状态可以导致法拉第在那一年去世。某些状态毫无疑问会导致更快的技术进步,而某些则更慢。在上面的“如果……那么……”陈述句中,我们指的是哪一个状态?哪一个算作“其他情况相同”?想尽一切办法,我们也不会在时空物理中成功地解决这一不确定性。这是一个不可回避的事实:在时空中实际上只有一件事情发生,其他都是幻想。
我们的结论只能是,在时空物理中,前提不成立的条件语句(“如果法拉第死于1830年……”)是无意义的。逻辑学家把这种语句称为反事实条件句,是传统悖论。我们都知道这种语句的意思,但是一旦要把它们的意思说清楚,这意思却好像没了。这种悖论的根源不在于逻辑和语言学,而在于物理学——在错误的时空物理学中。物理实在不是时空,它是一个更庞大更多样的实体,即多重宇宙。作为初步近似,多重宇宙就像非常大量地同时存在的、轻微相互作用的时空。如果时空像一摞瞬像,每一个瞬像是一个时刻的全部空间,那么多重宇宙就像这种摞的庞大集合。即使这样(我们将看到)略微有点儿不准确的多重宇宙图像也已经能够容纳因果关系了。因为在多重宇宙中,几乎肯定有一些宇宙中的法拉第死于1830年,在这些宇宙中的技术发展相对于我们的宇宙是否被延迟了,这是一个事实(不是可观察到的事实,而是不折不扣的客观事实)。反事实语句“如果法拉第死于1830年……”所指的是我们宇宙的哪一个变种,这一点毫无随意性:它就指多重宇宙中实际发生这种事的变种。这就解决了不确定性。求助于想象的宇宙不行,因为我们可以以想要的任何比例来想象任何想要的宇宙。但是在多重宇宙中,各种宇宙的存在是有一定比例的,所以,说一定类型的事件在多重宇宙中“非常稀少”或“非常普遍”是有意义的,说某些事件在“大多数情况下”发生在另外一些事件之后也是有意义的。大部分逻辑上可能的宇宙根本不存在,例如不存在这样的宇宙,其电子的电荷与我们宇宙的电子电荷不同,或者量子物理定律不成立。在反事实语句中隐含地提到的物理定律是其他宇宙中实际遵循的定律,即量子理论定律。因此,可以把“如果……那么……”语句无歧义地理解为“在法拉第死于1830年的宇宙中,大部分宇宙的技术进展相对于我们的宇宙被延迟了”。一般地,在我们的宇宙中,如果X和Y都出现了,而在X没有出现的我们宇宙的大部分变种中Y也没有出现,那么就可以说在我们的宇宙中事件X是Y的原因。
如果多重宇宙确实是时空的集合,那么时间的量子概念就会与传统概念相同。如图11-6所示,时间仍然是一系列时刻,唯一的差别是在多重宇宙的一个具体时刻,存在多个宇宙而非一个。在一个具体时刻的物理实在实际上是由整个空间的许多不同版本的瞬像组成的“超瞬像”。整个时间的全部实在将是所有超瞬像的一摞,就像传统意义上是空间瞬像的一摞一样。因为存在量子干涉,每个瞬像不再完全由同一时空的前面的瞬像所决定(虽然近似意义上还是这样,因为经典物理经常是量子物理的良好近似)。但是,从一个具体时刻开始的超瞬像则恰好完全由前面的超瞬像所决定。这一彻底的决定论不会导致完全可预测性,即使理论上也不行,因为预测需要知道在所有宇宙中发生的事情,而我们的每个副本只能直接感知一个宇宙。无论怎样,就时间概念而言,情况就像时空中由决定性规律联系起来的一系列时刻一样,只是每一个时刻发生的事情更多而已,但是对于任何观察者的任何一个副本,大部分事情都是隐藏起来看不见的。
 

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11-6 如果多重宇宙是相互作用的时空的集合,那么时间仍然是一系列时刻
然而,这还不完全是多重宇宙的情况。一个可行的量子时间理论——也是量子引力理论——已经是几十年来理论物理学干着急却达不到的目标。但是我们已经充分了解到,虽然量子物理定律在多重宇宙层次上是完全决定论的,但是它们没有如图11-6所示的那样把多重宇宙划分为分离的时空或划分为超瞬像,其中每个超瞬像完全决定了其他超瞬像。所以,我们知道把时间看作一系列时刻的传统时间概念不可能是对的,虽然在许多场合,即在多重宇宙的许多区域,它的确给出了良好的近似。
为了阐明量子时间概念,我们想象把多重宇宙切成一堆单个的瞬像,就像对时空的处理那样。我们用什么把它们重新黏合起来?如以前一样,唯一可接受的胶水是物理定律和瞬像的内在物理性质。如果在多重宇宙中时间是一系列时刻,那么就必须有可能识别一个给定时刻的所有空间瞬像,从而把它们做成超瞬像。毫不奇怪,事实证明无法做到这一点。在多重宇宙中,瞬像没有“时间戳”。不存在另一个宇宙的某个瞬像与我们宇宙的某个瞬像“同时发生”这样的事情,因为这将再次意味着存在一个超越其上的时间框架,处于多重宇宙之外,多重宇宙内的事件都相对于它发生。这样的框架并不存在。
所以,在其他时间的瞬像和其他宇宙的瞬像之间没有根本的界限。这是量子时间概念与众不同的要点:
其他时间就是其他宇宙的特例。
这种理解首先发端于20世纪60年代对量子引力的早期研究中,尤其是源于布莱斯·德威特的工作,但就我所知,直到1983年才由唐·佩奇和威廉·伍特斯以一般的形式叙述出来。我们称为“我们宇宙中的其他时间”的瞬像仅仅是从我们的角度看与“其他宇宙”不同,而且仅仅在于依照物理定律它们与我们的关系特别紧密。因此,它们就是我们自己的瞬像掌握其存在的大部分证据的瞬像。所以,在发现它们之后几千年,我们才发现了多重宇宙的其余部分,后者通过干涉效应作用于我们,相比起来非常微弱。为了谈论它们,我们发展了特殊的语言结构(动词的过去时和将来时)。为了谈论其他类型的瞬像,我们还发展出了其他语言结构(如“如果……那么……”语句,动词的条件和虚拟态),甚至不意识到它们的存在。传统上我们把这两种瞬像——其他时间和其他宇宙——放在完全不同的概念范畴里。现在我们看到这种区分是不必要的。
现在我们继续从概念上重构多重宇宙。现在我们的堆中有更多的瞬像,但是让我们再次从一个时刻的一个宇宙的单个瞬像开始。如果我们现在在堆中寻找与原来这个瞬像非常类似的其他瞬像,那么我们会发现这个堆与拆散的时空非常不同,原因是我们发现有许多瞬像与原来的瞬像完全一样。实际上,任何存在的瞬像都有无穷多个副本,所以问具有这样那样性质的瞬像在数目上有多少是没有意义的,而只能问在无穷多个瞬像中具有这一性质的占多少比例。为简单起见,当我说宇宙的一定“数目”时,我总是指多重宇宙总数的一定比例。
除了我在其他宇宙中的变种以外,如果我还有若干完全相同的副本,那么哪一个是我?我当然是所有的副本。他们中的每一个都刚刚问过这一问题“哪一个是我?”,任何对这个问题的正确回答都必定给出同样的答案。认为在相同的副本中哪一个是我这样的问题有物理意义,就是认为在多重宇宙之外存在一个参照系,答案可以相对于它给出——“左起第三个是我……”。但是“左”是什么,“第三个”是指什么?只有当我们想象我的瞬像摆放在某一个外部空间的不同位置上时,这些术语才有意义。但是多重宇宙并非存在于一个外部空间之中,正如它并非存在于外部时间之中一样,它包括所有存在的时间和空间。它就是存在着,而且物理上它就是存在的一切。
量子理论不像时空物理那样,一般地它不决定一个具体瞬像中将发生什么;相反,它确定在多重宇宙的所有瞬像中具有给定性质的宇宙占多大比例。因此,作为多重宇宙的居民的我们有时只能对自己的经验做出概率预测,尽管多重宇宙中发生的事情是完全确定的。例如,假设我们掷一枚硬币。典型的量子理论预测是,如果在一定数目的瞬像中让硬币以一定方式旋转,时钟显示一定的读数,那么就会有那个数目的一半的宇宙,其中时钟显示更大的读数,硬币掉下以“正面”朝上,而另一半数目的宇宙中,时钟显示更大的读数,硬币掉下以“背面”朝上。
11-7表示多重宇宙中发生这些事件的小区域。即使在这一小区域中也有大量瞬像要显示,所以我们只能用图上的一个点代表一个瞬像。我们关注的瞬像都包含某种标准形式的时钟,图示的安排使得具有同一时钟读数的所有瞬像出现在垂直的一列中,并使得时钟读数从左向右增大。当我们沿着图中任一垂直线看时,并非所有经过的瞬像都不同。我们经过一组一组相同的瞬像,以阴影显示。显示最早时钟读数的瞬像位于图示的最左边。我们看到所有这些瞬像都是相同的,硬币在旋转。在图示的右边,我们看到时钟显示最晚的读数,在一半的瞬像中硬币掉下以“正面”朝上,在另一半瞬像中硬币掉下以“背面”朝上。在时钟读数介于中间的宇宙中,有三种类型的宇宙,其比例随时钟读数变化。
 

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11-7 包含一个旋转硬币的多重宇宙的一个区域,图中每个点代表一个瞬像
如果你在显示的多重宇宙区域内存在,那么你的所有副本都会首先看见硬币旋转,稍后你的一半副本会看见“正面”朝上,另一半副本会看见“背面”朝上。在中间阶段,你会看见硬币仍处于运动状态,但是从中已经可以预测当它最终停止时哪一面将朝上。观察者的相同副本分化为略微不同的副本,这种分化导致了量子预测的主观概率特性。因为如果在开始你问你注定会看到掷硬币的哪种结果,答案为严格地说,这是不可预测的,原因是问这一问题的你的一半副本会看见“正面”,而另一半会看见“背面”。没有“哪一半”会看见“正面”这样的事情,正如对问题“哪一个是我”没有答案一样。从实用的角度,我们可以把它看作概率预测,硬币有50%的可能性“正面”朝上,50%的可能性“背面”朝上。
量子理论的决定性,就如经典物理一样,在时间上向前、向后都成立。从图11-7中后面时间的兼有“正面”和“背面”的瞬像集合状态,可以完全确定前面时间的“旋转”状态,反之亦然。无论怎样,从任一观察者的角度看,在掷硬币过程中损失了信息。因为观察者可以感受硬币的初始“旋转”状态,而最后的兼有“正面”和“背面”的状态却不对应于观察者的任何可能感受。所以,早期的观察者可以观察硬币,预言它未来的状态,以及必然的主观概率。但是后来的观察者的副本都不可能观察到必要的信息来倒推“旋转”状态,因为这一信息此时已经分散到两种不同类型的宇宙中去,这使得从硬币的最后状态倒推成为不可能的了。例如,如果我们知道的全部就是硬币“正面”朝上,那么几秒钟前的状态可能是我称为“旋转”的状态,或者是硬币以相反方向旋转,或者它一直就是“正面”朝上。这里不可能倒推,甚至概率倒推也不可能。硬币的早期状态就是不能由后来的“正面”瞬像状态确定,而只能由“正面”和“背面”瞬像的联合状态确定。
划过图11-7的任何水平线都沿着增大的时钟读数穿过一系列瞬像。我们可能会认为这样的直线(如图11-8所示的直线)是一个时空,整个图示是一摞时空,每一条横线代表一个。从图11-8中我们可以读出在水平线定义的“时空”中发生了哪些事件。在一段时间内它包含旋转的硬币,在下一段时间内它包含的硬币的运动方式可以预期将导致“正面”朝上,而以后与之相反,它包含的硬币的运动方式可以预期将导致“背面”朝上,最终它的确显示“背面”朝上。但是正如我在第9章(见图9-4)所指出的那样,这仅仅是图示的缺陷。在本例中,量子力学定律预言,所有记得看见硬币处于“可预期正面朝上”状态的观察者都不会看见它处于“背面朝上”状态,这就是首先称这一状态为“可预期正面朝上”状态的理由。所以,当事件发生在该直线定义的“时空”中时,多重宇宙的观察者都不会认识它们。所有这一切证实我们不能随意地把瞬像粘在一起,黏合方式必须反映它们之间由物理定律决定的相互关系。沿着图11-8中的直线的瞬像之间的相互联系并没有充分证明它们应归属于同一个宇宙。诚然,它们以时钟读数增大的顺序出现,在时空中这些读数是“时间戳”,足以让时空重组起来。但是在多重宇宙中有非常多的瞬像,仅靠时钟读数已经不能确定瞬像的相对位置。为此,我们需要考虑哪些瞬像决定其他哪些瞬像的复杂细节。
 

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11-8 时钟读数增大的一系列瞬像不一定是一个时空
在时空物理中,任一瞬像都可以决定任一其他瞬像。我说过,在多重宇宙中一般不是这样。典型地,一组相同瞬像(如硬币“旋转”的那些瞬像)的状态决定了一组等量的不同瞬像(如“正面”和“背面”瞬像)的状态。因为量子物理定律的时间可逆性,这后一组的多值状态的总体也决定了前一组的状态。然而,在多重宇宙的某些区域以及空间的某些位置,某些物理对象的瞬像的确在一段时间内分为链条,链条内每个成员近似地决定了所有其他成员。典型的例子是太阳系的连续瞬像。在这些区域,经典物理定律是对量子定律的良好近似。在这些区域和位置,多重宇宙的确如图11-6所示的那样像一组时空,在这一近似水平上,量子时间概念简化为传统时间概念。人们可以近似地区分“不同时间”与“不同宇宙”,时间近似地是一系列时刻。但是如果人们更细致地考察瞬像,或者在时间跨度上向前、向后看得更远,或者在多重宇宙中看得更远,那么这种近似就肯定被打破了。
我们现在可获得的所有实验结果都是与认为时间是时刻的序列这一近似相一致的。我们不指望在地球上可预见的未来的实验中会打破这一近似,但是理论告诉我们,在某些类型的物理过程中,它必定会被彻底打破。首先就是宇宙的起源——大爆炸。根据经典物理,在时间开始的时刻,空间无限稠密,只有一个点那么大小,在此之前没有时刻。根据量子物理(就我们所知),非常靠近大爆炸的瞬像没有排成一定的顺序。时间的顺序性没有开始于大爆炸,而是开始于稍后的时刻。当然,问是多久以后是没有意义的。但是我们可以说,在良好的近似程度以内,产生顺序的最早时刻大约出现在经典物理可以推论的大爆炸开始后的不到1043秒内(普朗克时间)。
第二种类似的打破时间顺序性的情况,据认为发生在黑洞内部以及宇宙的最后坍缩阶段(大坍缩),假如存在的话。在这两种情况下,根据经典物理,物质被压缩到无限稠密状态,就像大爆炸时一样,导致的引力把时空结构撕裂开。
顺便说一句,如果你想知道在大爆炸以前发生了什么,在大坍缩以后又会发生什么,那么你现在不必探究下去了。为什么难以接受在大爆炸以前和大坍缩以后不存在时刻,从而什么也不会发生和存在这一观念呢?因为想象时间走向停止或开始是很难的。但是这时候,时间没有走向停止或开始,因为它根本没动。多重宇宙不会“开始存在”和“停止存在”。这些术语都预先假设了时间流概念。正是对时间流的想象才使得我们想探究在全部实在“之前”和“之后”发生了什么。
第三,据认为在亚微观尺度下,量子效应再次折弯、撕裂时空结构,在这一尺度上存在封闭的时间环——实际上是微小的时间机器。在下一章我们会看到,这种时间顺序的崩溃在大尺度上也是物理上可能的,如旋转的黑洞这类物体附近是否会出现这种现象,这个问题还悬而未决。
所以,虽然我们还不能探测到这些效应,但是最好的理论已经告诉我们,时空物理不是真实世界的准确描述。不论它的近似程度有多高,现实中的时间必定与常识所认为的线性序列完全不同。不论怎样,多重宇宙中的一切就像经典时空中那样完全是确定的。删除一个瞬像,其他瞬像能够完全确定它;删除大部分瞬像,剩下的少数瞬像仍然可以确定删除的所有内容,就像在时空中那样。差别仅仅在于,与时空不同,多重宇宙不是由充当多重宇宙“时刻”的、我称之为超瞬像的、相互决定的层次所组成的。多重宇宙是一个复杂的多维拼板玩具。
在这一多重宇宙的拼板玩具中,既没有时刻序列,也没有时间流,常识的因果概念倒具有完美的意义。我们发现的时空中因果关系的问题是,它是因果自身及其变种的性质。因为这些变种仅仅存在于想象中,而不在时空中,所以我们就撞上了这一物理上无意义的事情:从不存在的(“反事实”)物理过程的想象的性质中得出本质的结论。但是在多重宇宙中,变种确实以不同比例存在,而且遵循明确的决定性规律。给定这些规律,哪些事件影响了其他哪些事件的发生就是一个客观事实。假设有一组瞬像,它们不一定相同,但是都具有性质X。假设这一组是存在的,物理定律决定了存在另一组瞬像具有性质Y。那么X成为Y的原因的条件之一已经具备了。另一个条件必须与变种有关了。考虑第一组的不具有性质X的变种。如果这一组存在,而仍然能够决定存在一些具有性质Y的瞬像,那么X就不是Y的原因:因为即使没有X,Y也能发生。但是如果从非X变种的组中只能决定非Y变种存在,那么X就是Y的原因。
在这一因果关系的定义中,没有什么在逻辑上要求因在果之前,有可能在非常奇异的情况下,如非常接近大爆炸或在黑洞内部,因不在果之前。但是就日常经验而言,因总是在果之前,这是因为(至少在多重宇宙中我们的周围)不同类型的瞬像的数目往往随时间很快增加,几乎不会减少。这个性质与热力学第二定律有关,就是说有序的能量(如化学能和引力位能)可以完全转化为无序能量(即热能),但是反过来却不行。热能是微观的随机运动。用多重宇宙的术语,这意味着在不同的宇宙中有许多微观上不同的运动状态。例如,在通常放大倍率的硬币的连续瞬像中,似乎是下落过程把一组相同的“可预测正面朝上”的瞬像变成一组相同的“正面朝上”的瞬像。但是在这一过程中,硬币的动能变成了热能。所以,在足够看清个别分子的放大倍率下,后一组瞬像根本不是相同的,它们的硬币都处于“正面朝上”状态这一点是相同的,但是硬币的分子、周围空气的分子以及地面上的分子则处于许多不同的状态。诚然,最初的“可预测正面朝上”瞬像在微观上也不完全相同,因为那里也存在热能。但是在这一过程中产生了热能,说明这些瞬像比起后一组瞬像的差别要小得多。所以,每一组同类的“可预测正面朝上”瞬像决定了——因而也导致了——大量微观上不同的“正面朝上”瞬像的存在。但是单独一个“正面朝上”瞬像本身不能决定“可预测正面朝上”瞬像的存在,所以不是后者的原因。
相对于任一观察者,可能性到现实性的转化——未定的未来到确定的过去的转化——在这一框架下也有意义。再次考虑掷硬币的例子。在掷硬币之前,从观察者的角度来看,未来是不确定的,意思是“正面朝上”和“背面朝上”两种结果都有可能被该观察者看到。从观察者的角度,两种结果都是可能性,虽然客观上它们都是现实性。在硬币落下以后,观察者的副本分化为两组,每一个观察者只看到、记住掷硬币的一个结果。所以,一旦结果成为观察者的过去,对于观察者的每一个副本来说,这个结果就变成单值的、实际的了,虽然从多重宇宙的角度来看,它和过去一样仍是二值的。
让我们总结一下量子时间概念的要点。时间不是时刻的序列,它也不流动,但是我们关于时间性质的直觉大略是对的。某些事件的确是因果关系。相对于一个观察者,未来的确是不确定的,而过去是固定的,可能性的确变成现实性。我们传统的时间理论是错误的原因在于,它们企图在错误的经典物理框架中表达这些正确的直觉。在量子物理中它们是有意义的,因为时间一直是量子概念。我们在称为“时刻”的宇宙中以多个副本的形式存在,每个副本没有直接意识到其他副本的存在,但是有他们存在的证据,因为物理规律把不同宇宙的内容联系起来。有一种倾向认为我们知道的时刻是唯一真实的时刻,或者至少比其他时刻更真实一点儿。但是这不过是唯我主义。所有时刻在物理上都是真实的,整个多重宇宙在物理上是真实的,其他都不是真的。
术语
时间流:假定的当前时刻沿着未来方向的运动,或者假定的我们的意识从一个时刻到另一个时刻的运动。(这是胡说!)
时空:时间加空间,一起看作一个静态的四维实体。
时空物理学:如相对论这样的理论,认为真实世界是时空。因为真实世界是多重宇宙,所以这种理论最多是一种近似。
自由意志:能够以几种可能的方式之一影响未来事件并选择用哪一种的能力。
反事实条件句:前提是假的条件语句(如“如果法拉第死于1830年,那么会发生X”)。
瞬像(仅用于本章的术语):一个具体时刻的宇宙。
小结
时间不流动。其他时间不过是其他宇宙的特例。
时间旅行可能行得通,也可能行不通。但是如果行得通,那么我们已经对它的面貌有了相当好的理论理解,这一理解涉及所有四大理论。
 
[1].公元354——430年,罗马帝国基督教思想家。——译注

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