117思维模型：幂律分布一强者恒强 弱者愈弱

财富杂志发布了2021年美国500强公司排行榜，其中苹果公司营收2745亿美元，利润却达到574亿美元之巨，成为榜单中利润第一名。尽管其在智能手机市场中的份额占比仅有13%左右，但它却拿走了全部市场的60%利润，剩下所有的手机公司只能瓜分剩下的40%，为什么在经济系统中会出现强者恒强，弱者愈弱的现象？社会中会出现了富者越富，穷者越穷的现象呢？按照马克思的理论解释，可能是因为资本主义的缺陷造成的。其实背后隐藏着一个巨大的数学定律“幂次法则”。

Peter Thiel《从0到1》一书中写到：“幂次法则是宇宙的力量，是宇宙最强大的力量。它完整定义了我们周围的环境，而我们几乎毫无察觉。”

《新约.马太福音》一书中提到：“凡是少的，就连他所有的，也要夺过来。凡是多的，还要给他，叫他多多益善。” 这就是著名的马太效应。

概率论给我们的启示是：“凡是相信大数定律的，凡是相信热力学第一定律的，就不要去赌博，不要去炒股，不要去买彩票，不要去进行任何投机，而应该去开赌场。”

可见幂律对社会和经济的影响极大，那什么是幂律分布？幂律分布的原因是什么？幂律分布有哪些应用？本文对以上问题进行探讨。

一、什么是幂律分布？

在统计学中，幂律power law表示的是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化会导致另一个量的相应幂次比例的变化，且与初值无关：表现为一个量是另一个量的幂次方。例如，正方形面积与边长的关系，如果长度扩大到两倍，那么面积扩大到四倍。

幂函数：y=x^a（a为有理数）

指数函数：y=a^x（a为常数且以a>0，a≠1）

幂律分布：是一种概率分布，假设变量x服从参数为α的幂律分布，则其概率密度函数可以表示为：概率密度函数为f(x)=cx^-a-1(x→∞）

幂律分布也有很多其他的形式，例如“长尾”分布也是幂律分布的一种。

在幂律分布中，事件发生的概率与事件大小的某个负指数成比例。也就是事件越大，发生的可能性越小。因此，在幂律分布中，小事件的数量要比大事件要多得多。大事件的可能性将幂律分布与正态分布区分开来，因为在正态分布中，我们实际上从未见过大事件，而在幂律分布中，大事件虽然也很少见，但是它们发生的频率足以引起注意和准备。即使是百万分之一的事件也必须加以考虑。

例如：地震大小的分布接近于指数大约为2的幂律。如果发生了震级大于里氏9.0级的地震，不但建筑物会被夷为平地，整个地形地貌都会变得面目全非。这是一个发生的可能性只有百万分之一的大事件，在一个世纪的时间中，这种规模的地震发生的概率为3.5%。

自然界与社会生活中存在各种各样性质迥异的幂律分布现象。地震规模大小的分布（古登堡—里希特定律）、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布、太阳耀斑强度的分布、计算机文件大小的分布、战争规模的分布、人类语言中单词频率的分布、大多数国家姓氏的分布、学者撰写的论文数及其被引用的次数的分布、自媒体被关注的分布、视频播放次数的分布、每类生物中物种数的分布等都是典型的幂律分布。

常见的幂律分布有齐普夫定律、二八法则、长尾效应、马太效应等。

1、齐普夫定律

1932年哈佛大学的语言学专家齐夫（Zipf）在研究英文单词出现的频率时，发现如果把单词出现的频率按由大到小的顺序排列，则每个单词出现的频率与它的名次的常数次幂存在简单的反比关系，这种分布就称为齐夫定律，即对于指数为2的幂律分布（a=2），事件的等级排列序号乘以它的大小等于常数，也就是事件等级×事件大小=常数。

它表明在各种语言中，只有极少数的词被经常使用，而绝大多数词很少被使用。2016年，江南大学的研究者以诺贝尔文学奖得主莫言的《红高粱》《蛙》和《透明的红萝卜》为主要研究对象，采用字频统计软件和汉语词频统计软件，统计莫言作品中字频、词频，发现都能满足齐普夫定律。所得结果与包括英语、西班牙语、法语等在内的多种语言研究结果一致。

2、二八法则

19世纪意大利经济学家帕雷托（VilfredoPareto）研究了个人收入的统计分布，发现少数人的收入要远多于大多数人的收入，提出了著名的80/20法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。

3、长尾理论

克里斯·安德森（Chris Aderson）的“长尾理论”即是幂律的口语化表达。安德森系统研究了亚马逊、狂想曲公司、Blog、Google、eBay、Netflix等互联网零售商的销售数据，并与沃尔玛等传统零售商的销售数据进行了对比，观察到一种符合统计规律（大数定律）的现象。这种现象恰如以数量、品种二维坐标上的一条需求曲线，拖着长长的尾巴，向代表“品种”的横轴尽头延伸，长尾由此得名。

4、马太效应

马太效应是社会学家和经济学家们常用的术语，它反映着富者更富、穷者更穷，一种两极分化的社会现象。1968年，美国科学史研究者罗伯特·莫顿（Robert K. Merton）提出这个术语用以概括一种社会心理现象：“相对于那些不知名的研究者，声名显赫的科学家通常得到更多的声望；也就是任何个体、群体或地区，在某一个方面（如金钱、名誉、地位等）获得成功和进步，就会产生一种积累优势，就会有更多的机会取得更大的成功和进步。”此术语后为经济学界所借用，反映赢家通吃的经济学中收入分配不公的现象。

统计物理学家习惯把服从幂律分布的现象称为无标度现象，即系统中个体的尺度相差悬殊，缺乏一个优选的规模。凡有生命、有进化、有竞争的地方都会出现不同程度的无标度现象。

二、幂律分布的产生原因

1、优先链接模型

Barabási与Albert针对复杂网络中普遍存在的幂律分布现象，提出了网络动态演化的BA模型，他们解释，成长性和优先连接性是无标度网络度分布呈现幂律的两个最根本的原因。所谓成长性是指网络节点数的增加，像路由器的添加、网站或网页的增加等，优先连接性是指新加入的节点总是优先选择与度值较高的节点相连。

比如：新网站总是优先选择人们经常访问的网站作为超链接。随着时间的演进，网络会逐渐呈现出一种“富者愈富，贫者愈贫”的现象。

不妨想象一下大学新生进入大学校园时的情景。第一个来到学校的学生创建了一个新的社团，第二个到达的学生以较小的概率创建了自己的社团，更有可能的是，他会加入第一个学生创建的社团。前10个到达的学生可能会创建3个社团：一个有7个成员，一个有两个成员，一个有一个成员。第11个到达的学生只会以极小的概率创建第4个社团，如果不创建新的社团，她就加入现有的社团。如果这样做，那么她有70%的可能性加入已有7个学生的社团，有20%的可能性加入已有两个学生的社团，只有10%的可能性加入只有一个学生的社团。

优先连接模型有助于解释为什么网络链接、城市规模、企业规模、图书销量和学术引用数量的分布都是幂律分布。在这些情况下，一个行动会增加其他人也这样做的可能性。

例如：吃饭要选择人多的饭店，买奶茶要选择排队长的店家，网上购物选择销量高的产品等。这是不是从众效应呢？

2、自组织临界模型

自组织临界模型，通过在系统中建立相互依赖关系的过程产生幂律分布，直到系统达到临界状态为止。许多真实的系统, 如地震、网络、金融、沙堆、火灾等系统,都是自组织临界性系统。

其中著名的有沙堆模型，假设有人将沙粒从距桌面几十厘米的地方洒落到桌子上。随着沙粒不断增多，一个沙堆开始形成。最终，沙子的堆积会达到临界状态，此后每加一次沙子都可能导致“沙崩”。在这种临界状态下，多加入的沙子通常要么没有影响，要么最多只会导致一些沙子下滑。这些属于幂律分布中的数量众多的小事件。但有时，只要再加入一粒沙子就会导致大规模的“沙崩”，这就是大事件。

森林火灾模型（forest fire model）也是自组织临界模型的一种。假设树木可以在一个二维网格上生长，这些树木也可能会随机地被闪电击中。当树木的密度较低时，由闪电引发的任何火灾的规模都很小，最多只会蔓延到几个格点。当树木密度变得足够高时，再被闪电击中就会导致森林大火。

因为真实的森林火灾系统是一个开放系统,存在着能量的交换：它的能量输入就是可燃物树木的增长，它的能量输出就是火灾。森林火灾系统具有自组织临界性系统的典型特征:系统的能量注入是持续、缓慢而均匀的；能量耗散相对于能量注入来说是瞬时的、“雪崩式”的,但发生的次数相对比较少。具有这种性质的系统通常可以自发地演化到一个临界状态,最终导致大事件的发生。

三、幂律分布的应用

幂律分布是社会系统和自然界中的一个普遍规律，普遍应用于物理学、纯数学、应用数学、经济学、统计学、生物学、社会科学、神经科学、人工智能等许许多多领域中，至今已经确定了成百种的幂律分布。下面从和我们工作生活息息相关的投资、学习和创业角度进行分析。

1、投资

下面我们做一个关于财富分配的模拟实验，你可以把这个实验看作真实世界里财富分配的简化模型。具体过程是这样的：房间里有100人，每人都有100元，他们在玩一个游戏，每轮游戏每个人都要拿出1元钱随机给到另一人。那么请问，当这个游戏进行了数万轮之后，最后这100个人的财富分布会是怎样的呢？下图是三个不同的答案，请你猜猜会是哪个？

假设，每个人是从18岁开始进入这个游戏的，每天玩一次，一直玩到65岁退休。那么从18岁一直到65岁，差不多是17 000天，所以，我们的游戏也模拟执行17000次。

游戏中设定的每人每次都需要拿出1元钱的行为，你可以把它看成是日常消费；而获得1元钱的人，可以视为提供了一次服务而获得了报酬。分配的方式设定为完全随机是为了让游戏更公平，也就是每个人都可以提供同样的服务，每次服务获得的收入也是相同的。

然后为了简化模型，我们在过程中也不设置负债；也就是说，如果你没钱了，这一轮就不必再拿出1元进行分配，而是等到哪次能从别人那里获得了新的收入后，再继续参与分配。我们来看看这个模拟实验，最终结果会如何……

刚开始的时候，大家的财富都是一样的，但是随着时间的推移，数据开始逐渐拉开，并且越拉越大，最终财富的分配接近于情况C，也就是幂律分布，结果如下图：

前10%的人掌握着超过30%的财富；前20%的人掌握着超过半数的财富；最富有的人财富为417元，是初始值的4倍多…… 而超过60%的人已低于100元；超过40%的人不足50元……

这意味着什么呢？意味着即使在最公平的环境下，哪怕财富的分配方式完全随机，最终的结果也会是少部分的富人掌握着社会大部分的财富。而如果是在现实生活中，由于富人掌握的资源更多，他们的初始财富更多（富二代），他们的能力更强（通过良好的教育获得），因此他们获得财富的概率也会比普通人更高，所以，在现实生活中，这个数值的差距会变得更大……

这是因为时间的乘积效应，初始状态和能力上的微弱优势，乘以时间，就会得到价值（财富）几何级的增长。现实世界的财富分配比上面这个模拟更加极端。超级富豪越来越少，但他们占有总财富的比例却越来越大，早已突破了二八法则，按照长尾理论，应该是98法则，也就是2%的人拥有的财富等于98%的财富总和。根据国外研究报告显示，2018年世界上最富有的26人所掌握的财富，相当于最穷的38亿人（相当于全球人口的50%）的财富总和。

出现财富分配的幂律现象，不是资本主义的罪恶，而是符合天道的自然规律。那我们如何利用这个自然规律在投资的过程中获胜呢？

如果你是一个风险投资人，一般在公司创办早期进行投资，风险极大，一旦项目失败，就血本无归，出现这样的事件概率极高，所以不要把鸡蛋放到一个篮子里，多投几个项目，假如100笔投资可能大部分表现一般，还有几十笔打水漂，但会有少数几笔投资回报率惊人，可能会有高达几百倍甚至上千倍的收益，足以弥补其他投资的亏损。

如果你是一名股票投资者，我们不宜采用风险投资的策略，上市往往是公司相对成熟的阶段，指望个别的股票能够带来几百倍的回报弥补其他的亏损很不现实。股市投资的策略最好是将资金集中在少数确定性极高的公司上，长期持有。

2、创业

我们是工作还是创业？如果你不能成为公司的高管，也不能获得公司的股权分配，那么一个基础的工作，随着时间的积累，你的收入只能获得线性增长，你拥有的财富很难指数级增长。

例如：一名职场人士通过不断的换工作来提升收入，通过10年时间换了5次工作，做到了部门总监，也不过年薪百万，因为很少公司为部门总监开出1千万的年薪。而创业就不一样了，虽然风险比较大，但通过持续学习，可以降低创业风险，如果创业5次，一旦一次成功就可能收入千万，同样是10年时间，同样是5次选择，因为一个是正态分布（上班收入）一个是幂律分布（创业收入），导致了不同的结果。

据统计，更富有的人更愿意选择风险高的机会，机会的增加可以创造风险激励，创新者经常冒险，他们往往是连续创业者，只要捕捉一只独角兽（市值10亿美元以上的公司），不仅可以补偿多次失败的项目，还可以带来很大的利润。当然创业之前一定要评估一下自己的风险承受力，设定好止损线，不能让自己血本无归，永无翻身之日。

作为普通人，我们可以借鉴塔勒布在《反脆弱》一书中提到的“杠铃法则”。大意是这样的，如果你有100万，在你面前有一个投资虚拟货币的项目，充满了极高的风险，如果投资成功，可以获得几百上千倍的收益，如果亏了，可能血本无归，你应该怎么做呢？ 如果你看好这个项目，根据杠铃法则，你应该拿出10%的钱投入，而不是全部，这样的结果即使全部亏损，也就是10万元，对你的生活没什么太大影响，而如果赚钱了，可能会带来几千万的收益。

杠铃法则给我们的启示就是，要把少量的钱投入到高风险高收益的项目上，并且要多投几个，或许你会捕捉一只正向黑天鹅。

3、学习

微软CEO萨提亚·纳德拉说：“学习是改变命运的唯一机会。”

查理芒格说：“我认识的所有成功人士，没有一个不爱读书，一个都没有。我和巴菲特读过的书，超乎你的想象。”巴菲特曾经评价查理芒格，他就是一个移动的书家。

为什么越成功的人越愿意投入时间学习呢？因为学习可以带来正反馈。在下图中大家可以看到，在学习和读书上投入时间越多的人，他的认知能力就会越强，认知能力越强他认识的人就越高端。因为高端的人愿意和认知能力强的人交流。这样呢，他就越容易发现更多的商业机会，商业机会多了，自然获得财富的概率就高了。财富多了自然就有更多的时间学习了。因为能够享受到学习带来的收益，所以在学习读书的投入上就越来越多了，最终越来越成功。

例如：有很多成功的老板，大量的时间在大学里上课，国外的公司考察学习等，这种学习带来的正反馈会让他们越来越成功。

下面我们再来看一看，不学习的正反馈。不学习容易让你跌入贫穷的陷阱。假如你学习和读书的投入时间特别少，你的认知能力就会弱，看不清世界的本质。那你就认识不了高端人士。就越不容易发现商业机会。你经常不知道自己该干什么。面对生活的压力，你只能做一些低价值的劳动，工资也很低。为了获得更多的收入，你不得不再打一些零工、做一些兼职等。这样学习的时间就没有啦，认知能力就越来越弱，形成了一个恶性循环，跌入贫穷陷阱，永远跑不出去。

我们来看一个公式：成功=基因×环境×选择×努力×运气

其中基因和运气不可改变，环境因素在小时候你也无法选择，长大后你可以自由选择自己喜欢的城市，选择和努力是可以通过后天学习获得的，所以要想成功，你需要选择一个好的城市，不断的学习提升自己的决策能力和执行能力，才能跳出贫穷陷阱，登上财富飞轮。

总结

当个体之间没有联系，互不影响的时候，就呈现正态分布，比如人类的身高、智商;

当个体之间互相联系，相互影响的时候，就呈现幂律分布，比如社会财富分配、网络传播效应；判断一个系统是呈现正态分布还是幂律分布，可以观察系统的实体之间有没有产生连接，只要有自组织存在的地方，就有幂律分布出现。

幂次法则给我们最大的启发是最重要的事只有极少数几件，其他都是次要的。在工作和生活中，我们应该把90%的时间投入到极少数重大的事件中，而不是平均分配。全面均衡意味着全面平庸。

此外，幂次法则给我们的另外一个启发是大胆地拥抱无序状态。幂律分布的出现通常标志着系统从无序到有序的过渡。

从热力学角度，随机网络熵值高，幂律分布网络熵值低，网络通过与外界交换物质、能量和信息，由随机网络熵值演化成幂律分布网络，形成负熵和秩序，即不断降低自身熵值，使系统从无序变得有序；

从生物学角度，拥有幂律分布结构的细胞组织可以使生物个体在持续新陈代谢状态下保持功能稳定;从经济学角度，所有节点“自动寻找最短路径”“瞬间发现最多信息”使得大多数连接指向中心节点，这样连接交易成本（包括时间和金钱）最低；

从心理学解释，模仿（内部）和从众（外部）引发的“同嗜性”和“自分类”理论”是产生幂律分布现象的群体动力学机制;从管理学解释，广泛存在的科层制组织使得信息流动天然形成了幂律分布态势；

从社会物理学解释，梅特卡夫定律所描述的网络中节点数量以线性方式增加，网络价值则以指数方式增长，大型网络媒体成为的连接力加速提升的“吸引子”，强力扭曲了周围常规连接行为，从而使相关人群优先连接它们。

参考资料：

《模型思维》