机器学习中会用到大量的数学操作,而 Numpy 计算库使这些操作变得简单,这其中就涉及到了 Numpy 的矩阵操作,下面我们就来一起学习如何在 Numpy 科学计算库中进行矩阵的一些基本运算。 1 矩阵的定义定义矩阵使用 Numpy 科学计算库中的 mat 函数,如下所示: numpy.mat(data, dtype=None)
应用示例: # (1) 定义一个3 X 3的矩阵,数据类型为 int import numpy as np data = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] A = np.mat(data, int) print(A, type(A))
# 输出结果: #[[1 2 3] # [4 5 6] # [7 8 9]] <class 'numpy.matrix'> # (2) 定义一个3 X 3的矩阵,矩阵元素全为0,数据类型为 int import numpy as np A = np.mat(np.zeros((3, 3)), int) print(A)
# 输出结果: #[[0 0 0] # [0 0 0] # [0 0 0]] # (3) 定义一个3 X 3的矩阵,矩阵元素全为1 import numpy as np A = np.mat(np.ones((3, 3))) print(A)
# 输出结果: #[[1. 1. 1.] # [1. 1. 1.] # [1. 1. 1.]] # (4) 定义一个3 X 3的单位矩阵 import numpy as np A = np.mat(np.eye(3, 3), int) print(A)
# 输出结果: #[[1 0 0] # [0 1 0] # [0 0 1]] # (5) 定义一个3 X 3的对角矩阵,主对角线之外的元素皆为0 import numpy as np A = np.mat(np.diag([1, 2, 3]), int) print(A)
# 输出结果: #[[1 0 0] # [0 2 0] # [0 0 3]] # (6) 定义一个3 X 3的矩阵,把100作为所有元素初始值 import numpy as np A = np.mat(np.full((3, 3), 100), int) print(A)
# 输出结果: #[[100 100 100] # [100 100 100] # [100 100 100]] 2 矩阵的线性代数运算2.1 矩阵的加法与减法只有两个矩阵的行数和列数相等时,才可以进行矩阵的加法和减法运算,否则程序会抛出 ValueError 异常。 应用示例: # 定义两个矩阵 A 和 B,分别进行矩阵的加法和减法运算 import numpy as np A = np.mat(np.full((3, 3), 100), int) B = np.mat(np.full((3, 3), 200), int) print(A+B) print(A-B)
# 输出结果: #[[300 300 300] # [300 300 300] # [300 300 300]] #[[-100 -100 -100] # [-100 -100 -100] # [-100 -100 -100]] 2.2 矩阵的数乘某个实数乘以矩阵称作矩阵的数乘。 应用示例: # 定义矩阵 A 和浮点数 a,进行矩阵的数乘运算 import numpy as np a = 0.1 A = np.mat(np.full((3, 3), 100), int) print(a*A)
# 输出结果: #[[10. 10. 10.] # [10. 10. 10.] # [10. 10. 10.]] 2.3 矩阵的点乘只有在第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时,两个矩阵才能相乘,否则程序会抛出 ValueError 异常。 应用示例: # 定义矩阵 A 和矩阵 B,进行矩阵的乘法运算 import numpy as np A = np.mat(np.full((2, 3), 10), int) B = np.mat(np.full((3, 3), 10), int) print(A*B) # 求矩阵相乘形式一 print(A.dot(B)) # 求矩阵相乘形式二 print(np.dot(A, B)) # 求矩阵相乘形式三
# 输出结果: #[[300 300 300] # [300 300 300]] #[[300 300 300] # [300 300 300]] 2.4 矩阵的转置把矩阵的每一行转换为列,称为矩阵的转置。 应用示例: # 定义矩阵 A,进行矩阵转置运算 import numpy as np data = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] A = np.mat(data, int) print(A.T)
# 输出结果: #[[1 4 7] # [2 5 8] # [3 6 9]] 2.5 矩阵的求逆非奇异矩阵下,可以对矩阵进行求逆运算。(非奇异矩阵就是行列式不为 0 的矩阵) 应用示例: # 定义矩阵 A,进行矩阵求逆运算 import numpy as np data = [[1, 2], [3, 4]] A = np.mat(data, int) print(A.I)
# 输出结果: #[[-2. 1. ] # [ 1.5 -0.5]] 2.6 矩阵的行列式对于矩阵 A,均可对应一个标量 det(A),它的值将告诉我们矩阵是否为非奇异的。 应用示例: # 求矩阵 A 的行列式 det(A) import numpy as np A = np.mat([[1, 2],[3, 4]], int) det = np.linalg.det(A) print(det)
# 输出结果: # -2.0000000000000004 计算结果不等于-2,是因为浮点数运算存在精度损失。 2.7 矩阵的秩如果把矩阵看成一个向量组,那么秩就是线性无关向量的个数,也就是向量组的维度,概念比较复杂,有兴趣的读者可以继续探索。矩阵的秩应该是小于等于行数与列数的最小值。 # 求矩阵 A 的秩 rank(A) import numpy as np A = np.mat([[1, 2],[3, 4]], int) rank = np.linalg.matrix_rank(A) print(rank)
# 输出结果: # 2 2.8 矩阵特征值和特征向量A 为 n 阶矩阵,若数 λ 和 n 维非0列向量 x 满足 Ax=λx,那么数 λ 称为 A 的特征值,x 称为 A 的对应于特征值 λ的特征向量。 应用示例: # 求矩阵 A 的特征值和其对应的特征向量 import numpy as np A = np.mat([[1, 2],[3, 4]], int) value, vector = np.linalg.eig(A) print(value) print(vector)
# 输出结果: #[-0.37228132 5.37228132] #[[-0.82456484 -0.41597356] # [ 0.56576746 -0.90937671]] 2.9 矩阵的线性方程解求解形如 Ax = b 的线性方程组,其中 A 为矩阵,b 为一维或二维的数组,x 是未知变量。 应用举例: # 求解如下线性方程组的解: # x + y + z = 3 # 3x + y + 4z = 8 # 8x + 9y + 5z = 22 import numpy as np A = np.mat([[1, 1, 1], [3, 1, 4], [8, 9, 5]], int) b = np.mat([[3], [8], [22]], int) x = np.linalg.solve(A,b) print(x)
# 输出结果: #[[1.] # [1.] # [1.]] 总结本节给大家介绍了 Python 中 Numpy 科学计算库中矩阵的基本使用方法,助你掌握机器学习中有关矩阵的一些基本运算。 参考资料[1] https://www.runoob.com/numpy/numpy-matrix.html [2] https://www.runoob.com/numpy/numpy-linear-algebra.html
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