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万事开头难，良好的开端事半功倍！学习一次函数也一样。 接下来请紧跟孙老师，一起来学习一次函数两个重要的预备知识： 1、函数的定义，如何快速根据定义判断两个变量间的关系是否是函数关系。 2、函数的图象是怎么来的，以及如何使用函数的图象解决实际问题。 学函数，这两个问题谁也无法逃避，特别和那些已经学了一次函数但没学好的八年级学生们真心说一句： 耐心往下看，5分钟后你一定会豁然开朗，大彻大悟。 第一个问题：函数的定义。 咱们解释一下这个定义： “在一个变化过程中”可以理解为：在一个列表中，或者在一个图形中，或者在一个等式中。 那么判断函数的方法就是： 在列表中、在图形中或者在一个等式中，只能有两个变量x和y，当x取任意一个可以取的值时，y只能得到一个值，则y就是x的函数。否则，只要有一个例外，y就不是x的函数。这里的两个变量x和y也可以使用别的字母来代替。 例如： 第1题： 要使y是x的函数，必须满足：当自变量x取可以取的任意一个值时，y都只能得到唯一的值。 第2题： 判断图形是否是函数关系这类题目，教大家一个最快最实用的方法，就是作一条垂直于x轴的直线（下图中的红色加粗直线L），把这条直线左右移动（一定要保证L与图形有公共点），如果不论移动到任何位置，其与图形都只有1个公共点，那么这个图形中的两个变量就有函数关系，否则没有函数关系。 在图(1)和图(3)中，不论直线L如何移动，其与图形都只有1个公共点，所以图(1)和图(3)中的y是x的函数。 在图(2)和图(4)中，当把直线L移动到合适的位置时，L与图形会出现2个公共点，所以图(2)和图(4)中的y不是x的函数。 解释一下这么判断的原因： 垂直于x轴的直线L不论如何移动，都与图形只有一个公共点，说明x（即公共点的横坐标）不论取可以取的任何值时，对应的y（即公共点的纵坐标）的值都只有一个，这符合函数的定义，所以这样的图形中的y就是x的函数。 如果有两个公共点，例如图（2），当x＝a时，对应的y值有两个：b和c，这明显不符合定义，所以y就不是x的函数。 第二个问题：函数图象。 1、函数图象是这样画出来的： 把自变量x的值作为点的横坐标，对应的y的值作为点的纵坐标，把所有这样的点标在平面直角坐标系中，则这些点构成的图象就是函数的图象。 当然，很多时候我们不需要求出所有的点，例如，我们知道，一次函数的图象是一条直线，把直线上所有点的坐标都求出来是不现实的，但是我们可以根据“两点确定一条直线”这个定理，则只需要求出两个点的坐标，并把它们标在坐标系中，然后连接这两点的直线就是一次函数的图象。 2、函数图象的重要作用之一是：可以直观地看到函数值y是如何随着自变量x的变化而变化的；根据这个特点可以解决很多实际问题。 例如： 第3题： 一次函数的图象是一条直线，故可以根据表达式求出两个点，则过两点的直线就是一次函数的图象。 画出了函数图象，就可以直观地看出当x增大时，对应的y随之增大，例如，x＝0时y＝1，x＝1时y＝3，x从0增大到1的过程中，y从1增大到了3。 y随x的变化情况是非常重要的内容，一定要研究清楚，在解决实际问题时非常有用，具体请看下面安排的练习题。 练习1： 对于函数图象问题，首先要弄清变量的含义，本题中变量t表示的是老张离开家的时间，变量s表示的是老张与家之间的距离。 随着t值的增大，若s的值随之增大，说明老张离家越来越远，若s的值减小，说明老张离家越来越近。 明白了这些，回答题中的问题就简单多了。 练习2： 首先要弄清楚如下两个问题： 1、小王从家到学校： OA段是平路，共1千米，用时4分钟；AB段是上坡路，共2－1＝1千米，用时6分钟；BC段是下坡路，共4－2＝2千米，用时2分钟。 2、小王从学校到家： BC段变成了上坡路，AB段变成了下坡路，OA段还是平路。
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