对称轴如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。在轴对称图形中间画一条
线，那条线叫对称轴定义:人教版老教材第十一册中指出“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图
形"。斜放的图形只要能沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称图形。在轴对称图形中间画一条线，那条线叫对称轴。[轴
对称性质：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做https:/
/baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E8%BD%B4对称轴，折叠后重合的点是http
s://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%82%B9对应点,叫做对称点。轴对称
和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。轴对称图形具有以下的性质：（1）成轴对称的两个图形https://ba
ike.baidu.com/item/%E5%85%A8%E7%AD%89全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线
的垂直平分线；经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的https://baike.baidu.com/item/%E5
%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF垂直平分线这样就得到了以下性质：1.如果两个图
形关于某条直线对称，那么https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E8%BD
%B4对称轴是任何一对对应点所连https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%BF%E6%AE%B5线段
的https://baike.baidu.com/item/%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E5%88%8
6%E7%BA%BF垂直平分线。2.类似地，https://baike.baidu.com/item/%E8%BD%B4%E5%A
F%B9%E7%A7%B0%E5%9B%BE%E5%BD%A2轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。3.线段垂
直平分线上的点与这条线段的两个https://baike.baidu.com/item/%E7%AB%AF%E7%82%B9端点的
距离相等。4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。轴对称应用生活中的轴对称图片,可以通过对称轴的一边从而画出另一边。可以通过画
对称轴得出的两个图形全等。扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。几种常见的轴对称图形和中心对称图形：轴对称图形：线段、角、等腰三
角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、双曲线（有两条对称轴）、椭圆（有两条对称轴）、抛物线（有一条对称轴）等。对称轴
的条数：线段有两条对称轴，是这条线段的垂直平分线和线段所在的直线；角有一条对称轴，即该角的角平分线；等腰三角形有一条对称轴，是底边
的垂直平分线；等边三角形有三条对称轴，分别是三边上的垂直平分线；菱形有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，矩形有两条对称轴，分
别是两组对边中点的直线；正方形有四条对称轴，是相邻两边垂直平分线和对角所在的直线；等腰梯形有一条对称轴，是两条底边的垂直平分线；正
对变形有与边数相同的对称轴；双曲线有两条对称轴；椭圆有两条对称轴；抛物线有一条对称轴。中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、
正方形、圆。对称中心：线段的对称中心是线段的中点；平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点；圆的对称中心是圆心。说明
：线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称图形又是中心对称图形。轴对称举例例1△ABC中，P为∠A外角平分线上一点，求证：
PB＋PC>AB＋AC．证：在AB延长线上截取AD＝AC，连接DP，∵AP平分∠DAC，∴∠DAP＝∠CAP，在△AD
P和△ACP中，AD＝AC∠DAP＝∠CAPAP＝AP∴△ADP≌△ACP（SAS）∴PC＝PD，在△BPD中，PB+
PD＞BD＝AB＋AD，∴PB＋PC＞AB＋AC；在△BPD中，PB＋PD＞BD=AB＋AD，点评：将折线化直的作用（如A
B+AC化直为BD）．例2等腰梯形的对角线互相垂直，且它的中位线等于1，求此梯形的高。解：过B作BG∥AC，交DC的延长线于
G点．∵在梯形ABCD中，AB∥DC，∴ABGC为平行四边形．∴CG＝AB，BG＝AC．∵EF为梯形中位线，∴DG＝D
C＋AB＝2EF＝2．∵AC⊥BD且AC＝BD．∴BG⊥BD且BG＝BD．∴△BDG为等腰直角三角形．∴BH＝1/2D
G=1．解：过D作DE∥AC交BC于E，∵AD∥BC，∴ACED是平行四边形，∴DE＝AC，CE＝AD，∵ABCD是等腰
梯形，∴AC＝BD，∴BD＝DE，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴DE⊥BD，∴△BDE是等腰直角三角形，过D作DF⊥BC于
F，则DF＝BF＝EF，∵BE＝BC＋CE＝BC＋AD＝2，∴DF＝1确定点的位置找最小值B例3要在河对岸所在的直线上修一
水泵站，分别向河岸同侧A、B两村送水，请设计水泵站修在何处所用管道最短？aCAA分析：先作图河岸同侧A、B两村，河岸上有一泵站
C。此题实质是求折线AC＋BC的最短长度，可作A点关于直线a的对称点A,，如图，根据对称轴′AC＋BC＝A,C＋BC
,连接A，B交直线a于点C，点C便是水泵站的位置。此时已将折线AC＋BC化成了线段A，B的长度，根据两点之间线最短，确定点C是
泵的位置。D，BcoAM例4∠MON小于60。，A、D是OM、ON上的点，为应用的需要，须在OM和ON上各找点B、C，使
AB＋BC＋CD最小，问应如何找？DNA，分析：利用对称轴的性质，化曲线为直线，分别作点A、点D、关于OM、ON的对称点A，、D，
,连接A，D，与ON、OM交于B、C，则B、C便是所求的点。例5桌球台上有黑白两球，分别位于A、B两点，见下图。⑴问怎样撞击黑球
A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？A，⑵怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边GH反弹后再撞击台边EF撞击白球？GGHH
A??AoBoEoBEFCFB，A，分析⑴：作A的对称轴A，，连接A，B与EF交于C点，C点即为黑球A撞击台边EF后反弹再撞击白
球B。分析⑵：作A的对称轴A，，作B的对称轴B，，连接A，B，与HG交于D，与EF交于C，D点是黑球A先碰撞台边HG，反弹后再撞击
台边EF的C点，然后撞击白球B。例6如图，AB∥CD，E为AC上一点，∠ABE＝∠AEB，∠CDE＝∠CED。求证：BE⊥DE．分
析：利用三角形内角和定理可把∠A和∠C分别用∠AEB和∠CED表示出来，再利用平行线的性质可求得∠AEB＋∠CED＝90°。证明
：∵∠ABE＝∠AEB，∴∠A＝180°-2∠AEB，同理∠C＝180°-2∠CED，∵AB∥CD，∴∠A＋∠C＝180°，∴18
0°-2∠AEB＋180°-2∠CED＝180°，∴∠AEB＋∠CED＝90°，∴∠BED＝90°，∴BE⊥DE。本题主要考查
平行线的性质，①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补。B′BA例7AB∥CD，AC⊥CD，在A
C上找一点E，使得BE＋DE最小。E解：作点B关于AC的对称点B′,DC连接DB′，交AC于点E，点E就是要找的点。例8点A是总邮
局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD＋DE＋EA的和最小。解：作点A关于直线L1的对称点A′，作点A关于直
线L2的对称点A″，连接A′A″交L1于一点D，交L2于一点E，则AD＋DE＋EA的和最小＝A′A″。点评：本题考查了轴对称最短距
离问题，正确的作出图形是解题的关键．与其它学科的结合。唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造
成十佛寺”，望有人对出下联，且表达恰如其分。对联中有数字万、千、百、十，几个月过去了，无人能对，有个文人李生路过，感觉庙前没有下联，十分感慨。他在庙前散步，望见一条大船由远而来，船夫正使劲的摇橹，这时李生突发灵感，对出了下联“一舟二橹四人摇过八仙桥”。这副对联数字对数字，事物对事物，可见，对称美在文学方面也有生动深刻的体现。生活中的轴对称无处不在，只要你善于观察，将会发现其间所蕴涵的丰富的文化价值和对称美给人带来的回味无穷的享受。 |
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