2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
（新课标卷Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N=，则=()
A.｛1｝ B.｛2｝ C.｛0，1｝ D.｛1，2｝
2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab=()
A.1 B.2 C.3 D.5
4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=()
A.5 B. C.2 D.1
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）
A.B.C.D.
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S=（）
A.4B.5C.6D.7
8.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=()
A.0B.1C.2D.3
9.设满足约束条件，则的最大值为（）
A.10B.8C.3D.2
10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）
A.B.C.D.
11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）
A.B.C.D.
12.设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题
13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)
14.函数的最大值为_________.
15.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是________.
16.设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是_______.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.
19.（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
20.（本小题满分12分）
设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.
21.（本小题满分12分）
已知函数=
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；
（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）ADDE=2
23.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.
24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数=
（Ⅰ）证明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷Ⅱ）参考答案
一、选择题
1.D 2.A 3.A 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.D 11.C 12.C
二、填空题
13. 14.1 15. 16.
17.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：由得,又，所以是首项为，公比为3的等比数列,，因此的通项公式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,因为当时，，所以
于是,所以
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连结交于点，连结,因为为矩形，所以为的中点，
又为的中点，所以，平面平面，所以平面
（Ⅱ）因为为矩形，所以两两垂直
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则，设，则
设为平面的法向量，则即
可取
又为平面的法向量，由题设，即，解得
因为为的中点，所以三棱锥的高为，三棱锥的体积,
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由所给数据计算得
，,所求回归方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。将2015年的年份代号代入（Ⅰ）中的回归方程，得，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为608千元。
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据及题设知
将代入，解得（舍去）,故的离心率为
（Ⅱ）由题意，原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即①由得
设，由题意知，则即代入的方程，得②
将①及代入②得,解得，故
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），等号仅当时成立,所以在单调递增
（Ⅱ），
（ⅰ）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增，而，所以对任意；
（ⅱ）当时，若满足，即时，而，因此当时，。综上，的最大值为2.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当时，，；
当时，,
.所以的近似值为
22.（本小题满分10）
证明：（Ⅰ）连结AB，AC，由题设知PA=PD，故
因为
所以，从而,因此
（Ⅱ）由切割线定理得,因为，
所以,由相交弦定理得,所以
23.（本小题满分10）
解：（Ⅰ）的普通方程为,可得的参数方程为（为参数，）
（Ⅱ）设由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆，因为在点处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同。,故的直角坐标为，即
24.（本小题满分10）
解：（Ⅰ）由，有,所以
（Ⅱ）.
当时，，由得
当时，，由得
综上，的取值范围是
1
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