在Rt△ABC所在平面内有一点P,已知∠BAC=90°，AB=6,AC=8,当PA2 PB2 PC2取最小值时，点P为（ ）
A三条垂直平分线的交点。 B三条内角平分线的交点
C三条高的交点 D三条中线的交点
一道2021年无锡中填空压轴题。
说实话这题难度堪称难到极致。
像这样的题目可以归属于高中题目。
放在初中，就很有意思呢。
因为这题如果平时靠练习基础题的话，那这种题目很难去破题。
这题的放在初中完全可以归为奥赛类数学题目。
而且是可以使用stewart定理解决。
可是，他要初中用现有的知识解决。按这综合难度堪称几何级别的上升。
我们先作图，我们无法预知P点所在位置，暂且预测在三角形内部
数学方法很多，这题我们提供另外一种解法。
在数学中主要分类有两类代数和几何，或者准确说在我们小学和初中学习的数字知识。可以这样去定义数学的类别。在大学后分类更细化。
那么问题来呢，我们可以把代数和几何相互转化.
这题的思路我们建立坐标系就可以很方便解决呢！
设P(m,n),B(-6,0),C(0,8)则
PA2=m2 n2
PB2=(m 6)2 n2
PC2=m2 (n-8)2
所以 PA2 PB2 PC2= m2 n2 (m 6)2 n2 m2 (n-8)2
=3m2 12m 3n2-16n 100 (浙江高考填空题就喜欢考这种最值)
这时候的图就变为
此图错误
可得出P点在△ABC的内部，由题可知我们算得P（-2，8/3），
我们可以算出直线PC的解析式:y=8/3x 4,可得到交X轴为(-3,0)
直线BP的解析式：y=2/3(x 6)=2/3x 4,可得交于Y轴的坐标为（0，4）
同理，直线AP也可得出。
所以我们可以得出P点是重心。即三条中点的交线。答案选D
在我们无法预判之间归属关系的时候，尽量用得到的数验证。
此题应该说使用初中解法不多，就几种。
但如果使用高中知识的话，那是百花争艳。
向量应该比较唯美。
现在有什么感悟呢。
几何，最终归为代数问题。几乎所有几何都可以用代数来解决。
而且可以很好地规避一些常识错误！
本文写得比较仓促。如果有问题，希望各位多指正，共同进步！
方便的话，请留下您的意见！
