4.7正弦定理和余弦定理2022年高考一轮复习1.通过对任意三角形边长和角度的探索,掌握正弦定理、余弦定理.2.能利用正弦定理和余弦定理解决
一些简单的三角形度量问题.考试说明考点考查方向考查热度利用正弦定理、余弦定理解三角形直接使用定理解三角形★★☆与三角形面积有关的问
题求三角形面积、已知面积求三角形元素★★★三角形中范围和最值问题角的三角函数以及面积的最值和范围★★★教学参考考情分析课前
双基巩固b2+c2-2bccosAc2+a2-2accosBa2+b2-2abcosC知识聚焦2RsinB2RsinCs
inA∶sinB∶sinC课前双基巩固两解一解一解一解课前双基巩固题组一常识题对点演练课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩固
题组二常错题课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩固课前双基巩固探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形课堂考点探究课堂考点探究课堂考点
探究课堂考点探究课堂考点探究探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点三
与三角形面积有关的问题课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究再见1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公
式===2R(其中R是△ABC的外接圆的半径)?a2=,?b2=,?c2=?定理的变形a=2RsinA,b=
,c=,?a∶b∶c=?cosA=cosB=cosC=2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝
角或直角图形关系式a=bsinAbsinAb解的个数????3.三角形面积公式(1)S=ah(h表示
边a上的高);(2)S=bcsinA=acsinB=absinC;(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).[
解析]易知A=75°,角B最小,所以边b最短.由正弦定理=,得=,解得b=.[答案]1.在△ABC中,B=45°,C=60°,
c=2,则最短边的边长等于.?[答案][解析]由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=52+(2)2-2×5×2c
os30°=7,所以c=.2.在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c=.?[答案]60°[解析]因为cosC
==,所以C=60°.3.在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于.?[答案]4[解析]因为sinC==,所以△
ABC的面积S=absinC=4.4.在△ABC中,已知a=3,b=2,cosC=,则△ABC的面积为.?[答案]A=B
A>B5.在△ABC中,若sinA=sinB,则A,B的关系为;若sinA>sinB,则A,B的关系为.?[解析]
根据正弦定理知,在△ABC中有sinA=sinB?a=b?A=B,sinA>sinB?a>b?A>B.[答案]45°6
.在△ABC中,若A=60°,a=4,b=4,则B等于.?[解析]由正弦定理知=,则sinB===.又a>b,则A>B,所以
B为锐角,故B=45°.[答案]7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c=,△ABC的面积等于.?[解析]易
知c==,△ABC的面积等于×2×3×=.[答案]直角三角形或等腰三角形8.在△ABC中,角A,B,C满足sinAcosC-
sinBcosC=0,则三角形的形状为.?[解析]由已知有cosC(sinA-sinB)=0,所以有cosC=0或
sinA=sinB,解得C=90°,或A=B.[思路点拨](1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos
B-1)sinA=0,结合sinA>0得到cosB,从而解出B;(2)由余弦定理,可得出12=a2+c2-ac.再利用基本
不等式求最大值.例1△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcosA.(1)求角B的大小;(2)若b
=2,求a+c的最大值.解:(1)∵2c-a=2bcosA,∴根据正弦定理,得2sinC-sinA=2sinBcosA.
①∵A+B=π-C,∴sinC=sin(A+B)=sinBcosA+cosBsinA,代入①式,得2sinBcosA
=2sinBcosA+2cosBsinA-sinA,化简得(2cosB-1)sinA=0.∵A是三角形的内角,∴s
inA>0,∴2cosB-1=0,解得cosB=,∵B∈(0,π),∴B=.(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos
B,得12=a2+c2-ac.∴(a+c)2-3ac=12,∴12≥(a+c)2-(a+c)2,当且仅当a=c=2时取等号,∴a
+c≤4,即a+c的最大值为4.[总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想
是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角
形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本
不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.[答案](1)A(2)变式题(1)在锐角△ABC中,内角A,B,C的
对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=,则b2+c2的取值范围是()A.
(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,B
C=2BD,则sinC的值为.[解析](1)∵(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,∴由正弦定理可得
(a-b)(a+b)=(c-b)c,可化为b2+c2-a2=bc.∴由余弦定理可得cosA===,又A为锐角,∴A=.∵a=,∴
由正弦定理可得===2,∴b2+c2=(2sinB)2+2sin-B2=4+2sin2B-,变式题(1)在锐角△ABC中,
内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC,若a=,则b2+c2的取值
范围是()A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,
2AB=BD,BC=2BD,则sinC的值为.∵B∈,,∴2B-∈,,∴sin2B-∈,1,可得b2+c2=4+2sin2B
-∈(5,6].(2)设AB=a,∵AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,∴AD=a,BD=,BC=.在△ABD中,cos∠AD
B==,∴sin∠ADB=,∴sin∠BDC=.在△BDC中,=,∴sinC==.[思路点拨]设∠BAD=α,∠DAC=β,则
由α+C=90°,可得β+B=90°,利用正弦定理得到关系式,再结合范围得到结论.例2如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,
已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.?[答案]等腰三角形或直角三角形[解析]设∠BAD=α,∠DAC=β,则由α
+C=90°,得β+B=90°.在△ABD中,由正弦定理得=,即=,同理得=.∵BD=DC,∴=,∴sinαsinC=sin
βsinB.∵α+C=90°,β+B=90°,∴sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,∵B,
C∈(0,π),∴B=C或B+C=90°,∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.[总结反思]判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的
情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.[答案
]等腰三角形变式题在△ABC中,若sinA=2cosBsinC,则△ABC的形状是.?[解析]由已知等式得a=2
··c,所以a2=a2+c2-b2,所以c2=b2,即c=b.故△ABC为等腰三角形.[思路点拨](1)利用同角三角函数的基本关
系,余弦定理、正弦定理、两角和差的三角函数公式将已知条件进行化简整理;(2)利用正弦定理可求出b的值,进而根据三角形面积公式即可计
算得解.例3已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sinAs
inB,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.
解:(1)∵cos2B-cos2C-sin2A=-sinAsinB,∴sin2C+sinAsinB=sin2A+sin2
B,∴由正弦定理得c2+ab=a2+b2,∴cosC===,∵0inAcosB-cosAsinB=cosAcosB-sinAsinB,∴sinA(sinB+cosB)=co
sA(sinB+cosB),∴sinA=cosA,∴由A为锐角,可得A=,B=π-A-C=.(2)∵a=,A=,B=,
∴由正弦定理可得b==,∴三角形ABC的面积S=absinC=×××=.[总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值
、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式得
面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.解:(1)由a(sinA
-sinB)=(c-b)(sinC+sinB)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),即a2+b2-c2=ab.所
以cosC==,又C∈(0,π),所以C=.变式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sinA-sin
B)=(c-b)(sinC+sinB).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.(2)由(1)知a2+b2-c2=ab,所以(a+b)2-3ab=c2=7.又S=absinC=ab=,所以ab=6,所以(a+b)2=7+3ab=25,即a+b=5.所以△ABC周长为a+b+c=5+.变式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sinA-sinB)=(c-b)(sinC+sinB).(1)求角C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长. |
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