1990年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后
括号内.（）复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量对应的复数是（）(A)(B)(C)(D)如
果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）(A)(B)(C)(D)(4)方程sin2x=sinx在
区间（0，2π）内的解的个数是（）(A)1(B)2(C)3(D)4已知如图是函数y=2sin（ωx+φ）（|φ|＜）
的图象，那么（）(A)(B)(D)(6)函数的值域是（）(A){-2，4}(B){-2，0，4}
(C){-2，0，2，4}(D){-4，-2，0，4}(7)如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（
）(A)a=，b=6(B)a=，b=-6(C)a=3，b=-2(D)a=3，b=6(8)极坐标方程表示的曲线是（
）(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线(9)设全集I={（x，y）|x，y∈R}，集合M={（x，y）
|=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么等于（）(B){（2，3）}(C)（2，3）(D
){（x，y）|y=x+1}若实数x、y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值为（）(A)(B)(C)(D)
如图，正三棱锥SABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）(A)
90°(B)60°(C)45°(D)30°已知h＞0．设命题甲为：两个实
数a，b满足|a-b|＜2h；命题乙为：两个实数a，b满足|a-1|＜h且|b-1|＜h．那么（）(A)甲是乙的充分条件，但
不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）(A)24种(B)6
0种(C)90种(D)120种以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）(A)70个(B)64个(C)58个(
D)52个设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C．又设图象C''与C关于原点对称，那么C''所对应的函
数是（）(A)y=-arctg（x-2）(B)y=arctg（x-2）(C)y=-arctg（x+2
）(D)y=arctg（x+2）解答题:把答案填在题中横线上.双曲线的准线方程是?．（x-1）-（x-1）2+（x-1）3
-（x-1）4+（x-1）5的展开式中，x2的系数等于?n→∞lim已知{an}是公差不为零的等差数列，如果sn是{an}的前n
项的和，那么等于________．函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是??．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，
若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2=?．有四个数，其中前三个数成
等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．已知sinα+sinβ=
，cosα+cosβ=，求tg（α+β）的值．如图，在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分别交
AC、SC于D、E．又SA=AB，SB=BC．求以BD为棱，以BDE与BDC为面的二面角的度数．设a为实数，在复数集C中解方程：z
2+2|z|=a．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=，已知点P（0,）到这个椭圆上的点最远距离是．求这个椭圆的方程，
并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．f（x）=，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意
义，求a的取值范围；（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．1990年理数答案选择题:1-5ABD
CC6-10BADBD11-15CBBCD1.根据指数式与对数式的互化可知，?，进而得到答案．【解析】∵∴∴故选
A．2.把复数1+i乘以cos（-）+isin（-），化简为代数形式即可．复数1+i对应的向量按顺时针方向旋转所得到的向量：（1+
i）[cos（-）+isin（-）]=（1+i）=，故选D．3.设圆柱高为h，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即
可得到选项．【解析】设圆柱高为h，则底面半径为．由题意知，S=πh2，∴h=，∴V=π（）2?h=．故选D．4.通过二倍角公
式化简的2sinxcosx=sinx，进而推断sinx=0或cosx=，进而求出x的值．【解析】sin2x=2sinxcosx=s
inx∴sinx=0或cosx=∵x∈（0，2π）∴x=π或或故选C5.由图象过（0，1）及|φ|＜，求出ψ的值，函数
图象过点（，0），据五点法作图的过程知ω?+=2π，求出ω．【解析】因为函数图象过（0，1），所以，1=2sinφ，∴sinφ=
，∵|φ|＜，∴φ=，故函数y=2sin（ωx+），又∵函数图象过点（，0），∴0=2sin（ω?+），由五点法作图的过程知，ω?
+=2π，∴ω=2，综上，φ=，ω=2，故选C．6.根据正切和余切的定义求出函数的定义域，分四种情况由三角函数值的符号，去掉绝对值
求解．【解析】由题意知，函数的定义域是{x|x≠，k∈Z}，下由各个象限中三角函数值的符号来确定在各个象限中函数的值当x是第一象限
角时，因所有三角函数值大于零，故y=4；当x是第二象限角时，因为只有正弦值大于零，故y=1-1-1-1=-2；当x是第三象限角时，
因为正切值和余切值大于零，故y=-1-1+1+1=0；当x是第四象限角时，因为只有余弦值大于零，故y=-2；所以函数的值域是{-2
，0，4}．故选B．7.本题考查对互为反函数的两个函数图象之间的关系、反函数的求法等相关知识；本题可有两种方法，其一，求出y=ax
+2的反函数令其与y=3x-b的对应系数相等获得，其二由互为反函数图象上的点之间的对称关系，通过在图象上取特殊点求解．【解析】法一
：由题意，函数y=3x-b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）
在y=3x-b上，故得b=6；又y=3x-6上有点（0，-6），则点（-6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6
答案：a=，b=68.先在极坐标方程4sinθ=5ρ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsi
nθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程即可进行判断．【解析】将方程4sinθ=5ρ两边都乘以p得：
4ρsinθ=5ρ2，化成直角坐标方程为5x2+5y2-4y=0．它表示一个圆．故选A．先化简集合M，再计算．【解析】∵M={（x
，y）|y=x+1或（x，y）≠（2，3）}，∴，又∵．∴．故答案选B．先判断出方程表示的图形，再给赋与几何意义，作出图象，结合图
判断出当直线与圆相切时斜率最大求出最大值．【解析】（x+2）2+y2=3，表示以（-2，0）为圆心，以为半径的圆,表示圆上的点与（
0，0）连线的斜率，设为k则y=kx,由图知，当过原点的直线与圆相切时斜率最大,故有解得或由图知，.故选A先通过平移将两条异面直线
平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解析】如图，取AC的中
点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，而ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选
C．【解析】由|a-1|＜h且|b-1|＜h得|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|1-b|＜2h，所以甲是乙的必要条件
；不妨令h=1，a=0.5，b=-0.3，|a-1|=0.5＜1，而b-1|=1.3＞1，因而甲不是乙的充分条件．故选B根据题意，
首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．【解析】根据
题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在
A的右边的情况数目为×A55=60，故选B．14.正方体的8个顶点中任取4个共有C84=70个.不能组成四面体的4个顶点有，已有的
6个面，对角面有6个所以以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有：70-12=58个,故选C15.根据平移变换和对称变换引起的解析式变
化规律依次求出C、C''对应的解析式即可．将函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C,则C对应的解析式为y
=arctg（x-2）,又∵图象C''与C关于原点对称则C''对应的解析式为y=-arctg（-x-2）=arctg（x+2）故选D
填空题:16.17.-2018.219.20.7:516.由焦点在y轴的双曲线的准线方程公式进行求解．【解析】∵
a=4，b=3，则c=5，双曲线的准线方程是，故答案是．17.多项式展开式的含x2项的系数等于各个二项式展开式的系数和，利用二项展
开式的通项公式求出各个系数．【解析】展开式中含x2项的系数为-1-C32-C42-C52=-1-3-6-10=-20故答案为-20
18.设an=a1+（n-1）d，sn=na1+d，代入求出极限即可．【解析】设an=a1+（n-1）d，sn=na1+d，代入得
===2故答案为219.利用sinx与cosx的平方关系，令sinx+cosx=t，通过换元，将三角函数转化为二次函数，求出对称
轴，利用二次函数的单调性求出最值．【解析】令t=sinx+cosx=则∴sinxcosx=∴y==（）对称轴t=-1∴当t=
时，y有最大值故答案为20.设AEF面积为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF-A1B1C1=V1；VB
CFE-B1C1=V2；总体积为：V，根据棱台体积公式求V1；V2=V-V1以及面积关系，求出体积之比．【解析】由题：设AEF面积
为s1，ABC和A1B1C1的面积为s，三棱柱高位h；VAEF-A1B1C1=V1；VBCFE-B1C1=V2；总体积为：V计算
体积：V1=h（s1+s+）①V=sh②V2=V-V1③由题意可知，s1=④根据①②③④解方程可得：V1=sh，V2=s
h；则故答案为：21.设四个数依次为x，y，12-y，16-x．根据等差数列和等比数列的性质知，由此能求出这四个数．【解析】：设
四个数依次为x，y，12-y，16-x．依题意，有由①式得x=3y-12．③将③式代入②式得y（16-3y+12）=（12-y
）2，整理得y2-13y+36=0．解得y1=4，y2=9．代入③式得x1=0，x2=15．从而得所求四个数为0，4，8，16或1
5，9，3，1．22.和差化积，两已知等式出现相同的因式，两式相除，约分得角的正切，用二倍角公式代入即求的结果，注意二倍角公式的符
号．解法一：由已知得sinα+sinβ=2sincos=，cos，两式相除得=23.欲证BD⊥DE，BD⊥DC，先证BD⊥面SA
C，从而得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．【解析】由于SB=BC，且E是SC
的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，∴SC⊥面BDE，∴SC⊥B
D．又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，∴SA⊥BD．而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．∵DE=面SAC∩面BDE，DC=
面SAC∩面BDC，∴BD⊥DE，BD⊥DC．∴∠EDC是所求的二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．设S
A=a，则AB=a，BC=SB=a∵AB⊥BC，∴AC=，在Rt△SAC中tan∠ACS=∴∠ACS=30°．又已知DE⊥SC
，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．24.由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚数或实数，因而需分情况进行讨论．当
z是实数时，本题是一个关于z的一元二次方程组，解方程组即可；当z是一个纯虚数时，按照实数方程求解得到z的虚部，写出纯虚数即可．【解
析】设|z|=r．若a＜0，则z2=a-2|z|＜0，于是z为纯虚数，从而r2=2r-a．由于z2=a-2|z|为实数，故z为纯虚
数或实数，因而需分情况进行讨论．解得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）i．若a≥0，对r作如下讨论：（1）若r≤a，则z2
=a-2|z|≥0，于是z为实数．解方程r2=a-2r，得r=（r=＜0，不合，舍去）．故z=±（）．（2）若r＞a，则z2=a-
2|z|＜0，于是z为纯虚数．解方程r2=2r-a，得r=或r=（a≤1）．故z=±（）i（a≤1）．综上所述，原方程的解的情况如
下：当a＜0时，解为：z=±（）i；当0≤a≤1时，解为：z=±（），z=±（）i；当a＞1时，解为：z=±（）．25.由题设条件
取椭圆的参数方程，其中0≤θ＜2π，根据已知条件和椭圆的性质能够推出b=1，a=2．从而求出这个椭圆的方程和椭圆上到点P的距离等于
的点的坐标．【解析】根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中0≤θ＜2π，由可得，即a=2b．设椭圆上的点（x，y）到点P的距离为
d，则=====．如果，即，则当sinθ=-1时，d2有最大值，由题设得，由此得，与矛盾．因此必有成立，于是当时，d2有最大值，由
题设得，由此可得b=1，a=2．所求椭圆的参数方程是，由可得，椭圆上的点和到点P的距离都是．26.Ⅰ）、f（x）当x∈（-∞，1
]时有意义的条件是1+2x+…+（n-1）x+nxa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，即，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．（Ⅱ
）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜
n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．【解析】（Ⅰ）f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的
条件是1+2x+…+（n-1）x+nxa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，即，∵上都是增函数，∴在（-∞，1]上也是增函数，从而它在
x=1时取得最大．所以，∵等价于，故a的取值范围是{a|a＞-}．（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nx
a]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+an-12）+（an-22+an2）]+（an-12+an2）=n（a12+a22+…+an2）．于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立．利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．1 |
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