2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）文科数学注意事项:1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在
答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.2.设，则（）A.B.C
.D.3.已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）A.B.C.D.4.函数的最小正周期和最大值分别是
（）A.和B.和2C.和D.和25.若满足约束条件则的最小值为（）A.18B.10C.6D.46.（）A
.B.C.D.7.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A.B.C.D.8.下列函数中最小值为4的是
（）A.B.C.D.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）A.B.C.D.10.在正方体中，P为的
中点，则直线与所成的角为（）A.B.C.D.11.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（）A.B.C.
D.212.设，若为函数极大值点，则（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知
向量，若，则_________．14.双曲线的右焦点到直线的距离为________．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b
，c，面积为，，，则________．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，
则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．1
7.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各
件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.
110.010.110310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和
．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设
备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四
棱锥的体积．19.设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和前n项和．证明：
．20.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．（二）选考题:共10分．请考生在第22、2
3题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（
1）写出的一个参数方程;（2）过点作两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4—
5:不等式选讲]23.已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙
卷）文科数学参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1-5.ACACC6-10.DBCBD11-12.AD二、填空
题（每题5分，共20分）13.14.15.16.③④（答案不唯一）三、解答题（共70分）17.（1），，，.（2）依题意，，
，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.18.（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知，平面，所以，从而，设，，则，即，解得，所以．因为底面，故四棱锥的体积为．19.因为是首项为1的等比数列且，，成
等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）证明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.20.（1）抛物线的焦点
，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线距离为，所以该抛物线的方程为；（2）设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当
时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.21.(1)由函数的解析式可得：，导
函数的判别式，当时，R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切
线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标
原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.22.（1）由题意，的普通方程为，所以的参数方程为，（为参数）（2）由题意，切线的斜率一定存在
，设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于1可得，解得，所以切线方程为或，将，代入化简得或23.（1）当时，，表示数轴上的点到和的
距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是. |
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