1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
考生注意:这份试题共三道大题(24个小题),满分120分.
一.选择题(本题满分36分,共12个小题,每小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题选对得3分,不选或选错一律得0分)
1.如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I是全集,那么等于()
(A)(B){d}(C){a,c}(D){b,e}
2.与函数y=x有相同图象的一个函数是()
(A)(B)
(C)(D)
3.如果圆锥的底面半径为,高为2,那么它的侧面积是()
(A)(B)(C)(D)
4.的值等于()
(A)-1(B)(C)(D)
5.已知是等比数列,如果
且的值等于()
(A)8(B)16(C)32(D)48
6.如果的值等于()
(A)(B)(C)(D)
7.设复数z满足关系式,那么z等于()
(A)(B)(C)(D)
8.已知球的两个平行截面的面积分别为5和8,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是()
(A)4(B)3(C)2(D)5
9.已知椭圆的极坐标方程是那么它的短轴长是()
(A)(B)(C)(D)
10.如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的右准线的距离是()
(A)10(B)(C)(D)
11.已知如果那么()
(A)在区间(-1,0)上是减函数(B)在区间(0,1)上是减函数
(C)在区间(-2,0)上是增函数(D)在区间(0,2)上是增函数
12.由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有()
(A)60个(B)48个(C)36个(D)24个
二.填空题(本题满分24分,共6个小题,每一个小题满分4分只要求直接写出结果.)
13.方程的解集是_________________
14.不等式的解集是____________________
15.函数的反函数的定义域是_____________
已知那么____
17.已知A和B是两个命题,如果A是B的充分条件,那么B是A的_______条件;的______条件
18.如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底
面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴之间的距离等于____
三.解答题(本题满分60分,共6个小题.)
19.(本小题满分8分)
证明:
20.(本小题满分10分)
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=
(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;
(Ⅱ)求这个平行六面体的体积
21.(本小题满分10分)
自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,
其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.
22.(本小题满分12分)
已知试求使方程有解的k的取值范围
23.(本小题满分10分)
是否存在常数a,b,c使得等式
对一切自然数n都成立?并证明你的结论
24.(本小题满分10分)
设f(x)是定义在区间上以2为周期的函数,对,用表示区间已知当时,f(x)=x2.
(1)求f(x)在上的解析表达式;
(2)对自然数k,求集合不等的实根}
1989年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案
一、选择题:本题考查基本概念和基本运算.
1-5ADCAB6-10CDBCD11-12AC
二.填空题(本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.
13.或
14.
15.(-1,1)
16.-2
17.必要,必要(注:仅答对一个结果的,只给2分)
18.
三、解答题.
19.本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.
证:
20.本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.
(Ⅰ)证:连结A1O,则A1O⊥底面ABCD作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N
由三垂线定理得A1M⊥AB,A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN,
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON
∴点O在∠BAD的平分线上
(Ⅱ)∵AM=AA1∴AO=AM又在Rt△AOA1中,A1O2=AA12-AO2=
∴A1O=∴平行六面体的体积V=
21.本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.
解法一:
解:已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,
它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1,
设光线L所在直线的方程是y-3=k(x+3)(其中斜率k待定)
由题设知对称圆的圆心(2,-2)到这条直线的距离等于1,即
故所求的直线方程是即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.
解法二:
已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1.设光线L所在直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是
因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L'所在直线的方程是即y+kx+3(1+k)=0.这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,即
下同解法一.
(22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.
解:由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足
当(1),(2)同时成立时,(3)显然成立,因此只需解
由(1)得
当k=0时,由a>0知(4)无解,因而原方程无解
当k≠0时,(4)的解是
把(5)代入(2),得解得:
综合得,当k在集合内取值时,原方程有解
(23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.
解:假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,n=1,2,3得
于是,对n=1,2,3下面等式成立:
记
设n=k时上式成立,即
那么
也就是说,等式对n=k+1也成立
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立
(24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.
解:(1)∵f(x)是以2为周期的函数,
∴当时,2k也是f(x)的周期,又∵当时,,∴
即对,当时,
(2)当且时,利用(1)的结论可得方程
上述方程在区间上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足
由(1)知a>0,或a<-8k.
当a>0时:因2+a>2-a,故从(2),(3)可得即
当a<-8k时:易知无解,
综上所述,a应满足故所求集合
AO
BO′
D1C1
A1B1
DC
O
AB
1
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