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「十年口碑，桃李三千」
🎦 2021 Stata 暑期论文班
📅 2021 年 7 月 28-30 日
🔑 江艇 (中国人民大学)
🍓 课程主页：https:///lianxh/PX
作者： 孟佳音 (University College London)
邮箱： jiayin.meng.20@ucl.ac.uk
目录
1. 确保插补模型的兼容性
2. 插补次数与模型检验
2.1 插补次数 (m) 的选择
2.2 模型的检验
3. 插补操作常见问题
4. SMC FCS 方法
5. 总结
6. 参考资料
7. 相关推文
在本系列的前两篇推文中，我们详细讲述了数据缺失与多重插补的基础知识，相信大家已经对 MVN 和 MICE 多重插补方法有了较全面的理解。本篇推文将重点讲述在多重插补中可能出现的问题：如何确保插补模型 (Imputation Model) 与分析模型 (Analysis Model) 的兼容性 (Compatibility)？如何选取辅助变量 (Auxiliary Variables)？如何应对非正态分布 (Non-normal Data) 以及非线性关系 (Non-linear Terms)？...
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1. 确保插补模型的兼容性
插补模型与分析模型之间的兼容性 (Compatibility)， 是确保多重插补有效性 (validity) 的关键因素之一。
1.1 什么是兼容性？
插补模型与分析模型兼容指两者存在联合分布 (joint distribution)，意味着插补模型和分析模型是条件分布 (conditional distribution)。下面我们用数学公式举例：
假设两个变量 X 和 Y，其中 X 是包含缺失数据的协变量 (covariate variable)；Y 是完整的，不含缺失数据的因变量 (dependent variable)。
协变量 (covariate variables)：任何可测量并被认为与因变量 (dependent variables) 具有统计关系的变量都可以作为潜在协变量。换句话说，协变量是因变量可能的预测或解释变量。在回归分析中，自变量（即回归量）有时被称为协变量，此时，协变量是最重要的。然而在大多数其他情况下，与自变量相比，协变量并不是最重要的，它们的出现是因为实验或观察单位是异质的。
令 与 符合下列二元正态分布 (Bivariate Normal Distribution, BNV)
分析模型 对 的线性回归) 可以作为条件分布从该上述联合分布中导出：
相似的，变量 的插补模型 对 的线性回归) 也可以导出条件分布：
因此，分析模型与插补模型是兼容的。
1.2 插补模型的变量选择
在实际操作中，兼容性意味着插补模型应保留分析模型中的所有结构。插补模型中需要包含：
- 其他潜在的辅助变量 (auxiliary variables)
- 体现出分析模型中协变量之间的交互作用或非线性关系（若存在）
(1) 当插补模型包含除分析模型的额外项 （例如辅助变量或增加一些交互项）时：
- 若为正确的额外项，则插补模型的偏差 (bias) 减小，精度 (precision) 提升
- 若为错误的额外项，分析不会产生偏差，但可能会导致更大的标准误 (standard errors)
(2) 当插补模型从分析模型中排除一些项时：
- 若为正确排除，插补模型将会很高效 (Rubin, 1996)，但这种操作实际中几乎不存在
- 若为错误排除，插补模型会产生明显偏差 (typically biased)
模型中辅助变量的选取应考虑以下几点 (Carpenter & Kenward, 2013)：
辅助变量 (auxiliary variables) 指的是未包含在分析模型中，但是与含有缺失值的目标变量有联系的变量，或者是能够使随机缺失 (MAR) 假设更合理的变量。
- 能同时预测缺失 (missingness) 和缺失值 (missing values) 的变量应作为插补模型的辅助变量，以减少偏差
- 仅预测缺失值 (missing values) 的变量可以提高效率，但对偏差无影响
- 仅预测缺失 (missingness) 的变量不会提供额外信息，不应作为辅助变量
2. 插补次数与模型检验
2.1 插补次数 (m) 的选择
传统的观点认为，考虑到多重插补的效率，m 的取值在 3 到 10 之间。但是如果希望得到较为稳定的标准误 (SE)，则需要增加插补的次数。最近根据再现性 (Reproducibility) 观点认为，m 的取值应使蒙特卡洛误差足够小，以便于结果的再现 (White, Royston & Wood, 2011)。
蒙特卡洛误差 (Monte Carlo Error) 是使用相同数据，重复运行相同插补程序的估计标准误。随着 m 的增加，蒙特卡洛误差趋于 0。较小的蒙特卡洛误差可以确保插补结果的稳定。经验法则认为 m 应大于数据集中不完整个体 (incomplete case) 的占比。
2.2 模型的检验
随着多重插补在数据处理中的广泛应用，检验多重插补的有效性显得愈发重要。在实际操作中，插补模型和分析模型都需要被检验，而且对分析模型检验的重要性与对插补模型检验的重要性旗鼓相当。
简单方法是在每个插补后的完整数据集中进行模型检验，并报告检查结果。估算每个完整数据集中的残差，并绘制 残差图。
3. 插补操作常见问题
3.1 非正态分布
之前我们介绍了 MVN 方法和 MICE 方法，利用线性回归对连续变量进行插补。若缺失数据为非正态分布， MVN 方法不再适用。可以用如下方法应对非正态分布：
- 在插补前将非正态分布数据转换为正态分布，插补后再将其反方向转换 （常见的操作例如对 “年龄” 和 “性别” 进行对数变换和逆变换）
- 用 PMM (predictive mean matching, 预测均值匹配) 方法进行插补，其中 MICE 方法可以使用 PMM，命令为
mi impute chained (pmm) ivars, 具体请见 help mi impute chained。
PMM3.2 非线性
当因变量 Y 与协变量间存在非线性相关关系时，使插补模型与分析模型兼容会变得更加困难。若面对包含因变量 Y 与协变量 X， X2 的回归，可以用以下方法应对非线性关系：
- 忽略 X 与 X2 的关系，将二者视为两个变量，分别进行插补
- 用 PMM (predictive mean matching, 预测均值匹配) 方法进行插补，命令为
mi impute chained (pmm) ivars。
PMM 方法的操作步骤如下：
- 从无缺失的观测数据中选择离预测值最近的数据作为填充值
3.3 交互项
当模型中存在交互项时，MVN 方法不适用，我们可以用 MICE 方法进行插补。举个例子，假设收缩压 (SBP) 与年龄的关系因性别而异，且在数据中有两个个体的年龄和性别均缺失。以 SBP 为因变量，年龄和性别作为两个协变量进行分析，如下图所示。
交互项*MICE 方法交互项
. mi impute chained (logit, include ((sbp*age))) sex (regress, include ((sbp*sex))) age = sbp
4. SMC FCS 方法
上述多重插操作中的常见问题还可以用 SMC FSC 方法处理。SMC FCS (substantive-model compatible fully-conditional specification，实体模型兼容的全条件定义) 方法可以有效的应对非线性和交互项等问题 (Bartlett & Morris, 2015)。
SMC FCS 方法由 MICE 方法演变而来，其核心思想是强制使插补模型与分析模型兼容。当样本量 n 较小时，SMC FCS 方法能快速得到结果，但当 n 扩大时，其速度逐渐下降。
*安装 SMC FCS 命令
. ssc install smcfcs
*针对非线性的命令
. smcfcs regress y x xsq, regress(x) passive(xsq = x^2) m(10)
*针对交互项的命令
. smcfcs regress sbp age sex agesex, regress(age) logit(sex) passive(agesex = age*sex) m(10)
5. 总结
作为数据缺失与多重插补系列的第三篇推文，本文着重讲解了在实际运用多重插补的过程中可能遇到的一些问题，比如非线性和交互项等，以及相应的处理方法。本文的全部讲解基于一个假定条件：模型的因变量不含有缺失数据，而协变量存在缺失数据。对于数据中因变量 Y 含有缺失值的情况，我们并未涉及，有兴趣的学友可以自行查阅相关资料。
6. 参考资料
Sterne, J. A., White, I. R., Carlin, J. B., Spratt, M., Royston, P., Kenward, M. G., Wood, A. M., & Carpenter, J. R. 2009. Multiple imputation for missing data in epidemiological and clinical research: potential and pitfalls. Bmj, 338. -PDF-
Wood, A. M., White, I. R., & Royston, P. 2008. How should variable selection be performed with multiply imputed data?. Statistics in medicine, 27(17), 3227-3246. -PDF-
Carpenter, J., & Kenward, M. 2012. Multiple imputation and its application. John Wiley & Sons. -Book-
White, I. R., Royston, P., & Wood, A. M. 2011. Multiple imputation using chained equations: issues and guidance for practice. Statistics in medicine, 30(4), 377-399. -PDF
Bartlett, J. W., & Morris, T. P. 2015. Multiple imputation of covariates by substantive-model compatible fully conditional specification. The Stata Journal, 15(2), 437-456. -PDF-
University College London PhD Course: Missing Data and Multiple Imputation for Cross-Sectional and Longitudinal Data
7. 相关推文
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