模拟试题一
一、填空题(每空2分,共20分)
1.已知，则_____________，其中一次项的系数为________．
2.已知矩阵，且的秩，则___________，_________．
3.已知线性方程组有解，则_________，方程组的全部解为____________．
4.设是阶阵，，若有特征值，则______．
5.若二次型是正定二次型，则该二次型的矩阵为______________，
的取值范围是______________．
二、单选题(每题3分,共15分)
1．设是一阶矩阵，是的伴随矩阵，又是常数，且，，则必有.；.；.；.．
2．设是4阶矩阵，且的行列式，则中．
.必有一列元素全为0；.必有两列元素成比例；
.必有一列向量是其余列向量的线性组合；.任意列向量是其余列向量的线性组合．
3．已知为3阶非零矩阵，且满足，则()．
.时，的秩必为1；.时，的秩必为2；
.时，的秩必为2；.时，的秩必为1．
4．阶矩阵具有个不同特征值是与对角阵相似的．
充分必要条件；充分而非必要条件；必要而非充分条件；既非充分也非必要条件．
5．设，则与()．
.合同且相似；.合同但不相似；.不合同但相似；.不合同且不相似．
三．（本题共8分，每小题4分）计算（1）；（2）．
四．（本题满分10分）设阶矩阵和满足条件：，
⑴证明：是可逆矩阵，其中是阶单位；⑵已知矩阵，求矩阵．
五．（本题满分15分，第一小题8分，第二小题7分）
（1）有向量组：,,,，试求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无
关组表示其余向量．
（2）设向量组线性无关，向量组可由向量组线性表示：
试证明向量组线性无关．
六．（本题满分12分）当、为何值时，线性方程组
有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．
七．（本题满分14分）有二次型，试用正交变换化
为标准形，求出正交变换的矩阵及二次型的标准形．
八．（本题满分6分）设方阵的特征值,对应的特征向量分别为,证明：
(1)不是的特征向量；(2),线性无关．
姓名____________班级_____________学号______________任课老师_____________
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