|
|
| 第十三章 §13.1 第1课时 坐标系 |
|
|
|
|
第十三章§13.1坐标系与参数方程第1课时坐标系大一轮复习讲义考试要求1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图
形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给
出简单图形表示的极坐标方程.内容索引主干梳理基础落实题型突破核心探究课时精练1主干梳理基础落实ZHUGANSHULIJ
ICHULUOSHI1.伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：_____________的作用下，点P(
x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.知识梳理极坐标系.点O称为极点，射线Ox称
为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ
)称为点M的极坐标.ρ称为点M的，θ称为点M的.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与
极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.极径极角2.极坐标系(1)极
坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆
时针方向)，这样就建立了一个(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知
下面关系式成立：或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆?__
___________圆心为(r,0)，半径为r的圆?_____________________圆心为，半径为r的圆?_____
_____________ρ＝r(0≤θ<2π)ρ＝2rcosθρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线?θ＝α
(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线?____________________过点，与极轴平行的直线
?_______________ρcosθ＝aρsinθ＝a(0<θ<π)微思考1.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗
？提示平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一
一对应关系.2.如何把极坐标转化为直角坐标？题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测√(2)
在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.()√×(4)tanθ＝
1与θ＝表示同一条曲线.()×题组二教材改编2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x
(0≤x≤1)的极坐标方程为√解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1).3.在极
坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是√解析方法一由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x
2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，题组三易错自纠√解析先将极坐标化成直角坐标表示
，再化为极坐标为ρsinθ＝1.5.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程
为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为.x2＋y2－2y＝0解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C
的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.6.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点.当△
AOB是等边三角形时，求a的值.解由ρ＝4sinθ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由ρsin
θ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a>0).设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形
，如图所示.由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.又∵点B在x2＋y2－4y＝0上，∴a＝3.2题型突破核心探究TIXING
TUPOHEXINTANJIU题型一极坐标与直角坐标的互化师生共研例1(1)极坐标方程ρ2cosθ－ρ＝0转化成直角坐
标方程为A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝1√√思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前
提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝
ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρc
osθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换.跟踪训练1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线
C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.(1)求C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；当θ＝0时，ρ＝2
，所以M(2,0).(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.题型二求曲线的极坐标方程师生共研例2圆心C的极坐标为，且
圆C经过极点.(1)求圆C的极坐标方程；(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程.思维升华求曲线的极坐标方程的
步骤(1)将已知条件转化到直角坐标系中.(2)根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程.(3)将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程.跟
踪训练2已知曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的直角坐标方程化为极坐标方程；得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所
以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解
C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.题型三极坐标方程的应用师生共研(1)求ρ1，ρ2的值；因此ρ2＝2或0.(2)求出直线
l与圆C的公共点的极坐标.因为ρ≥0,0≤θ<2π，思维升华极坐标应用中的注意事项(1)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判
断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.两种特殊情况：
①当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|；②当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；(2)若M为曲线C上的一个动点，当M到l的距离最大时，求点M的坐标.由题意知，直线
l的一般方程为x－y－4＝0.所以点M到直线l的距离3课时精练KESHIJINGLIAN基础保分练(1)求圆C的极坐标方程；123
45∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.123451234512345(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；12
345又因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，12345(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值.
12345可得ρ2－6ρ＋ρ－3＝0，即ρ2－5ρ－3＝0，所以ρ1＋ρ2＝5，ρ1·ρ2＝－3，12345(1)求圆C的直角坐标
方程；12345即圆心的直角坐标为(1,1)，∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.12345(2)求|PA|·|
PB|的值.解点P的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2,0).当直线l与圆C相切于点D时，∴由切割线定理得|PA|·|P
B|＝|PD|2＝8.12345技能提升练(1)求圆C的极坐标方程；解圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－
2x＝0，所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ.12345(2)设P，Q是圆C上的两个动点，且∠PO
Q＝，求|OP|＋|OQ|的最大值.1234512345拓展冲刺练(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；12345设圆C2的半径
为R，由题意，得圆C2的极坐标方程为ρ＝2Rcosθ，12345即R＝1，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ，所以曲线C
2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.1234512345本课结束更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com大一轮
复习讲义提示(1)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.()A.ρ＝，0≤θ≤B.ρ＝，0≤θ≤C.ρ＝cos
θ＋sinθ，0≤θ≤D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤∴ρ＝.A.B.C.(1,0)D.(1，π)知圆心的极坐标
为，故选B.方法二由ρ＝－2sinθ＝2cos，其对应的极坐标为.4.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是
A.ρsinθ＝1B.ρsinθ＝C.ρcosθ＝1D.ρcosθ＝即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y
＝1，y＝ρsinθ＝2sin＝1，P转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cos＝，∴B点的坐标为.在Rt△DOB中，易求D
B＝a，即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.∴2＋a2－4a＝0，解析ρ2cosθ－ρ＝0?ρ＝＝0，或ρcosθ
＝1，x＝1.(2)(2020·桂林期末)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则极坐标为的点对
应的直角坐标为A.(，1)B.(1，)C.(2，)D.(，2)y＝ρsinθ＝2×sin＝2×＝，解析x＝ρcos
θ＝2×cos＝2×＝1，∴极坐标为的点对应的直角坐标为(1，).解由ρcos＝1得，ρ＝1.从而C的直角坐标方程为x＋y＝1
，当θ＝时，ρ＝，所以N.即x＋y＝2.解由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为.则P点的极坐标为，所以P点的直
角坐标为，所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).即x2＋y2－2(x＋y)＝0，解圆心C的直角坐标为(，)，则设圆C的直角坐
标方程为(x－)2＋(y－)2＝r2，即ρ＝2(sinθ＋cosθ).故圆C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝4，化为极
坐标方程为ρ2－2ρ(sinθ＋cosθ)＝0，依题意可知r2＝(0－)2＋(0－)2＝4，于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,
0)，(2，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝(x－2)，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－2＝0.令y＝0，得x2
－2x＝0，解得x＝0或2.由于直线过圆心C(，)和点(2，0)，解在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2(x＋y)＝0中，即x＋y
－2＝0.解将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，由所以C1与C2交点的极坐标分别为，.解得或例3(2020·江苏)在极坐
标系中，已知点A在直线l：ρcosθ＝2上，点B在圆C：ρ＝4sinθ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π).ρ2＝4sin＝2，解
由ρ1cos＝2，得ρ1＝4；又(0,0)也在圆C上，解由得4sinθcosθ＝2，所以sin2θ＝1.所以公共点的极
坐标为.所以θ＝，ρ＝2.(2)在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝.跟踪
训练3(2020·玉溪模拟)曲线C的极坐标方程为ρ＝4·cos，直线l经过点P(，－1)，倾斜角α＝.解C的极坐标方程为ρ＝4
cos，直线l经过点P(，－1)，倾斜角α＝.转换为直角坐标方程为(x－)2＋(y＋3)2＝12，直线l的参数方程为(t为参数).
解M为曲线C上的一个动点，设M(＋2cosθ，－3＋2sinθ)，＝，即θ＝，点M(＋3，－3－).d＝当sin＝－1时，距
离的最大值为2＋1，1.(2020·内蒙古呼伦贝尔模拟)在直角坐标系中，圆C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.解圆C：消去参数α得，即x2＋y2－2x－2y＝0，(x－1)2＋(y－)2＝4，∴ρ2
－2ρcosθ－2ρsinθ＝0，ρ＝4cos.(2)若直线l：(t为参数)被圆C截得的弦长为2，求直线l的倾斜角.解∵直线
l：(t为参数)的极坐标方程为θ＝φ，即cos＝，∴φ－＝或φ－＝－.∴直线l的倾斜角为或.当θ＝φ时，ρ＝4cos＝2.∴φ＝或
φ＝，2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为
极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.解由x＝y，得y＝x，由(x－2)2＋(y＋1)2＝16得，所以曲线C的极坐标方程为ρ2－
4ρcosθ＋2ρsinθ－3＝0.所以l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，x2＋y2－4x＋2y－3＝0，解方法一将θ＝代入
ρ2－4ρcosθ＋2ρsinθ－3＝0，方法二由题意图曲线C表示圆，则C(2，－1)，圆C的半径r＝4，∴|AB|＝2＝2
＝.由极坐标几何意义得|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝＝.直线l：y＝x，圆心C到直线l的距离d＝＝，3.在直角坐标系xOy中，以原点
O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为，半径r＝，点P的极坐标为(2，π)，过P作直线l交圆C于A，B
两点.解∵圆C的圆心的极坐标为，∴y＝sin＝1，x＝cos＝1，则|PD|2＝|PC|2－r2＝(－2－1)2＋(0－1)
2－()2＝8，4.(2020·南宁模拟)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，现以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系.所以当θ＝－时，|OP|＋|OQ|取最大值2.解设P的极坐标为(ρ1，θ)，Q，则|OP|＋|OQ|＝2cosθ＋2cos又所以－<θ<，则|OP|＝ρ1＝2cosθ，|OQ|＝ρ2＝2cos，＝3cosθ－sinθ＝2cos，5.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C1上的点M对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D.解将M及对应的参数φ＝，所以曲线C1的方程为φ为参数，代入得即所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.将点D代入ρ＝2Rcosθ，得1＝2Rcos，(2)若点A，B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB，求＋的值.所以＋ρsin2θ＝1，＋ρcos2θ＝1，解设A(ρ1，θ)，B在曲线C1上，所以＋＝＋＝＋＝. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
