第十三章§13.2不等式选讲第1课时绝对值不等式大一轮复习讲义考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取
等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几
何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.内容索引主干梳理基础落实题型突破
核心探究课时精练1主干梳理基础落实ZHUGANSHULIJICHULUOSHI1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式
|x|a的解集知识梳理不等式a>0a＝0a<0|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)R(－a，a)(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤
c?.②|ax＋b|≥c?.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利
用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.③通过构造函数，利用函数的图象
求解，体现了函数与方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则
≤|a±b|≤.(2)如果a，b，c是实数，那么，当且仅当_________时，等号成立.|a|＋|b|||a|－|b||
|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0微思考1.绝对值三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示当a，b不共
线时，|a|＋|b|>|a＋b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边.2.用“零点分段法”解含有n个绝对值的不等式时，需把
数轴分成几段？提示一般地，n个绝对值对应n个零点，n个零点应把数轴分成(n＋1)段.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请
在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.()(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为?.()(
3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立.()(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.
()基础自测×√×√题组二教材改编2.不等式3≤|5－2x|<9的解集为A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,
7]C.(－2，－1]∪[4,7) D.(－2,1]∪[4,7)√∴不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).3.不等式|x－1|－
|x－5|<2的解集为__________.(－∞，4)解析(1)当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，
不等式恒成立，∴x≤1；(2)当1等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，4).题组三易错自纠4.设A＝{x||x－2|≥
2}，B＝{x||x－1|－2|≥2得x－2≤－2或x－2≥2，解得x≤0或x≥4，所以A＝(－∞，0]∪[4，＋∞)，由|x－1|解得1－a0时，由于A∩B＝?，综上所述
，a的取值范围是a≤1.5.不等式x2－5|x|－6<0的解集是________.(－6,6)解析x2－5|x|－6<0，即(|
x|－6)(|x|＋1)<0，即|x|－6<0，|x|<6，故x∈(－6,6).6.设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不
等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________.R解析∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝
|a－b|.又∵|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即该不等式的解集为R.2题型突破核心探究TIXINGTUP
OHEXINTANJIU题型一绝对值不等式的解法师生共研例1(2020·自贡模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|－|x＋
1|.(1)当a＝2时，求f(x)<－1的解集；解当a＝2时，由f(x)<－1，可得|2x－2|－|x＋1|<－1，所以当x≤－
1时，不等式转化为－x＋3<－1，无解；当x>1时，不等式转化为x－3<－1，解得12恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1,3]时，f(x)≤2恒成立，即|2x－a|≤2＋|x＋1|＝x＋3，故－(x＋3)≤
2x－a≤x＋3，即x－3≤a≤3x＋3对任意的x∈[1,3]恒成立，因为x－3≤3－3＝0,3x＋3≥3＋3＝6，所以0≤a≤6
.思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正
号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.跟踪训练1(2020·
江苏)设x∈R，解不等式2|x＋1|＋|x|<4.当－1≤x≤0时，原不等式可化为2x＋2－x<4，解得－1≤x≤0；当x<－1时
，原不等式可化为－2x－2－x<4，解得－2求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；解∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，当且仅当0≤
x≤1时等号成立，∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，当且仅当－1≤y≤1时等号成立，∴|x－1|＋|x|＋
|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立.∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1
|的最小值为3.(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.解|x－2y＋1|＝|(x－
1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.思维升华求含绝对
值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义.(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|
b||.(3)利用零点分区间法，转化为分段函数求最值.跟踪训练2已知a和b是任意非零实数.当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时
等号成立，(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围.解若不等式|2a
＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集.解不等式得
－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2,2].题型三绝对值不等式的综合应用师生共研例3(2020·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝
|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；当3求a的取值范围.解将题目转化为f(x)≥4恒成立，即f(x)min≥4.因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2
a＋1|＝(a－1)2，所以(a－1)2≥4，即|a－1|≥2.解得a≥3或a≤－1.所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞
).思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常
用方法.跟踪训练3(2019·全国Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a).(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的
解集；解当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1).当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0恒成立；当x≥2时，
f(x)＝2(x－1)2>0；当1≤x<2时，f(x)＝2(x－1)≥0.所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，1).(2)若x∈
(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围.解因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)
x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以a的取值范围是[1，＋∞).3课时精练KESHIJINGLIAN基础保分
练1.对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围.12345解因
为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，即|4a－3b＋2|的最大值为6，所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.即实数m的取值范围为[
6，＋∞).123452.已知函数f(x)＝|x|＋|x－a|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)<4的解集；12345解当a＝
2时，不等式f(x)<4可化为|x|＋|x－2|<4.①当x<0时，不等式等价于－x－(x－2)<4，解得x>－1，所以－10；②当0≤x≤2时，不等式等价于x－(x－2)<4，解得2<4，所以0≤x≤2；③当x>2时，不等式等价于x＋(x－2)<4，解
得x<3，所以2，求实数a的取值范围.解因为|x|＋|x－a|≥|x－(x－a)|＝|a|，所以f(x)min＝|a|.又因为f(x)＝|x|＋
|x－a|≥1对任意x∈R成立，所以f(x)min≥1，即|a|≥1，所以a≤－1或a≥1.故实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[
1，＋∞).123453.(2020·全国Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；证明
∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，∴a2＋b2＋c2>0，1
2345证明不妨设max{a，b，c}＝a，由a＋b＋c＝0，abc＝1可知，a>0，b<0，c<0，当且仅当b＝c时，取等号，
12345技能提升练4.(2020·湛江模拟)已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f(x)＋f(x＋1)≥4；解由f(x
)＋f(x＋1)≥4得|x－1|＋|x|≥4，当0≤x≤1时，得1≥4，所以x∈?；12345当且仅当|x|＝1时，等号成立，12
345拓展冲刺练5.设f(x)＝|x＋1|－|2x－1|.(1)求不等式f(x)≤x＋2的解集；12345解根据题意可知，原不等
式为|x＋1|－|2x－1|≤x＋2，综上可得不等式f(x)≤x＋2的解集为R.12345(2)若不等式满足f(x)≤|x|(|
a－2|＋|a＋1|)对任意实数(x≠0)恒成立，求实数a的取值范围.1234512345所以|a－2|＋|a＋1|≥6，1234
5本课结束更多精彩内容请登录：www.xinjiaoyu.com大一轮复习讲义解析由题意得即解得所以解得01时，不等式转化为－3x＋1<－1，解得0时，原不等式可化为2x＋2＋
x<4，解得0由(1)可知，的最小值为4，故|2＋x|＋|2－x|≤min.解当a＝2时，f(x)＝|x－4|＋|x－3|＝当x≥4时，令2x
－7≥4，解得x≥.当x≤3时，令7－2x≥4，解得x≤；因此，不等式f(x)≥4的解集为.所以|3a－3b|≤3，≤，≤|3a－
3b|＋＋≤3＋＋＝6，所以|4a－3b＋2|＝∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c2).∴ab＋bc＋ca＝－(a2＋b2＋c
2)<0.(2)用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥.∴a3＝a2·a＝＝≥＝4.∵a＝－b－c，a＝，∴a≥，即max{a，b，c}≥.综上，此不等式的解集为∪.当x<0时，得1－2x≥4，所以x≤－.当x>1时，得2x－1≥4，所以x≥；所以f(－x)＋f?≥2.(2)当x≠0，x∈R时，证明：f(－x)＋f?≥2.由绝对值不等式得|x＋1|＋≥，由基本不等式得，|x|＋≥2，证明由f(－x)＋f?＝|x＋1|＋，又因为x，同号，所以＝|x|＋，等价于或解得x<－1或－1≤x≤或x>.或解不等式f(x)≤|x|(|a－2|＋|a＋1|)等价于因为＝≤＝3，因为≤(|a－2|＋|a＋1|)，≤(|a－2|＋|a＋1|)，当且仅当≤0时取等号，解得a≤－或a≥，故实数a的取值范围为∪. |
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