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| 极坐标方程 |
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三、极坐标系中两点间的距离∴△AOB为直角三角形，延伸探究在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标.解取AB的中点M，连接OM，反思感
悟在极坐标系中，如果P1(ρ1，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝的两种特殊情形为(1)当θ1＝θ2
＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1－ρ2|.(2)当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.3解析
如图所示，所以△ABC是等边三角形.知识点极坐标和直角坐标的互化互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直
角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位.(2)互化公式①极坐标化直角坐标：②直角坐标化极坐标
：ρcosθρsinθx2＋y2一、点的极坐标化直角坐标例1把下列点的极坐标化为直角坐标.反思感悟解根据x＝ρcosθ，
y＝ρsinθ，二、点的直角坐标化极坐标例2分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).延伸探究1.若规定θ
∈R，上述点的极坐标还惟一吗？极坐标不惟一.解结合坐标系及直角坐标的特点知，反思感悟(1)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ
)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0)进行求解，先求极径，再求极角.(2)在[0,2π)范围内，由tanθ＝
(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z
)即可.跟踪训练2在直角坐标系中，求与点M的距离为1且与原点距离最近的点N的极坐标.依题意知，M，N，O三点共线，第一讲三简
单曲线的极坐标方程第1课时圆的极坐标方程知识点一曲线的极坐标方程1.在极坐标系中，如果曲线C上的极坐标中有一个满足方程f(
ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的.2.建立曲线的极坐标方程的方法步骤(
1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式.(3)将列出的关系式整理
、化简.(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程.至少任意一点都在曲线C上极坐标方程知识点二圆的极坐标方程圆心位置极坐标方程图形圆
心在极点(0，0)ρ＝(0≤θ<2π)?圆心在点(r，0)ρ＝_______?圆心在点ρ＝(0≤θ<π)?圆心在点
(r，π)ρ＝________?圆心在点ρ＝(－π<θ≤0)?r2rcosθ2rsinθ－2rcosθ－2rsin
θ思考1在极坐标系中，点M(ρ，θ)的轨迹方程中一定含有ρ或θ吗？答案不一定.思考2圆心在极点，半径为2的圆的极坐标方程是
什么？答案ρ＝2.一、求圆的极坐标方程例1求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程.解在圆周上任取一点P(如图)，设其极坐
标为(ρ，θ)，由余弦定理知，CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，延伸探究若圆心在(3,0)，半径r＝2，求圆的极
坐标方程.解设P(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CP|2＝|OP|2＋|OC|2－2|OP|·|OC|·cos∠COP，∴22＝
ρ2＋9－6ρcosθ，即ρ2＝6ρcosθ－5.当O，P，C共线时此方程也成立.反思感悟求圆的极坐标方程的步骤(1)设圆上任
意一点的极坐标为M(ρ，θ).(2)在极点、圆心与M构成的三角形中运用余弦定理或解直角三角形列出方程f(ρ，θ)＝0并化简.(3)
验证极点、圆心与M三点共线时，点M(ρ，θ)的极坐标也适合上述极坐标方程.解设M(ρ，θ)为圆C上任一点，易知极点O在圆C上，设
OM的中点为N，∴△OCM为等腰三角形，二、极坐标方程与直角坐标方程的互化命题角度1直角坐标方程化极坐标方程例2把下列直角坐标
方程化为极坐标方程.(1)x2＋y2＝1；∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2＝1，∴ρ2＝1，即ρ＝1.(2)x2＋y2－4
x＋4＝0；解∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－4ρcosθ＋4＝0，∴ρ2－4ρcosθ＋4＝0.(3)x2＋y2
－2x－2y－2＝0.解∵(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρcosθ－2ρsinθ－2＝0.∴ρ2－2ρ(cos
θ＋sinθ)－2＝0，反思感悟在进行两种坐标方程间的互化时，要注意(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重
合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤
θ<2π范围内求值.跟踪训练2把下列直角坐标方程化为极坐标方程.(2)x2－y2＝1.解将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代
入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，命题角度2极坐标方程化直角坐标方程例3把下列极坐标方程化为直角坐标方程
.(1)ρ2cos2θ＝1；解∵ρ2cos2θ＝1，∴ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，∴化为直角坐标方程为x2－y2＝1
.∴ρcosθ－ρsinθ－1＝0.又ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴x－y－1＝0.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝
0.反思感悟由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形
，否则，不是等价变形.跟踪训练3把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化.(1)x2＋y2－2x＝0；解∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcosθ＝0，∴ρ＝2cosθ.(2)ρ＝cosθ－2sinθ；解∵ρ＝cosθ－2sinθ，∴ρ2＝ρ
cosθ－2ρsinθ.∴x2＋y2＝x－2y，即x2＋y2－x＋2y＝0.(3)ρ2＝cos2θ.解∵ρ2＝cos2θ，∴
ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcosθ)2.∴(x2＋y2)2＝x2，即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.三、直角坐标与极坐标方程互
化的应用例4若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求曲线C
的直角坐标方程；由ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2
)2＋(y－1)2＝5.即ρsinθ－ρcosθ＝0，∴x－y＝0.反思感悟在研究曲线的性质时，如交点、距离等，如果用极坐标不
方便，可以转化为直角坐标方程，反之，可以转化为极坐标方程.跟踪训练4在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos
θ和ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为
.(1,1)第一讲三简单曲线的极坐标方程第2课时直线的极坐标方程知识点直线的极坐标方程直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角
为α(1)θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)?过点(a,0)，且与极轴垂直＝a?
过点，且与极轴平行＝a(0<θ<π)?π＋ααρcosθρsinθ思考1直线l的极坐标方程f(ρ，θ)＝0应该有什么要求
？答案①直线l上任意一点M至少有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；②以f(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在直线l上.思考2过极
点O且倾斜角θ＝的直线的极坐标方程是什么？答案θ＝(ρ∈R).一、求直线的极坐标方程例1在极坐标系中，求过点(3，π)且倾
斜角为的直线的极坐标方程.解令A(3，π)，设直线上任意一点P(ρ，θ)，又因为点A(3，π)适合上式，延伸探究在本例条件下，
若倾斜角改为，求直线的极坐标方程.解设P(ρ，θ)为直线上的任意一点，在△AOP中，又点A(3，π)适合ρcosθ＝－3，反
思感悟(1)求直线的极坐标方程的一般方法设出直线上的任意一点(ρ，θ)，利用三角形中的定理，如正弦定理、余弦定理等列出ρ，θ的关系
式，即为直线的极坐标方程.(2)求直线的极坐标方程的注意事项①当ρ≥0时，直线上的点的极角不是常量，所以直线的极坐标方程需要转化为
两条射线的极坐标方程，所以直线的极坐标方程不如直线的直角坐标方程惟一且简便；②当规定了“负极径”的意义，即ρ∈R时，直线的极坐标方
程就是惟一的了.解方法一设P(ρ，θ)是直线上除M点外任意一点，方法二以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则点
M的直角坐标为(0,3).得直线l的极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ＋3，二、直线的直角坐标方程与极坐标方程的互化例2把下
列方程极、直互化.(2)y＝2x；解∵y＝2x，∴ρsinθ＝2ρcosθ，∴tanθ＝2，极点(0,0)也适合tanθ
＝2，∴y＝2x的极坐标方程为tanθ＝2.∴x＋y－1＝0.反思感悟把极坐标方程化为直角坐标方程时，通常要进行配凑.(1)通常
要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcosθ，ρsinθ的形式.(2)常取tanθ，方程用公式tanθ＝(x≠0).关
键要注意变形的等价性.跟踪训练2把下列方程进行极、直互化.(1)2x＋y＋1＝0；(3)θ＝α.即y＝tanα·x，原点(0,
0)也适合y＝tanα·x，∴θ＝α的直角坐标方程为y＝tanα·x.三、直线的极坐标方程的应用(1)求A，B两点间的距离；解
设极点为O.(2)求点B到直线l的距离.反思感悟对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们转化为直角坐标方程，在直
角坐标系下研究.跟踪训练3在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：，C与l有且仅有一个公共点.(1)求a的值；
解由曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，得ρ2＝2aρcosθ，化为直角坐标方程为(x－a)2＋y2＝a2，由于直线与圆有且
只有一个公共点，(2)O为极点，A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值.3随堂演练PARTTHRE
E√123452.在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为A.θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B.θ＝
(ρ∈R)和ρcosθ＝2C.θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D.θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1√123453.7cos
θ＋2sinθ＝0表示A.直线 B.圆C.椭圆 D.双曲线√解析两边同乘以ρ，得7ρcosθ＋2ρsinθ＝0，即7x
＋2y＝0，表示直线.123454.极坐标方程cosθ＝(ρ≥0)表示的曲线是A.余弦曲线 B.两条相交直线C.一条射线
D.两条射线√1234512345第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介知识点一柱坐标系柱坐标系的概念(1)定义：建立空间直角
坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标
.这时点P的位置可用有序数组(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关
系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作，其中.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ
，θ，z)之间的变换公式为(ρ，θ，z)ρ≥0,0≤θ<2π，z∈RP(ρ，θ，z)ρcosθρsinθz思考要刻画空间一点
的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？答案空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.知识点二球坐标系球坐标系的概念(1
)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上
的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组表示.这样，空间的点与有序数组(r
，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标
，记作，其中.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为(r，φ，θ)P(r，φ，θ)r≥0
,0≤φ≤π，0≤θ<2πrsinφcosθrsinφsinθrcosφ思考要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，
用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示.答案可以.一、柱坐标与直角坐标的互
化例1(1)已知点A的直角坐标为(－1，，4)，求它的柱坐标；反思感悟(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.跟踪训练1(1
)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；故点N的直角坐标为(0,2,3).二、球坐标与直角坐标的互化解由变换公式，解
由坐标变换公式，反思感悟∴|AB|＝＝6.解如图∠AOB＝－＝，例3在极坐标系中，点O为极点，已知点A，B，求|AB|的值.
又|OM|＝6×cos＝3，在△AOB中，∠AOB＝，OA＝OB，∴∠AOM＝，∴∠xOM＝＋＝.∴M的极坐标为.所以|AB|＝
＝＝3.|OA|＝，|OB|＝2，∠AOB＝－＝.跟踪训练3(1)A，B两点的极坐标分别为A，B，则A，B两点的距离为|AB|＝
.解因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos＝49，|BC|2＝82＋32－2×8×3×cos＝49.(2)在极坐标系中
，若△ABC的三个顶点为A，B，C，判断三角形的形状.|AC|2＝52＋32－2×5×3×cos＝49，x＝2cos＝－，y＝2
sin＝－1，(2)B；解x＝3cos＝，y＝3sin＝－，解由公式得∴点A的直角坐标为(－，－1).(1)A；∴点B的直角
坐标为.∴点M的直角坐标为(－3，3).解x＝6cos?＝－3，y＝6sin?＝3，(3)M.由极坐标化直角坐标是惟一的.由公式
惟一确定.跟踪训练1已知点的极坐标分别为A，B，C，求它们的直角坐标.得A(－1，)，B，C(0，－4).解∵ρ＝＝＝4，ta
nθ＝＝－，θ∈[0,2π).∴点的直角坐标(－2,2)化为极坐标为.(1)(－2,2)；由于点(－2,2)在第二象限，∴θ＝.
∴θ＝.解∵ρ＝＝＝2，tanθ＝＝－，θ∈[0,2π)，由于点(，－)在第四象限，∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为.(2)
(，－)；∴点的直角坐标化为极坐标为.解∵ρ＝＝＝，tanθ＝＝1，θ∈[0,2π).由于点在第一象限，所以θ＝.(3).解
(1)(k∈Z).(3)(k∈Z).(2)(k∈Z).2.若点的直角坐标为(1)(0,2)，(2)(0，－)，(3)，把它们化为极
坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).(1).(2).(3).??因为点M在第四象限，所以θ＝＋2kπ，k∈Z，则点N的极坐标为，k∈Z.
得ρ＝＝5，tanθ＝＝－.则点M的极坐标为，k∈Z.解把点M的直角坐标化为极坐标，故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0c
os(θ－θ0).则ρ＝6cos即为圆C的极坐标方程.跟踪训练1在极坐标系中，已知圆C的圆心为C，半径为r＝3.求圆C的极坐标方
程.∴|OM|＝2×3cos，则|ON|＝|OC|cos，解把代入方程化简，∴ρ2－2ρsin－2＝0.解将x＝ρcosθ，
y＝ρsinθ代入y＝x得化简，得ρ2＝.(1)y＝x；?ρsinθ＝ρcosθ，从而θ＝.解∵ρ＝2cosθcos?＋
2sinθsin?＝cosθ＋sinθ，∴化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.(2)ρ＝2cos；∴ρ2＝ρcosθ
＋ρsinθ，解∵ρcos＝，∴2－x＝1.∴ρ＝，(4)ρ＝.解∵ρ＝，∴2ρ－ρcosθ＝1，(3)ρcos＝；解∵
∴ρ2＝x2＋y2，∴|AB|＝2＝3.解由ρsin＝0，得ρ＝0，由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝，圆心(2,
1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，(2)若曲线ρsin＝0与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值.由正弦定理＝，在△OAP中，
∠APO＝θ－，故所求直线的极坐标方程为ρsin＝.得ρsin＝.∴ρcosθ＝－3.∴直线的方程为ρcosθ＝－3.?ρco
s(π－θ)＝3，跟踪训练1在极坐标系中，直线l经过点M，且该直线与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程.∠OPM＝θ－或－θ，
∠OMP＝或.即＝.∴ρsin＝，则在△OPM中，|OP|＝ρ，∠POM＝－θ或θ－，由正弦定理，有＝，∵sin＝sin＝sin，
由直角坐标与极坐标的互化公式∴直线l的极坐标方程为ρsin＝.又M满足该式，过点M且倾斜角为的直线l的直角坐标方程为y＝x＋3.即
ρ(sinθ－cosθ)＝3.解∵θ＝，∴tanθ＝，即tanθ＝＝(x≠0)，∴y＝x(x≠0).∴θ＝的直角坐标方程
为y＝x.(1)θ＝；又点(0,0)适合方程y＝x，解∵ρsin＝，∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，(3)ρsin＝.?∴ta
nθ＝－，∴θ＝.解由得ρsinθ＝－ρcosθ，解由得2x＋y＋1＝0的极坐标方程为ρ(2cosθ＋sinθ)＋1
＝0.(2)y＝－x；解当α＝时，θ＝α的直角坐标方程为x＝0，当α≠时，由θ＝α，得tanθ＝tanα，∴＝tanα，由
余弦定理，得AB＝在△OAB中，A，B，例3(2019·江苏)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为ρsin＝3.＝＝.解
直线l的极坐标方程ρsin＝3化为普通方程为x＋y－3＝0.所以点B到直线l的距离为＝2.又B，即B(0，)，直线l：ρcos＝
，得x＋y－＝0，即x＋y－3＝0，?ρcos＝即ρcosθcos?＋ρsinθsin?＝，所以d＝＝a，解得a＝1，a＝－3
(舍去).则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.解不
妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，＝2cos.再根据y＝ρsinθ，将①化为极坐标方程可得ρsinθ＝.1.过点且平行于极轴的
直线的极坐标方程是A.ρcosθ＝4B.ρsinθ＝4C.ρsinθ＝D.ρcosθ＝解析由题意可得，所求直线的直
角坐标方程为y＝2sin＝，①又∵ρ≥0，∴cosθ＝表示两条射线.解析∵cosθ＝，∴θ＝±＋2kπ(k∈Z).∴点A
(，－)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝.5.已知直线的极坐标方程为ρsin＝，则点A到这条直线的距离是.即ρsinθ·co
s?＋ρcosθ·sin?＝的直角坐标方程为x＋y＝，即x＋y＝1.解析点A的直角坐标为(，－).直线ρsin＝，解得∴点A的
柱坐标为.解设点A的柱坐标为(ρ，θ，z)，则∴点P的直角坐标为(2,2，8).得x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.解由变换公式(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标.(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tanθ＝，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.∵x＝0，y>0，∴θ＝.(2)已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标.解ρ＝＝＝1.∴点M的柱坐标为.解由变换公式x＝2cos＝0，y＝2sin＝2，例2(1)已知点P的球坐标为，求它的直角坐标；?y＝rsinφsinθ＝4sinsin＝2.故其直角坐标为(2,2，－2).得x＝rsinφcosθ＝4sincos＝2.z＝rcosφ＝4cos＝－2.得cosφ＝＝－，φ＝.从而知M点的球坐标为.(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标.由rcosφ＝z＝－2，又tanθ＝＝1，θ＝，可得r＝＝＝4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tanθ＝，cosφ＝来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置. |
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