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| 第一讲坐标系 |
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第一讲坐标系一平面直角坐标系知识点一平面直角坐标系1.平面直角坐标系的概念(1)定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成
平面直角坐标系，简称直角坐标系.(2)相关概念：数轴的正方向：水平放置的数轴的方向、竖直放置的数轴的方向分别是数轴的正方向.x
轴或横轴：坐标轴的数轴.y轴或纵轴：坐标轴的数轴.坐标原点：坐标轴的.(3)对应关系：平面直角坐标系内的点与之间一一对应.
向上向右水平竖直公共点O有序实数对(x，y)2.坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及
的元素，将几何问题转化为问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成结论.代数几何几何思考坐标法解
决问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？答案建立平面直角坐标系；通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中
心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.知识点二平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中伸缩变换的定义(1)平面直角
坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为_______伸缩变换，这就是用研究变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸
缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称为平面
直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.坐标的代数方法几何φ思考伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？答案不一定，伸缩变换
对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.一、坐标法的应用命题角度1研究
几何问题例1已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.证明如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂
直平分线为y轴建立平面直角坐标系.设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h).即hx＋ay－ah＝0.即hx－ay＋ah＝0.∴
|BD|＝|CE|，即BD＝CE.二、伸缩变换新曲线的形状.∴新曲线是以长轴为8，短轴为6，焦点在y轴上的椭圆.第一讲二极坐标
系极坐标系的概念知识点极坐标系极坐标系的概念(1)极坐标系的定义①取极点：平面内取一个；②作极轴：自极点O引一条射线Ox；③定
单位：选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向).(2)点的极坐标①定义：有序数对(ρ，θ)叫做点
M的极坐标，记为；②意义：ρ＝，即极点O与点M的距离(ρ≥0).θ＝，即以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角.定点OM(ρ，
θ)|OM|∠xOM思考1某同学说他家在学校东偏北60°，且距学校1公里处，那么他说的位置能惟一确定吗？这个位置是由哪些量确定的
？答案能惟一确定；位置是由角和距离两个量确定的.思考2类比平面直角坐标系，怎样建立用角与距离确定平面上点的位置的坐标系？答案
选一个点O为基点，射线OA为参照方向.一、由极坐标画出点例1根据下列极坐标作出各点.解如图，反思感悟由极坐标作点，先由极角线找
点所在角的终边，再由极径确定点的位置.通过作点可以看出“极角确定，极径变，点在一条线”，“极径不变，极角变，点在圆上转”.跟踪训练
1根据下列极坐标，作出各点.解在极坐标系中，点A，B，C，D的位置是确定的.二、求点的极坐标例2设点A，直线l为过极点且垂直
于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π).解如图所示，延伸探究1.若将极角θ限
定为0≤θ<2π，求例2中的点的极坐标.2.若将极角θ改为θ∈R，求例2中的点的极坐标.反思感悟(1)设点M的极坐标是(ρ，θ)，
则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极
轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ).(2)点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点
的极坐标是惟一确定的.(3)写点的极坐标要注意顺序，极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.三、极坐标系中两点间的距离∴△AOB为直
角三角形，延伸探究在本例条件不变的情况下，求AB的中点的极坐标.解取AB的中点M，连接OM，反思感悟在极坐标系中，如果P1(ρ1
，θ1)，P2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式|P1P2|＝的两种特殊情形为(1)当θ1＝θ2＋2kπ，k∈Z时，|P1P2
|＝|ρ1－ρ2|.(2)当θ1＝θ2＋π＋2kπ，k∈Z时，|P1P2|＝|ρ1＋ρ2|.3解析如图所示，所以△ABC是等边三
角形.3随堂演练PARTTHREE√解析因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，故选A.1234√12
34√12341234课堂小结KETANGXIAOJIE1.极坐标系的四要素①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方
向.四者缺一不可.2.在极坐标系中找点的位置，应先确定极角，再确定极径，最终确定点的位置.3.确定点的极坐标的方法点P的极坐标的一
般形式为(ρ，θ＋2kπ)，k∈Z，则(1)ρ为点P到极点的距离，是个定值.(2)极角为满足θ＋2kπ，k∈Z的任意角，不惟一，其
中θ是始边在极轴上，终边过OP的任意一个角，一般取绝对值较小的角.第一讲二极坐标系极坐标和直角坐标的互化知识点极坐标和直角坐
标的互化互化的条件及互化公式(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标
系取相同的长度单位.(2)互化公式①极坐标化直角坐标：②直角坐标化极坐标：ρcosθρsinθx2＋y22题型探究PARTT
WO一、点的极坐标化直角坐标例1把下列点的极坐标化为直角坐标.反思感悟解根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，二、点的直角坐
标化极坐标例2分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).延伸探究1.若规定θ∈R，上述点的极坐标还惟一吗？极
坐标不惟一.解结合坐标系及直角坐标的特点知，反思感悟(1)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2
，tanθ＝(x≠0)进行求解，先求极径，再求极角.(2)在[0,2π)范围内，由tanθ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐
标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.跟踪训练2在直角坐标系
中，求与点M的距离为1且与原点距离最近的点N的极坐标.依题意知，M，N，O三点共线，三、极坐标与直角坐标互化的应用延伸探究1.若本
例条件不变，求线段AB中点的极坐标.∴ρ2＝x2＋y2＝1，∴ρ＝1.2.若本例条件不变，求AB的直线方程.反思感悟应用点的极坐标
与直角坐标互化的策略在解决极坐标平面内较为复杂的图形问题时，若不方便利用极坐标直接解决，可先将极坐标化为直角坐标，利用直角坐标系中
的公式、性质解决，再转化为极坐标系中的问题即可.设点C的直角坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，故|AB|＝|BC|＝|A
C|＝4.3随堂演练PARTTHREE√12345√解析设点P的极坐标为(ρ，θ)，∵ρ2＝x2＋y2＝4，∴ρ＝2，1234
5√12345√解析以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则由极坐标与直角坐标的互化公式，123455.已知点M的直角坐
标为(－3，－3)，若ρ>0,0≤θ<2π，则点M的极坐标是.12345课堂小结KETANGXIAOJIE极
坐标与直角坐标的互化由点到直线的距离公式，得|BD|＝，|CE|＝.直线AB的方程为y＝x＋h，则直线AC的方程为y＝－x＋h，
解∵∴把x，y代入方程x2＋y2＝1，得＋＝1.例3求圆x2＋y2＝1经过φ：变换后得到的新曲线的方程，并说明即所求新曲线的方
程为＋＝1.(1)A，B，C；(2)D，E，F，G.A(5,0)，B，C，D.关于直线l的对称点为C.关于极轴的对称点为B.关于极
点O的对称点为D.解B，C，D.D(k∈Z).解B，C，跟踪训练2在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的
极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π)).解作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是.∴|AB|＝＝6.解如图∠AOB＝－＝，例3
在极坐标系中，点O为极点，已知点A，B，求|AB|的值.又|OM|＝6×cos＝3，在△AOB中，∠AOB＝，OA＝OB，∴∠
AOM＝，∴∠xOM＝＋＝.∴M的极坐标为.所以|AB|＝＝＝3.|OA|＝，|OB|＝2，∠AOB＝－＝.跟踪训练3(1)A，
B两点的极坐标分别为A，B，则A，B两点的距离为|AB|＝.解因为|AB|2＝52＋82－2×5×8×cos＝49，|BC|2
＝82＋32－2×8×3×cos＝49.(2)在极坐标系中，若△ABC的三个顶点为A，B，C，判断三角形的形状.|AC|2＝52＋
32－2×5×3×cos＝49，1.极坐标系中，与点相同的点是A.B.C.D.解析OA与OB的夹角∠AOB＝－＝.2.在极坐
标系中，已知A，B，则OA，OB的夹角为A.B.0C.D.解析根据极坐标的对称关系知，点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是
.3.在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是A.B.C.D.解析|AB|＝＝.4.在极坐标系中，已知A，B两点
，则|AB|＝.x＝2cos＝－，y＝2sin＝－1，(2)B；解x＝3cos＝，y＝3sin＝－，解由公式得∴点A的直
角坐标为(－，－1).(1)A；∴点B的直角坐标为.∴点M的直角坐标为(－3，3).解x＝6cos?＝－3，y＝6sin?＝3，
(3)M.由极坐标化直角坐标是惟一的.由公式惟一确定.跟踪训练1已知点的极坐标分别为A，B，C，求它们的直角坐标.得A(－1，)
，B，C(0，－4).解∵ρ＝＝＝4，tanθ＝＝－，θ∈[0,2π).∴点的直角坐标(－2,2)化为极坐标为.(1)(－2,
2)；由于点(－2,2)在第二象限，∴θ＝.∴θ＝.解∵ρ＝＝＝2，tanθ＝＝－，θ∈[0,2π)，由于点(，－)在第四象限
，∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为.(2)(，－)；∴点的直角坐标化为极坐标为.解∵ρ＝＝＝，tanθ＝＝1，θ∈[0,2π
).由于点在第一象限，所以θ＝.(3).解(1)(k∈Z).(3)(k∈Z).(2)(k∈Z).2.若点的直角坐标为(1)(0,
2)，(2)(0，－)，(3)，把它们化为极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).(1).(2).(3).??因为点M在第四象限，所以θ＝
＋2kπ，k∈Z，则点N的极坐标为，k∈Z.得ρ＝＝5，tanθ＝＝－.则点M的极坐标为，k∈Z.解把点M的直角坐标化为极坐标
，所以A(3,3)，设线段AB的中点为M(m，n)，由线段中点的坐标公式可得解因为A点的极坐标为，所以xA＝6×cos＝3，y
A＝6×sin＝3，同理可得B(－4，－4).例3已知A，B两点的极坐标为和，求线段AB中点的直角坐标.所以线段AB中点的直角
坐标为.解由例3知，AB中点的直角坐标为，又tanθ＝＝，∴θ＝，∴极坐标为.又因为直线AB的倾斜角为，故斜率k＝，解因为A
点的极坐标为，所以A(3,3).故直线AB的方程为y－3＝(x－3)，即x－y＝0.所以xA＝6×cos＝3，yA＝6×sin
＝3，跟踪训练3在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).∴x＝2cos
＝，对于B有ρ＝2，θ＝，解对于点A有ρ＝2，θ＝，?y＝2sin＝，则A(，).∴x＝2cos＝－，y＝2sin＝－.
∴B(－，－).∴点C的直角坐标为(，－)或(－，).∴θ＝或θ＝.∴解得或∴ρ＝＝2，tanθ＝＝－1或tanθ＝＝－1，故
点C的极坐标为或.1.将点M的极坐标化成直角坐标是A.(5,5)B.(5，5)C.(5,5)D.(－5，－5)又tanθ
＝＝－1，且点P在第二象限，∴θ＝.2.已知点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为A.B.C.D.解析由公式可知∴
M点的直角坐标为(－，1).3.若M点的极坐标为，则M点的直角坐标是A.(－，1)B.(－，－1)C.(，－1)D.(，1)4.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－).若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是A.B.C.D.∴点P的极坐标可以是.得ρ＝＝＝2，tanθ＝＝＝－.∵点P在第四象限，结合选项知，θ可以是－，∴θ＝，又0≤θ<2π，且M(－3，－3)在第三象限，解析ρ＝＝6，故点M的极坐标为.由6cosθ＝－3，得cosθ＝－，任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带，事实上，若ρ>0，sinθ＝，cosθ＝，所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，?ρ2＝x2＋y2，tanθ＝(x≠0). |
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