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深奥的简洁(中)

2021-08-12  廿氏春秋
自以为是平面的线
以周期加倍的方式达到混沌的例子还有很多,在由简单通往混沌的过程中,它们都产生了有趣的变化,但我们不需要一一探讨其细节。回头看看滴水的水龙头与河流漩涡的例子,漩涡的例子也显现了分歧效应。从比达·芬奇更敏锐的角度观察,我们可以将乱流想成是许多周期规律的循环不断累加的结果[这是俄罗斯物理学家列夫·朗道(Lev Landau,1908—1968)于20世纪40年代提出的理论]。在单一漩涡中,其运动相对应于在一个吸引子,也就是极限循环旁打转。下一步,我们想象在相空间中的一点画出圆圈,而以这个圆圈的中心点再画出更大的圆圈,产生的吸引子将是一个圆环,形状像是自行车内胎或者救生圈。这种小圆圈绕着大圆圈的方式,代表在相空间中,代表系统的这一点以周期与可预测的方式遵循类似螺旋弹簧的路径。通常在相空间中,两个周期性的运动会互相影响,并且锁定在一个重复节拍。
从数学的角度,很容易进一步将复杂乱流的产生过程,以更高维度中的“环圈”(tori)解释。极限循环是二维空间中的一维吸引子,环圈的表面是在三维相空间中的二维吸引子,而下一个合理的步骤,是找出描述在四维相空间中三维吸引子的模型。但在真实世界中,不需要费这么大的功夫。乱流现象很快就会出现,如果将系统的状态以二维环圈表面上的一点表示,它会以比较复杂的方式在这表面上移动,且永不经过同一点(如果回到同一点,系统将是周期性的,而它的行为会重复),因而路径不会重叠。比较原来的三体问题,在相空间中,三个以上的周期不会锁定在一个重复节拍,所以它们集体的效应不会比三体问题中最小物体的轨道更容易预测(虽然,我们还是要不厌其烦地强调,它是决定式的)。描述系统的这一点,它在相空间中的轨迹相当于一条以复杂形态环绕于有限表面(这里有个棘手问题,下面会提到)且无限长的路径。在巴黎工作的比利时科学家大卫·吕埃勒(David Ruelle,1935—)和他的荷兰同事弗罗瑞司·塔肯斯(Floris Takens,1940—2010),在一篇发表于1971年的论文中,将之称为“奇异吸引子”(strange attractor)。
“分形”这时要出现在我们的故事中了。和混沌一样,分形在1975年正式得名,它们都是在其重要性被充分发掘之前,就已在科学界存在许久。令人惊讶(甚至有点恐怖)的是,分形在19世纪末就被数学家发现,当时被视为是不兼容于主流数学有序世界的“怪物”。等你看一个将它们的怪异特性发挥到极致的例子,就会明白为什么。

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3.3 皮亚诺曲线——一条自以为是平面的线。
意大利数学家皮亚诺(Giuseppe Peano, 1858—1932)在1890年发表了一篇论文,描述如何建构一条可以完全填满平面的曲线。(3)  对于非数学家的人而言,这不怎么惊人。但仔细想想,平面是二维实体,有长度和宽度,而线是一维实体,有长度但没宽度。皮亚诺展示出,如何在一个平面中,放入一条弯弯曲曲的线,使它能经过每一点而永不重复。一维直线完全塞满二维平面。所以一个平面怎么呈现二维状态,而每一点又坐落在一条直线上?不只如此,如果将平面想象成正方形,那么皮亚诺曲线将描绘出一组像瓷砖的更小方块来填满平面;在每一个小方块里,这个曲线会再描绘出类似的一组“瓷砖”,并一直重复下去。这是“自相似”的模式,而且永不终止。皮亚诺曲线无限长,但它存在于一个有限区域里。虽然在19世纪90年代时没有人知道,但存在于这“填充空间”的曲线,与描述乱流时在相空间中缠绕环圈的吸引子,确有明显的相似之处。在20世纪70年代,IBM沃森研究所(Thomas J. Watson Research Center)的本华·曼德博(Benoit Mandelbrot,1924—2010),终于将描述这种实体的语言创造出来。
 
分形与混沌之间的关联
曼德博于1924年生于华沙,他广博的学术背景,对建立全新的科学领域有莫大帮助。1936年曼德博举家迁到法国,当1944年法国被盟军收回时,他正在巴黎就读。后来他到加州理工学院与普林斯顿高等研究院深造,在1958年永久定居于美国约克镇高地(Yorktown Heights)之前,曼德博曾于1955年短暂停留巴黎。曼德博了解到,像皮亚诺曲线的这类物体,可以被描述成具有中间维度,在这个例子中,介于1与2之间;直线还是一维物体,平面还是二维物体,但正如每两个有理数中存在无穷数的数学观念,直线和平面之间应该也可以存在中间的、非整数维度的实体。如果这种实体的维度不是整数,则必然是分数。为了给它一个合适的名称,曼德博说:“我在1975年创造'分形’这个词,它来自拉丁文'fractus’,意思是碎裂、不规则的石头。” (4)  尽管如此,你也可以把它看成是同样来自拉丁文的“fractional”(碎片)的英文缩写。

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3.4 康托尔集合。根据书中描述,抹去每条线段中间三分之一的部分,你将得到一团包含无数个点但总长为0的粉末尘埃。
另外还有三种分形,在1975年之前已存在了几十年,它们被视为可怕的数学怪物。在讨论它们与混沌的关联之前,值得先了解一下。最早的(第一个被数学家发现的)分形是“康托尔集合”,1883年首先被德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845—1918)发现并因此得名。(5)  皮亚诺曲线是“试图”成为平面的一条比线更强的线;康托尔集合是“试图”成为一点的一条比线更弱的线。我们可以很容易地描述如何建构出一个康托尔集合:取一条线段,抹去中间的三分之一(注意,不要抹掉位于三分之一与三分之二处的两点),会得到长度是原三分之一长的两条线段,中间隔着相同长度的间隙。然后重复这个动作,直到所有的线段都被抹掉,就将会得到被以固定模式出现的间隙隔开的无限多的点。这就是康托尔集合,一个维度介于0(点)与1(直线)之间的分形;就像是原本线段的幻影,如同《爱丽丝梦游仙境》中那只咧着嘴大笑的柴郡猫(Cheshire cat)逐渐消失的笑脸。康托尔集合虽然很简单(看起来还挺单调),对于混沌却具有相当关键的重要性。首先,康托尔集合是由递归(反馈)产生的;如我们先前所见,这是混沌的关键。其次,它是自相似的。从递归的第二个步骤开始(那时有四条线段),每一步骤中康托尔集合都由两份先前的版本构成,尺寸是原来的三分之一。还有一件事也与康托尔集合有关。回头看看代表经由周期加倍通往混沌的分歧图,就在混沌发生时(有时称之为费根鲍姆点,也就是在分歧之间,不断缩减的间隙所达的极限),在混沌出现前的最后一步,分歧树形图的所有分支端点形成康托尔集合,这就暗示(或者应该说明示)分形与混沌之间存在着深层的关联。
 
第一个在人类科技中出现的混沌例子
康托尔集合在分形发展史上占有重要地位,并促成曼德博的功成名就。曼德博对所有在时空中变化的现象与模式都极感兴趣,包括文句中字的分布、国家里大小城市的分布,以及股市的起伏。他进入IBM担任研究员不久,就为公司解决了一个具有现实重要性的问题。和现在一样,当时计算机中的信息要靠电话线传输,而那些可能毁掉极重要数据的偶发噪声,总是让负责相关业务的工程师相当困扰。我们在打电话时,噪声并不是什么大问题,只要说得大声一点或是再说一遍就好了。但在早期数据传送的过程中,噪声却会造成大灾难。(6)  通常工程师的第一个反应是增加信号强度以盖过噪声,但偶尔还是会出现一阵猛烈的噪声,随机毁掉部分数据。
奇怪的是,这种噪声虽然是随机且无法预测的,但它似乎一阵阵地发生;可能在很长一段时间内传输完全没问题,接着无预警地出现一段段猛然爆发的噪声。当曼德博检视这个问题时,他发觉噪声出现的模式是自相似的;在安静的时段没有任何噪声,但在有噪声的时段中,总是存在一些较短的安静时段以及爆发噪声的更短时段。在较短的有噪声时段中,曼德博观察到整个模式无止境地重复。他还发现,不论以何种尺度检视,安静时段与嘈杂时段长度的比例都是固定的。事实上,传输系统中出现噪声的分布,与康托尔集合上的点是一致的。这个发现对IBM的工程师相当有价值。他表示,既然噪声总是存在,无须浪费资金加强信号,应该专注于找出错误,然后重复传送信息的技巧。他也说不必浪费时间寻找造成噪声的物理原因(比如说电话线被树枝钩住),因为它们本质上是随机发生的,应该把精力放在更有建设性的工作上(包括追踪不符合模式的噪声来源,因为它们可能由某种物理原因造成)。曼德博找到了第一个在人类科技中出现的混沌例子,并在一开始就将它与分形连接在一起,虽然当时混沌与分形这两个名词还未正式出现。
在创作这本书时,有个地方新闻吸引了我的注意力;当初吸引曼德博研究混沌的相似情形,似乎发生于邻近村庄,村民抱怨过去一年停电好几次。电力公司则对每一次停电都有完全合理的解释,一次是因为鸟飞进高架电线,一次是因为强风把树吹倒在电线上,还有一次是因为闪电……但村民还是深信电力系统本身有问题。现在混沌理论告诉我们,这一连串的区域性灾难,必然会发生于电力网络上。但它无法告诉我们何时何处发生,只能给受害群众一些小小的安慰。
 
DNA食谱
随机过程、混沌和分形之间的关联,还可以借助另外一个数学怪物看得更仔细,这个怪物叫“谢尔宾斯基三角形”(Sierpinski triangle),是由波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基(Waclaw Sierpinski, 1882—1969)在1916年创造出来的。要做出一个谢尔宾斯基三角形,只需遵循简单的重复指令:先在纸上画出涂黑的正三角形(或者在计算机显示器上;严格说来,不一定要正三角形,但这样会看得更清楚);接着将三个边的中点连接起来,得到一个在原三角形内上下颠倒的三角形;将中间的三角形抹掉,得到一个被三个黑色三角形包围的倒立白三角形。你可以猜到下一步——对这三个比较小的黑三角形分别重复上面的过程,然后再以同样的方式处理更小的九个黑三角形,再一直做下去(原则上,永远不停止)。结果就是所谓的谢尔宾斯基三角形,它显然是自相似的,同时也是分形的,维度在1与2之间(我们马上会解释如何测定分形维度)。

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3.5 谢尔宾斯基三角形。
如果你很有耐心,还有一个也很简单的方法可以做出谢尔宾斯基三角形。只要拿支铅笔在纸上画出正三角形的三个顶点,然后拿一个能让你从1、2、3中随机选出一个数的公平骰子;因为骰子有六面,所以可以把4当成1、5当成2、6当成3。将三个点分别标示为1、2、3,再任意选一点当起始点,然后开始掷骰子。如果出现的是1或4,在起始点与1之间的中点标示一个新点;如果出现的是2或5,将新点标示于起始点与2中间;如果出现3或6,则标示在起始点与3的中间。将新标示的点当成新的起始点,再掷骰子重复这个动作,重复重复再重复……
慢慢地,这些标示出来的点会在纸上构成谢尔宾斯基三角形的形状。经由重复的随机过程,一个非常简单的规则建造出了分形图案。谢尔宾斯基三角形正是这特殊程序的吸引子,因为起始的位置,刚开始的几点并不在三角形上,但接下来将会被吸引至三角形上。它们被分形吸引,就吕埃勒和塔肯斯的术语而言,这是一个“奇异吸引子”,它们是比三角形或橡皮筋这些我们日常生活中常见的形体还要怪异的分形。除了刚开始的一些点,无论从何处开始,都会得到谢尔宾斯基三角形。如果想试着玩这个游戏(它们常被称为混沌游戏,许多有趣的图案可借由类似、简单、重复的规则造出),有两点要小心。首先要有耐心。因为大约要花上几百个步骤,才可能看出谢尔宾斯基三角形。其次要注意随机性。除非你是个不错的程序员能够保证所使用的是真正的随机数,否则不要尝试用计算机。计算机中的随机数生成器不一定会产生真正的随机数,不过你如果够厉害是有办法解决这个问题的。

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3.6a 利用混沌游戏建构谢尔宾斯基三角形的前六个步骤。

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3.6b 执行100、500、1000、10000个步骤后的谢尔宾斯基三角形。

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3.7 另一种混沌游戏,能产生类似羊齿草的分形图案(维度为1.8)。
还有其他混沌游戏也都利用在纸上标示点的方式(或在计算机显示器上,如果你有把握用的数都是随机的),配合类似简单的规则,以随机的方式重复,可以产生出令人惊讶的图案,像是羊齿草或树。对于相关的数学问题有兴趣的读者,可以参考海因茨·奥托·佩特根(Heinz-Otto Peitgen)、哈特穆斯·于尔根斯(Hartmut Jürgens)和迪特马尔·绍柏(Dietmar Saupe)合著的《混沌与分形》(Chaos and Fractals)。没有人说这正是生物发展成复杂形态的方式,但对我们而言的意义是,那些看似复杂的系统,可以借助重复运用一个简单的规则来产生或描述。生物细胞DNA中所储存的遗传信息,常被视为建造个体的“蓝图”,但这个比喻不是很恰当。真正的蓝图应该很复杂,它刻画着生物系统中的所有细节以及彼此连接的方式。比如蛋糕食谱,它不告诉你蛋糕完成时的模样(更不用说是做好的蛋糕上每个葡萄干的位置了),只告诉你“混合以下几种材料,再用若干温度,烘烤若干时间”;这种食谱就像是混沌游戏中的一道步骤。很难想象人类、松树或任何物种细胞的DNA,如何正确地包含了这个物种最终成熟形体的蓝图。但不难看出,DNA或许包含了像是“将数量倍增,执行n次,再分成两部分并对每一部分重复运行”这样简单的指令。在混沌游戏中,使用比这稍微复杂一点的指令,就可以借助重复操作来造出羊齿草的复杂结构。如果在运用如此简单规则的条件下,存在羊齿草形状的吸引子,对于某些植物真的长成这般模样就无须吃惊了,因为它们只需要被设计成类似谢尔宾斯基三角形中所使用的骰子指令就够了。只需一些随机性与简单的递归规则,就可以创造出所有的复杂度。
 
无限长的海岸线
在我们更进一步检视复杂世界的特质之前,还要讨论关于分形与吸引子的一些性质——你们一定会好奇如何度量一个分形的维度。要明白分形维度最简单的方式,是借助出现于19世纪末20世纪初的最后一个数学怪物,也是我们即将讨论的主角——科赫曲线(Koch curve)。姑且不论科赫曲线本身的值得研究之处,它不仅是吸引曼德博在20世纪60年代研究分形的重要动力,而且就暗喻的语法而言,它也与之前介绍过的理查德森的天气预测相“契合”。然而,关于科赫曲线最有趣的一点是,虽然它的确是条曲线,但要说它与任何东西契合则只是个比方,因为它并不与任何事物契合;说得直白一点,它完全由棱角构成。
这条曲线是由瑞典数学家科赫(Helge von Koch,1870—1924)发现,或说发明的,首见于他1904年的一篇论文中。我们不难看出科赫曲线是怎样造出的:首先选一条线段,将它等分为三份,利用中间一段造一个正三角形(这回必须是正的),然后抹去三角形的底线。现在得到四个等长线段,即两端由原先线段留下的水平线段,以及中央反V字形突起的线段,也就是科赫曲线的基本起始形状[反V字形的线段很合理地被称为“产生器”(generator)]。接着对四条线段重复上述过程——分成三份,在中央建立正三角形,将三角形底线抹掉。永无止境地重复这个步骤,就会得到由无限小的V形棱角所构成的科赫曲线。它的长度也是无限的,尽管它的两个端点和原来直线线段的端点相同,只是在中间的部分做了一点延伸。

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3.8 科赫曲线。英国或挪威那样的崎岖海岸线,都具有类似这种曲线的分形结构。

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3.9 科赫雪花。
如果稍微变化一下,在产生器的阶段,可以取三个产生器(当然是相同大小)置于一个等边三角形的三边上,就会得到六个顶点的“大卫之星”(Star of David)。经过几次重复运作,这条细细的曲线看起来像朵雪花,因此这种构造也被称为“科赫雪花”(Koch snowflake)。但随着重复次数增加,这条曲线看来就像是个曲折的海岸线,因此这个特殊分形的极限状态也被称为“科赫岛屿”(Koch island)。虽然“科赫岛屿”可以被一个接触大卫之星六个顶点的圆所包纳,但它的“海岸线”却是无限长的。
那么,实际的海岸线是分形吗?科赫岛屿和真正岛屿的差别仅仅只是模拟?正是这类问题,引燃了曼德博对分形研究的热情,而根据他自己的说法 (7)  ,当他读到一篇理查德森鲜为人知的论文,其中提到的气象学家对介于西班牙与葡萄牙之间,以及比利时与荷兰之间疆界长度的疑惑,燃起他研究的火苗。理查德森注意到各家对同一疆界长度的判断,约有两成的出入变化。差异的原因来自于对这种曲折线测量时所用的尺度。虽然疆界中可能有直线,但多半时候它依循像是河流与山脉这些地形的天然特性。这种测量可以用经纬仪和一般测量设备,将测量点分隔100米,得出一系列长100米的蜿蜒穿过乡村的线段。如果你以步行方式一步步地测量,将会在这些点之间左右摇摆而得到一条更长的边界长度。如果推着计数轮,以轮子旋转的圈数计算边界长度,会得到更大的值,因为将会测量到步行时略过的较小曲折。如果拿一条很长的绳子,仔细地将它覆盖于边界之上,将得到更长的边界长度,诸如此类。重点是在任何尺度下(至少达到原子的尺度之前),边界原则上都是不规则的,所以所用的尺度越小,看到的曲折越多,测得的结果也越长。
 
分形维度
曼德博将这些概念扩展于一篇题为《不列颠海岸线有多长?》(How Long Is the Coast of Britain?)的论文中,发表于1967年的《科学》(Science)期刊上。测量岛屿的海岸线长度有个优点,它是天然形成的,不像人为界定的边界常常出现类似美国各州州界间的直线。曼德博在论文中提出了对这个问题的解答,也就是海岸线长度取决于测量尺度,如果用的尺度够小,测得的长度将趋近无限(只是“趋近”无限,因为当尺度小到原子的层次,这些东西都不管用)。虽然这不是曼德博接下来命名为分形的东西,但不列颠的海岸线与分形相似,它的维度介于1与2之间。
如何测量分形维度呢?科赫曲线给了个暗示——自相似。如果任意取四个线段其中之一,并将其数量变成三倍(“比例”为3),将会得到一条与原来相同的科赫曲线。但光是自相似并不表示能将一个物体转换成分形。普通立方体是自相似的,如果从立方体中切出一小块立方体再以适当比例放大,它会和原来的立方体一样。这对任何较小的立方体都成立。在日常生活中的许多物体,例如立方体,都可显示自相似。但对分形而言,这只有在特定的尺度才会发生;就科赫曲线而言,必须从原版取出四分之一再放大三倍以复制出原版。为了让这个区别更明显,我们将系数三应用在一些日常物体上。如果拿一条线段,取其三分之一再放大三倍,将得到和原先一样的线段。放大尺度和缩减比例一样,所以直线的维度为1,除以三再放大三倍。如果拿一块正方形,将每一边等分为三份,将得到9个小方块,所以必须用原来方块的九分之一放大三倍,以得到原来的形状;分成九份再放大三倍,9=32 ,所以方格的维度为2。对于立方体,如果将每边等分三份,将得到27个小立方体,选一个放大三倍可以得到原来的形状;因为27=33 ,这表示立方体的维度为3,分成27份再放大三倍。
再看看科赫曲线,这回我们将长度分为四份再放大三倍。我们知道31 =3,32 =9,但3的多少次方会等于4?如果3n =4,则n值是多少?用计算器检验结果,在小数点后取四位数的答案是1.2619。因此科赫曲线的维度是1.2619,正如我们所预测的,介于1和2之间,但比较接近直线而非平面。同样的道理可以应用于计算其他分形的维度,甚至接近分形的东西,例如不列颠的海岸线维度为1.3,这使它看来比科赫曲线更不像直线。(8)  
 
曼德博集合
分形本身就很迷人,曼德博赖以成名的发现是一组以他的名字命名、由简单数学式子递归建立的分形结构。与我们刚才讨论的集合与分形的主要差别在于,它们用到了数学中的复数,也就是涉及-1平方根的数。复数的特别之处在于它们从某种程度上说是二维的,而日常生活中的数字是一维的。例如指定某一点在线上移动的位置只需要一个普通数字,而要指定某一点在复变平面上的位置(以它和平面上两边的距离表示)则至少要用一个复数。这其中存在两项信息。产生曼德博集合的递归程序用的数学式子是(Z2 +C),其中Z是一个复变量,C是一个复常数。和往常一样,我们给Z定一个值,代入式子,计算出结果并用它当成Z值进行下一轮计算。当这些Z值在复变平面上被画出时,会显现出分形模式。即使你对复数没有太多了解,也能体会出这是个相当简单(但非线性)的过程,与先前讨论过的逻辑斯谛方程式类似。但产生出的分形可能是人类研究中最复杂的东西。它不只复杂,还很漂亮,因此许多集合的局部被放大制作成经典的海报,还有些书里就全都是这类图案。但那和本书接下来探索的方向完全相反,我们希望触及内部的数学世界,而非外在的生命世界。对曼德博集合,我们唯一要再次强调的是,极度复杂的物体可用非常简单的式子以递归方式产生。从这个角度看,它是人类研究过的最简单的东西。然而,我们也将看出,从这个角度出发,其他任何东西都很简单。
这里要讨论的问题关键在于,复杂是如何从简洁中产生的?这个问题以及混沌与分形的关联,可以从我们的老朋友逻辑斯谛方程式中找到答案。我们可以动一些手脚,以拓扑学的角度解释其效应。逻辑斯谛方程式(或是我们讨论过的递归程序)将一组数字转换为另一组。如果原先的数字代表平面、球面,或任何表面上的点,它们将会被一一转换为平面、球面,或任何表面上另外一处的点。我们对这种过程太熟悉了,以至于很少有人思考它究竟是怎么一回事。这就是所谓的“映射”(mapping)。实用的城市街道图或研究用的地理图,并不会复制真实世界中的每一点,但本质上街道图具体而微地忠实呈现出城镇里的街道,只不过将尺寸缩到一张纸上。原则上,一个地球仪也可忠实地、毫无扭曲地被当成地球的地图。不过地图可以既忠实又扭曲。伦敦地铁图是个很好的例子,其中有许多点代表各个车站,线代表所有路线,这个图保存了所有点与线之间的相对关系,但它被做了一些扭曲以方便阅读。
某种程度上,地铁图的扭曲出自于自由选择,你也可以呈现每个曲折而得到更真实的地铁图。但将世界画在一张平面纸上一定会发生扭曲,这就是为什么以“墨卡托投影法”(Mercator projection)和比较普遍的“彼得斯投影法”(Peters projection)(解决同一问题的两种不同方法)画出的各大陆形状不完全一样,而它们也都和地表上的大陆不尽相同。但在两种情况下,地球上的每一点都可对应到地图上的一点。墨卡托投影其实也可被视为彼得斯投影的地图,反之亦然,本质上无所谓好与不好。
逻辑斯谛方程式描述的程序也是一种映射。我们可以利用一组直线上的数字来看它的作用。复习一下,方程式将x的值转换为新值用的是:
x =Bx(1-x)
加上重新正规化的条件使得x值介于0与1之间。你可以让初始值代表一条直线,像是一把单位长的标尺。为了简化问题,我们就指定B=3好了,然后看看这条线如何被逻辑斯谛方程式转换,也就是它们被转换后的形状。
我们可以用直尺上相隔十分之一单位的点纳入运算,并观察映射结果。显然,当x=0时,这个点映射到0。当x=0.1时,x =3×0.1×(1-0.1)=0.27;0.1映射到0.27。同样,x=0.2时,这个点映射到0.48,0.3映射到0.63,0.4映射到0.72,0.5映射到0.75。从0到0.5这半条线段被拉长,并覆盖了从0到0.75这段直线,显示出无限的另一种奇特面貌。在每条线上有无限多的点,两条线段的点存在1:1的对应关系,但它们的长度可能不同。
而在0.5与1之间,情况恰好逆转:0.6映射到0.72,0.7映射到0.63,0.8映射到0.48,0.9映射到0.27。因为1-1=0,所以x=1时映射到0。这半条线段不但被拉长,还回过头去覆盖在先前半条线段映射的位置。这一线段上产生了拓扑转换,包括拉长与折叠,所以尽管新线段比原先的长了50%,因为折叠的关系,它只用到原先75%的长度。当我们明白像是y=x2 这个代数式子可以用纸上的一条直线或者空间中的轨迹——例如拋物线——来表示,便可体会拓扑学与代数之间的深刻关联。但要注意的是,我们对发生拓扑转换感兴趣的地方在相空间内,而不在真实空间。
 
触发混沌的拓扑学概念
如果不用抽象的数学线,而用物理式的思考,这种由逻辑斯谛方程式所描述的拉长折叠的过程,有点像将一根铁条弯出一个马蹄形状,因此也被称为“马蹄转换”(Horseshoe transformation);虽然“转折”应是180度的急转,不像真实马蹄铁上的圆弧曲线。但为什么在一次转换后就停下来呢?我们知道要由简单规则创造出复杂形状的方法就是重复,所以再次对“马蹄铁”重复整个过程,再对转换过的“马蹄铁”进行转换……直到永远。这个过程有点像面包师父揉面团,先把它拉长,折叠回去,用拳头敲平,再拉再折地重复,所以它也被称为“面包师转换”(Baker transformation)。不论你喜欢用什么名称,对于混沌的研究,非常幸运的是,当像梅这样的学者在20世纪70年代开始研究经由周期加倍到达混沌的途径时,关于马蹄铁转换的拓扑性质,已经被才华横溢的理论家斯梅尔研究过了。斯梅尔当初的研究只是出于对拓扑学的兴趣;前面提到,他后来经由约克的介绍而接触混沌。我们无须再钻研其中的数学问题,他已替我们做好了。然而,在相空间中不断进行马蹄铁转换的简明物理图像背后,有着坚实的数学基础,并给出了对这个过程的洞见。

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3.10 斯梅尔的马蹄铁,产生自面包师转换(见本文)。无限地重复这种折叠拉长过程创造出多层次的结构,层次间以类似康托尔集合中的点被分隔。
将原来的线段当成相空间的吸引子,再试图想象重复马蹄铁转换的效应。在每一步骤中,线被拉长,但因为它被折回,所需的“水平”空间反而较少。第一步完成后,会得到弯曲一次的两条重叠线段(但它们没有高度,因为线段并无宽度),下一次会产生四层与三个弯曲,再下一次则有八层与七个弯曲,以此类推。每操作一次,层数会加倍,弯曲数目则是前一次的两倍再加一。你将得到一条永无止境的曲折线条(但这些曲折很整齐,每一弯曲中的弯曲都形成自相似的集合),由无限多层线段相叠,但在平面与水平方向都没有长度;在这无数层的结构中取截面,你将发现这些点的分布状态与康托尔集合类似。但在两层之间相邻的点从何而来?基于拉长折叠的过程,原先线段上相距很短的两点,可能在最终集合里相距甚远,而原先相距很远的两点最终可能很接近。如果系统状态沿着原先线段向一个方向平缓运动,经过每一个转折点,它看起来将是以随机方式在康托尔集合中跳跃。这正是由周期加倍触发混沌的拓扑学概念。
类似千层糕的无限层次,在罗伦兹吸引子中也可见到。如图2.3,在相空间中以线条表现出的罗伦兹吸引子,似乎在自身交会许多次——其实是无限多次。但真实的情况是,在相空间中每次交会时,轨迹“运行”于不同层次的相空间,也就是不同的平面上。一个有助于我们想象这种情况的方法是,假设有一本有无穷多页的书,每一页都无限薄。将之从中间摊开,在左页画上罗伦兹吸引子的一个“翅膀”,在右页画上另一个,书中每一页都存在一些环绕“翅膀”的循环。但每一次相空间吸引子的轨迹跨过书本中央到另一侧,是移到另外一页。虽然在无数处发生重叠,但代表吸引子的线绝不相交。
在马蹄铁与罗伦兹吸引子的例子中,有限大小的相空间中存在着无穷层次的相空间。两种吸引子都是分形——它们是奇异吸引子。这只是开端。如果一开始时使用的不是相空间中的直线,而是缠绕于相空间中圆环表面的吸引子,将会得到更复杂的分形混沌图像,但它仍是由简单规则产生出来的。终于,我们得到了真实世界中产生复杂结构之下的简洁知识,可以开始运用它们进入复杂度更高的层次,以了解生命的起源。接下来还有好几个步骤,但为了引起你的兴趣,在这里先提示一下,这些知识不只是和生命有关,而是与人类生命有着特别的联系。
 
我们体内的分形
回想我们先前计算科赫曲线的分形维度时,在比例法则中所使用的乘方或指数。这种关系称为幂定律——3的2次方是32 3的3次方是33 ,等等——我们必须将3的指数定为1.2619以得到4,也就是构成曲线基本单位的数字。简单如物体的体积也遵循幂定律。如果你有一个立方体,每边长度为l,无论l的值为何,它的体积与l3 成正比;如果你有个半径为r的球,无论r值为何,它的体积与r3 成正比。体积或尺寸遵循指数为3的幂定律。在20世纪80年代中期,研究人员探索不同大小动物新陈代谢速率时发现一件有趣的事情,虽然这些新陈代谢速率也遵循幂定律,但其指数并不是单从体积考虑所得出的3。他们对多种哺乳动物,包括老鼠、狗、马和人的新陈代谢速率与质量做比较。动物身体的质量与体积成正比,不难预测质量越大新陈代谢速率越快,因为身体有很多地方需要消耗食物放出能量。虽然质量增长遵循指数3的幂定律,但相对应的新陈代谢速率遵循幂定律的指数是2.25。由这个角度而言,它们显现出的性质并不像三维的体积的性质,而像是介于三维体积与二维平面之间的某种东西——特别像个完全被压皱的分形表面。数学家(至少对拓扑学家而言)会毫不犹豫地认定,这样的幂定律背后必然涉及有限体积内被压皱的分形表面。
仔细检视生物体之后,我们发觉生命系统中有许多特征看起来像分形。比方说动脉和静脉分布的形态本质上就是分形,这使得血液能够到达身体的每一处,同时避免动、静脉本身占据太多空间而使其他器官无容身之地。这种现象在肾脏中表现得特别明显,肾动脉与肾静脉以非常复杂的方式交织以交换液体。肾脏本身是有限的三维物体,而其中血管的长度趋近真正分形的无限。
当然,这个模拟在极致条件下不再成立。人类肾脏中的系统并不会无限分化,而只是很多次;从另一个方向看,我们也看不到肾脏包含于超级肾脏这样的递归,而是每个系统自成一格。虽然如此,但许多生命系统与分形的关系并不仅是模拟,比方说它也解释了为什么肺部中的二维表面能够大到允许氧气与二氧化碳快速交换,以支持生命体存活,尽管它们只占据了很小的空间。近似分形的自相似是生物组织的普遍特质,这也是体内工作能被有效率地执行的原因。先前也提到,制造出一个这样的系统所需DNA的生命编码可以非常简单,尤其是与想象中要构成肾脏这么复杂结构的确切蓝图所需信息相比较。正是潜藏于分形结构之下的简单规则,使得生物可以变得非常复杂,来适应世界的变迁以进行演化。
根据我们讨论过的,你可以有一个非常无趣的简单系统,像是周期为一的水龙头滴水;你也可以有很复杂的系统,本质上充满了随机振荡,不存在秩序而且结构也被破坏。但在两者之间,从简单的一侧看起,复杂度逐渐增加。从周期为一的水龙头滴水开始,产生越来越有趣的现象直到混沌突然介入。因此宇宙中最复杂、最有趣的事情发生于秩序即将破灭、混沌正要开始的一刻。正是在这个范畴内,我们发现水龙头以奇妙的节奏滴水,漩涡中的漩涡以令人惊讶的模式旋转,以及有着惊人复杂度的肾脏,或是一再折叠、类似分形的人类大脑皮质。我们已经看过秩序,也看过混沌,接着要探讨复杂的混沌边际。
(1)  有趣的是,写完这段,我在大雨后外出买东西。当我在五金店排队时,发觉窗外排水管漏出水滴,我可以清楚地看到四滴一组的水珠往下落,而且听到它们撞在人行道上一点不差地发出“滴滴咚嗒”的节奏。
(2)  费根鲍姆常数事实上像π与其他常数一样,都是无理数。稍准确一点,可写成4.6692016090。
(3)  一年之后,大卫·希尔伯特(David Hilbert, 1862—1943)也得出相同发现。
(4)  详见《新科学家的混沌手册》中的文章。
(5)  其实早在1875年,聪明但不爱曝光的都柏林数学家亨利·史密斯(Henry Smith, 1826—1883)就已经发现这个集合,但康托并不知道。因为史密斯已死,他的发现几乎无人知晓,所以康托的名字得以冠在这类集合上。
(6)  这类问题在使用数字传输时已被克服,但当时用的是模拟信号。
(7)  引自格雷克的《混沌》。
(8)  有一些度量分形维度的不同方法,可以提供稍微不同的“答案”,因此你可能在别处看到稍微不同的数值。但我们在此无意讨论细节,这个问题交给数学家处理。重点在于的确存在一种相当明显的方式可以度量分形维度。
 
 第四章  混沌的边际
平衡本身没有太大意思,因为什么都没发生。但事物如何趋于平衡,就是个很有意思的问题。一个生物体最接近平衡状态的时刻是死亡。相较之下,“某物种是死的”比“它是如何死的”无趣多了,而这正是侦探小说或神秘谋杀故事之所以畅销的先决条件。
从某种程度上来看,古典热力学假定时间并不存在,系统被描述成在无限时间内,因无限小的改变而由一个状态改变到另一个。古典热力学也假设系统中不存在流动的能量,特别是热。但如我们先前在经由热扩散将氢与硫化氢分离的例子中所见,能量在系统中流动时会产生有趣的现象。尸体中没有显著的能量流动,但在你的身体里却有大量能量流动——食物经由新陈代谢产生的化学能量,供给肌肉及其他身体活动所需,最终以热的形式耗散掉。能量耗散是非平衡热力学的基本特质,我们能够以耗散的过程描述能量流动。它们也被称为开放系统,因为(不像19世纪热力学先驱所热爱的封闭气体盒子模型)它们并不与外在世界隔绝。在封闭系统中,我们发现时间倒转与庞加莱循环;在开放系统中,则遭遇到不可逆转性与时间方向性。
如第二章所述,古典热力学建立于一个矛盾之上。“动力”这个词是描述系统的改变方式的,但像熵这样的概念,却是在固定平衡的系统中计算出来的,这其中没有任何变化。平衡本身没有太大意思,因为什么都没发生。但事物如何趋于平衡,就是个很有意思的问题。一个生物体最接近平衡状态的时刻是死亡。相较之下,“某生物是死的”比“它是如何死的”无趣多了,而这正是侦探小说或神秘谋杀故事之所以畅销的先决条件。
 
耗散系统下的稳定状态
人们研究耗散过程时,很自然地应该先从接近平衡的系统与热扩散这类过程着手。如果系统接近平衡,它们通常会对外界变化产生线性反应,比方说在热扩散的过程中,我们改变一点点温度,系统就会以线性方式做微小改变。线性热力学的研究基础,是由美国布朗大学的挪威裔化学家拉斯·昂萨格(Lars Onsager, 1903—1976)在20世纪30年代早期(他在1933年转到耶鲁大学)所奠定的。他最大的贡献是发现了现今所谓的“倒易关系”(reciprocal relation),并因此获得诺贝尔奖(1968年)。举例而言,在热扩散时,温度差异会造成气体混合比例差异,因此根据昂萨格的理论,要制造并保持混合比例差异,必须产生温度差异,才能引发热的流动。这种现象后来被实验证实,“倒易关系”后来也被称为热力学第二定律。
昂萨格提供给化学家一套工具,让他们能够研究耗散系统中不可逆的现象,至少对于能够使用线性规则的场合[“线性区域”(linear regime)]来说,情况是如此。而1917年出生于莫斯科的普里戈金将这组工具进行了充分运用;普里戈金12岁时随家人移民到比利时,1945年他任职于布鲁塞尔大学。如同第一章提到的,普里戈金证明了线性区域中的耗散系统并不会进入对应于最大熵值的死亡状态(像是在平衡状态下该发生的),而是进入一个以最小速率产生熵的状态,这时耗散过程会以最缓慢的速度进行。这正是在热扩散过程中,气体浓度差异稳定于某特定温度差异下的情况,而普里戈金证明,这个规律普遍适用于线性的热力学系统。在线性区域中,事物会以稳定状态存在。比如人类可以利用身体中流动的能量(与食物)保持稳定的身体状态达数年之久,虽然在这个例子中,稳定状态终究会被尚未可知的原因打破。但成年人类的稳定状态,与从受精卵开始发展的新生命所发生的剧烈变化相比,有极大差别;后者显然是非线性过程。稍后再详细讨论。
接下来的20年中,普里戈金与他在布鲁塞尔的同事(被称为“布鲁塞尔学派”)专注于试图找出描述远离平衡,也就是微小的外界改变会对系统产生重大影响的非线性领域的数学模型。直到今天,这个梦想中的目标仍遥不可及,我们距离发展出确切理论还有好长一段路。幸好我们不需要知道太多细节,也无须卷入与这项研究相关的纷争,因为其中比较重要与广为接受的观点,都可以通过简单的物理和化学系统的行为被了解。我们只需关注一个重点,就是当这种系统被非线性方程式描述时,它会反馈产生重大效应。
普里戈金在这一过程中发展了一套他自己对时间本质,以及热力学和时间方向两者关系的想法;这可能是他在专业科学领域外成名的最大原因,也是我们之所以在这里提及的唯一原因。他想解开的谜题是,像人类这样精巧生命体的秩序,是如何从混乱中产生的?这里的混乱指的不是决定式的混沌,而是古希腊人的概念,例如当宇宙初生时气体的平均分布。但我们不会进一步钻研他这方面的研究,因为大多数物理学家觉得这是条死胡同,尤其是已经有很自然的方式可以解释宇宙中时间为何有箭头,特别是我们马上要讨论的:像人类这样有秩序的系统,如何能够从宇宙大爆炸之后几乎单调无序的状态中产生出来?
 
贝纳德的六角形对流胞
了解远离平衡、在非线性领域中的开放系统如何产生有趣现象的最佳起点,便是由法国科学家亨利·贝纳德(Henri Bénard,1874—1939)在1900年首次描述的一种现象。因为这种现象后来也被英国物理学家瑞利(Lord Rayleigh,1842—1919)研究,所以它被称为“贝纳德不稳定性”(Bénard instability)或是“瑞利-贝纳德不稳定性”(Rayleigh-Bénard instability)。一探究竟的最佳方法,是在平底锅中倒入一层薄薄的硅树脂油,在精密的控制条件下由锅底加热再观察其变化。油层厚度必须是一毫米左右,而且加热必须完全均匀。这个实验在厨房里就可以进行,但我们不建议任何人试图以这种方式加热一层薄油,类似的现象有时可以在用慢火将浓汤加热至沸腾的过程中看到。实验的重点在于,我们不想将油加热得太快,使得沸腾变得混乱无章。我们感兴趣的是混沌产生之前一刹那的现象。因为油是透明的,为了方便观察,我们通常在油里撒一些铝粉(煮汤时可千万别这么做)。
发生的现象当然就是对流。底层较热的液体扩张,密度变小,然后会向上穿越较冷、密度较高的油。如果加热不均匀,就没有什么问题,油会从最热的地方上升,在另一处下沉,流回最热点,从而构成一个对流胞。但在均匀加热的条件下,这种现象找不出特定的发生地点,液体底层存在一致的对称,所有液体同时都想要上升。一开始什么都没发生,但当上层保持冷却,而下层温度持续上升(温度梯度变得更陡)以至到达某个临界点时,平衡就被打破,均匀的液体表面会突然分裂成一组由六边形构成的对流胞。发生点取决于液体底部和顶端的温差,即温度梯度;而所形成的对流胞的表面大小,与油的厚度成比例。在每个对流胞中,热的液体由中央上升,流到边际,再从邻近对流胞处下沉。因为液体表面与空气接触,表面产生了张力,这使得表层向外扩散的液体会在对流胞中央形成酒窝似的效应,所以虽然液体由中央升起,但它的高度却比周边低一些。瑞利研究的情况有些许不同,他将两片板子中间灌入一层薄薄的液体,热的板子在下,冷的板子在上。因为此时不需考虑表面张力,其中所涉及的物理与数学知识都更简单,然而其所显现出的行为模式却将瑞利-贝纳德不稳定性与决定式混沌的发生,巧妙地连接在了一起。

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4.1 瑞利版本的贝纳德对流,形成一卷卷大致成方形的对流(像被压扁的瑞士卷)。
在这种简化的贝纳德对流实验中,我们在达到混沌的过程中可以观察到几个步骤。当对流开始,它呈现的形态像长条腊肠,因此液体表面显现出条纹。这些“腊肠”大致等距地排列,相邻的两条分别以顺时针与逆时针方向进行对流,如果不是这样,对流就无法平顺运作。但我们事先无法预测液体中哪一点将处于顺时针或逆时针的对流中,它们最终的表现完全是随机的。在这里,系统产生了由单一状态到成对状态的分歧。当温度梯度增加 (1)  ,到达另一个临界点时,图案会突然变成所谓双模型式,这时有两组对流卷以垂直方式相互交错,产生了从上方看起来像格子衬衫的方形对流胞图案。液体组成的可能状态又再加倍,由二变为四;这是分歧作用的另一例,经由周期加倍到达混沌的变奏曲(当然瑞利对这些一无所知)。如果温度梯度(或瑞利数)够大,系统将显现出乱流形态的对流,这时会出现一些短暂的图像。但最有趣的稳定形态发生于混沌的边际,对于锅中的薄油而言,那就是因为表面张力而产生的蜂巢似的六角形图案。由于能量在这个开放系统中流动耗散,因此,它不处于稳定状态。这就是宇宙存在秩序的秘密,特别是生命的奥秘。每当你遇到秩序的存在,特别是生命的存在,你总是可以提醒自己:“记得贝纳德的六角形对流胞吗?那就是同一回事。”
 
重力场具有负能量
一个远离平衡的系统,只有在开放环境中发生能量耗散时,才会显现出有趣性质,这时必然也存在外在的能量来源。在地球上,能量最终来自太阳,了解了太阳为什么发光,我们就能明白为什么秩序从混沌中产生,以及宇宙为什么存在时间方向。
想象有一群粒子(原子、砖头或任何东西),它们散布得无限远,然后我们轻轻推一把,使它们受重力影响而相互接近。在这个过程中,每个粒子会因动能增加而移动速度变得越来越快。这个能量来自重力场,正如同你用橡皮筋两端绑住两块石头,将它们拉开再松手,在储存于橡皮筋中的能量转换为动能的同时,石块会彼此朝对方方向移动。同样,粒子彼此接近时的动能来自重力场,但重力场的起始能量为0,因此它现在拥有的动能一定小于0,也就是负能量。在这些粒子形成星球之前,星球重力场就储存了许多负能量。有多少?你听了答案或许会大吃一惊,如果真是这样,你会有不少伙伴。
我曾讲过下面这则逸闻 (2)  ,因为没有其他更好的方式可以突显我要讲的重点,而我也不该傻乎乎地以为读者都看过我先前写的书。时间拉回到20世纪40年代,那时物理学家已经意识到所谓的负效重力,但当时他们大部分都忙着参与与战争相关的工作,像美国的“曼哈顿计划”。乔治·伽莫夫(George Gamow, 1904—1968)是一名美籍俄裔物理学家,但他却被排除在机密计划之外,因为他出生于苏联。他热情洋溢,研究兴趣广泛,建立了第一个宇宙大爆炸的模型。他的战时贡献是担任位于华盛顿特区的美国海军军需处的顾问,任务是每两个星期带着一箱文件到普林斯顿给爱因斯坦过目。这些文件不算是什么机密,它们是由一些善良百姓想出来但大多不正确的想法与点子,他们认为对战事有帮助便寄给海军,海军则请爱因斯坦看一看其中有没有值得进一步研究的提议,其中包括了让大西洋结冰以阻止潜艇活动这样的建议。爱因斯坦当然可以一展去芜存菁的功夫,虽然以他在瑞士专利局工作的经验而言,他大可挑出更加高深的提议中的毛病。
有一天,当伽莫夫陪爱因斯坦从家中走到高等研究院时,他不经意地提到了他的同事量子物理学家帕斯库尔·约尔当(Pascual Jordan,1902—1980)不久前提出的一个问题。那只是约尔当想出的一个疯狂点子,通常是学者在喝咖啡闲聊或在普林斯顿散步时提出来增添气氛的那种。约尔当对所有物体进行计算后发现,如果质量集中于一点,重力场具有的负能量将是“-mc2 ”,这恰好会抵消掉它的正质能。换言之,正如伽莫夫对爱因斯坦所说,一个星球可以无中生有。“爱因斯坦停下脚步,”伽莫夫告诉我们 (3)  ,“因为我们正在过马路,好几辆车必须停下来以免把我们压扁了。”
 
“由重力引发的不稳定是信息的来源”
值得强调的是,这不仅仅是一项模拟,或是我们选择度量能量的结果,而是宇宙在重力场运作下存在负能量的基本事实:对于集中于一点的物质来说,其负能量恰好抵消它的质能。这个让爱因斯坦停在马路中央的想法,当时并未造成太大影响,但40年后它是宇宙可能以此途径无中生有的理论基石。宇宙像个带着质量能量的泡泡,同时具有等量负能量的重力场,所以整个宇宙的能量为0;这个泡泡变大,它就成了我们今日所见的经历扩张的宇宙。这些在我的书《寻找大爆炸》中有详细讨论,这里唯一的重点是,我们知道宇宙起源于均匀状态的大爆炸。大爆炸发生的细节还有待讨论,但我们可以直接观测到它发生不久后的模样。
宇宙最重要的特性是它正持续扩张。所有我们在夜空中看到的星球,都属于银河系这个碟状星系,银河系存在几千亿个星球。而银河系还只是几千亿个星系中的其中之一,星系彼此以重力为纽带聚集成群,群与群之间随宇宙扩张而远离。这种扩张是由群体间的空间本身的伸展造成的,它也可以用爱因斯坦的广义相对论详加解释(事实上,由相对论可推导出这种现象)。如果星体现在越离越远,那么很明显的,它们在过去曾经比较接近,而如果回溯得够久,所有东西都可能结成一团。运用相对论加上现在宇宙扩张的速度,我们可以算出大爆炸距离现在的时间,大约是140亿年。
天文学有个很棒的特性,便是光线在空间旅行得花费一定的时间,所以我们看到的很远的东西,那是它们在很久前的状态。例如一个离我们千万光年远的星系,当我们看到它时,光是千万年前从那里离开的。如果你将“宇宙诞生”的时间定为0然后往后算,那么我们所能利用仪器“看”到最远的过去,大约是宇宙形成30万年的纪元,那是一大片均匀分布的炙热气体(准确地说,是电浆),差不多和太阳表面温度相当,大约是6000℃。
随着它的老化以及宇宙的扩张,这个大火球的辐射逐渐冷却(正如同封闭盒子中的气体会因盒子扩张而冷却),在今天只能以微弱的无线电噪声的形式被侦测到。从天空各方向测量到的“宇宙微波背景辐射”(cosmic microwave background radiation)差异极小,这代表后来形成星球星系的炙热气体,当初在空间中的分布密度相近,但不完全均匀。在某些地方,气体的密度要比其他地方稍高一些。密度较高的地区将会经由重力吸引更多物质,从而增添宇宙的不规则性,这造成了今日我们所见的景况——物质集中于明亮星球构成的星系,以及它们之间广大的黑暗空间。
这与我们研究地球上一个盒子内的气体所得到的结论有很大差别。当盒子中气体分子彼此间的重力被忽略时,气体盒子的最大熵值,发生于气体在相同温度下均匀地散布于盒中的状态。但当气体中各分子间的重力不能被忽略时,正如同太空中大量聚集的气体与微尘,重力可将物质聚成一块,它会创造更多秩序而且同时降低熵值。如保罗·戴维斯曾说:“由重力引发的不稳定是信息的来源。” (4)  更多的信息代表更少的熵,所以它意指当信息从崩塌中的一团气体的重力场被“产生出来”时,这个重力场正一边产生负能量,一边吞噬熵。重力场的负能量使熵以这种方式被吞噬,这也解释了为什么宇宙现今并不处于热力平衡状态。
 
时间的箭头由重力决定
让我们先离开宇宙这个大题目,将焦点拉回地球生命的起源。重点在于重力扮演了制造骨牌效应的角色,不是寥寥几张骨牌,而是那种为了拼奖金、破纪录的大型骨牌阵势。一步步地,重力持续增添宇宙中的条理,直到产生出聪明到能思考这一切是如何发生的生命体出现。在此不提恒星作用的细节。 (5)  但我们可以看到,恒星及其周围环境处于热力不平衡状态。因此,我们在寒冷的空间中有一个炽热的恒星,因此能量从恒星中涌出,试图平衡内外的温度,热力的时间箭头,指向能量由恒星流出的方向,而热力学推导出的未来也和大爆炸以来产生的时间方向一致,这并非巧合,因为重力在两者间都扮演着重要角色。时间的箭头最终由重力决定。
像地球这样的行星,置身于由恒星释放出的能量流中,这使得整个行星表面形成开放、发散的系统。所有地球表面的生命都依赖这种能量,在混沌的边缘维持脱离平衡的状态。 (6)  植物以光合作用直接从阳光中取得能量,食草动物从植物中获取能量,食肉动物由其他动物身上得到能量;这些全都来自太阳,而一切都要归功于重力。然而,这些系统利用能量将自己建构成看起来复杂的形体的方法却很简单。才华洋溢的数学家艾伦·图灵(Alan Turing, 1912—1954)在半个世纪前就大胆地试图解释我们所已知的最复杂的变化——胚胎如何从单一细胞发展开来,我们从他的思维中就能清楚地看出答案。图灵的才智远超越他所属的时代,而他在这个领域的贡献,直到死后许久才被认同;但以事后之明看来,在我们所要讲述的科学发展历程中,这个时机合理地串接起了整个过程。
 
现代计算机的基础
图灵1912年6月23日生于伦敦的帕丁顿(Paddington),他是著名的密码学家,是第二次世界大战时白金汉郡布莱切利公园(Bletchley Park)中破解德国密码[包括著名的“谜团”密码(Enigmacode)]团队的灵魂人物。那时他醉心于探讨人工智能的可能性,也就是能解决任何问题的“万能计算机”(今日也被称为“图灵机”)。对探索人类智慧如何发展的兴趣,使他延伸出了关于胚胎成长的思考。要不是因为同性恋倾向(当时在英国仍是非法的)而受当局骚扰,因此在1954年6月7日42岁生日前不久,吃下沾有氰化物的苹果自杀,他的成就必然不止于此。图灵1934年毕业于剑桥的国王学院(King’s College),留校工作两年后到美国普林斯顿大学求学,并在那里获得了博士学位,他于1938年返回国王学院。他在1936年发表了一篇题为《论可计算数及其在判定问题上的应用》(On Computable Numbers)的论文,论文提出了图灵机的概念。当时图灵机纯属想象中的装置,是某种用于描绘假设性的万能计算机逻辑结构的“心智实验”。图灵在这篇论文中阐述的主要原理,后来成了现代计算机的基础。
图灵想象中的机器,是把一条很长的纸带(原则上是无限长)划分成许多小格子,格子中存着可以被读、写或涂抹掉的数字或符号。图灵心中想的是一条生活中可用铅笔写上东西的纸带,必要时,也可以用橡皮擦掉重写。今天这个创意可被看作类似录音带的磁带,甚至计算机中的硬盘,或是可供读写的晶体管的随机存取内存,它们逻辑上的作用都相同:从一个格子上读取数字,告诉机器对准带子的位置向前移或是向后移(在内存中),如何利用读取的信息算出新的数字,何时再写进一个格子里。比如,一个格子中的数字告诉机器将下面两个格子的数字加总,再将答案写入这两个格子后面的下一个格子。如果带子上的指令足够明确,机器可以处理任何计算。从一端或是特定格子开始,机器会沿着带子缓慢移动,有时向前,有时往后,根据它读到的指令(例如从“加”变到“乘”)改变内部的状态,并不断地擦去方格中的数字,同时写下新数字,最终停留在另一端,或任何特定位置,而过程中它所写下的数字,就是原来题目的答案。根据某一格子内的数字,机器总是知道如何进行下一步。图灵证明了存在某种通用机器(现在称为“通用图灵机”),能够解答所有可用符号语言表达的问题。以图灵自己的话来说,那是一台可以:
……用来取代执行特定工作的机器,也就是说,如果带子上载明适当的“指令”并被送入机器,那么它能执行各种计算。
 
对宇宙最简短的叙述,就是宇宙本身
即使当今对计算机所知有限的用户,也能明白计算机的简单原理,用储存于内存中的软件程序代替带子,计算机硬件代替图灵机,只是我们很难领会在1936年这是多么伟大的突破。图灵的论文也提出了对于了解生命与其他复杂系统相关的深奥议题。大多数情况下,图灵机的优点在于,告诉它如何执行运算的指令(算法),远比计算出的结果简洁。例如用一个相当短的算法代表π值,而不需要真正写出无限多的代表π的一串数字。在许多应用上,这个算法就是π。举个更简单的例子,我们熟知的“乘法”就是这种算法,虽然在日常生活中我们几乎不会用6×9代替54这个数字。图灵证明了某些系统无法以算法“简化”,而它们最简洁的表现方式就是它们本身——这是先前我们从另一个方向探讨混沌时遇到的关键概念。特别值得注意的是,如同我们提过的,对宇宙最简短的叙述,就是宇宙本身。
在第二次世界大战爆发前,图灵就试图建造一个能依照这些指令运作的真实机器,尽管在某些方面它还不能被视为通用计算器。图灵在布莱切利公园从事破解密码工作时,英国的一项机密计划的执行人员的确做出了第一台可被程控的电子计算机。战后数年间,图灵持续进行设计电脑的工作,他先是在国家物理实验室(National Physical Laboratory,简称NPL)工作,然后(从1948年开始)又换到在曼彻斯特大学。破解密码产生出发展计算机的原动力,这使得理查德森在有生之年可以见到他关于数据化天气预测这一梦想的实现,而这也引导罗伦兹再度发现了混沌。
 
描述生物发展的数学工具
然而图灵的视野早已更向前拓展。在1947至1948年间,他由国家物理实验室外调到了剑桥,他写了一篇从未发表的论文,探讨今日我们所谓的“类神经网络”,试图展示某个复杂的机械系统,无须借助外在控制便能够自行从经验中学习。到了1950年定居曼彻斯特时,图灵将从机械系统与电子计算机上累积的足够多的知识应用到了生物系统与人脑的研究上。他的研究兴趣从这里转移到胚胎发育上,因为图灵并不只对人脑的成长与形成感兴趣,他还对各种生物由简单形态开始发育的方式感兴趣,那是因为年轻时阅读了达西·汤普森(D’Arcy Thompson)的经典著作《生长和形态》(On Growth and Form)。在1951年因为在计算机科学上的贡献被选为英国皇家学会(Royal Society)会员时,他已经着手于生物研究了,如果不是英年早逝,他可以在这方面做出更大的科学贡献。即使是图灵,也无法凭借20世纪50年代初期人类对生物学的知识,直接推导出人脑如何形成网络链接的模型,毕竟直到1953年,剑桥大学的弗朗西斯·克里克(Francis Crick,1916—2004)与詹姆斯·沃森(James Watson,1928—)才发现了代表生命分子DNA的双螺旋结构。图灵直接研究的基本问题是:结构如何从几乎是圆形且没有任何特征的原始受精卵胞囊中产生的?从数学角度看,这种打破平衡的问题,物理学家在别的场合已经遇到过(至少贝纳德对流是这样)。某种磁性物质受热再冷却的过程,是破坏平衡很好的例子。类似铁的磁性物质可被视为一群微小的偶极子,像是小磁棒一样。当温度高于所谓的“居里点”[以1895年发现这个性质的皮埃尔·居里(Pierre Curie,1875—1906)来命名,皮埃尔·居里为居里夫人的丈夫]的临界点时,因为热能足以打破这些偶极子之间的磁性,所以它们可以任意旋转并以随机方式混合,偶极子无固定方向也就无法形成整体磁场。以磁学的术语来说,这种物质具有圆形对称,因为它没有特定的磁性方向。当温度降到居里点(760℃)之下,偶极子之间的磁力将克服打散它们的热能,而排列整齐,形成具有南北极的磁场。原先的对称被打破了,这种改变被称为“相变”(phase transition),好比水在0℃时会以相变的方式变成冰。相变的概念在粒子物理学上也有重要应用,在这里就不多介绍了。重点是,虽然这种观念在1950年之前还未被广泛地运用在生物学上,但对于当时探讨生物发展理论的数学家而言,从打破平衡的角度思考,再进一步建构描述这种转换本质的数学工具,是一件很自然的事情。
1952年,图灵发表了一篇论文,内容描述了均匀混合的不同化学物质,可能因内部扩散作用而自发地打破原先的平衡。这篇论文的标题直接点出了它和生物学的关联——《形态发生的化学基础》(The Chemical Basis of Morphogenesis)。(7)  
 
图灵扩散反应
乍看之下,图灵的提议完全和一般人的直觉背道而驰。我们会期待扩散作用将物质混合然后打破图案,而非创造出原先不存在的图案。一个鲜明的例子是,将一滴墨汁滴入一杯水中,它将扩散并最终均匀混合于整个杯子中;而图灵好像在讲一种在这种尺度下逆转热力学的过程,它将时间箭头反转,使一杯均匀混合的墨汁与水转变成一滴墨汁与一杯清水。但实际上并非如此,图灵思考的关键在于,他所描述的图案形成过程涉及两种以上互相作用的化学物质。
一切都涉及所谓“催化”的过程,某一特殊化学物质(催化剂,catalyst)会促使某一特定化学反应发生。某些情况下,混合物中某种物质(用字母A表示)的存在可以促使许多化合物的产生。这种反应被称为“自动催化”反应,因为存在越多的A,就会使更多的A被产生,可见这是正面反馈非线性运作的另一个例子。另外,也有些化学物质以相反的方式运作,也就是抑制某种化学反应;它们被称为“抑制剂”(inhibitor)。我们没有理由假设单一物质不能同时催化一种以上的化学反应。图灵计算出了混合的化学物质中可能出现的图案,催化剂A不单能促进更多的A产生,还可以产生另一种化合物B,它同时也是抑制剂,使A的产生速率降低。他的论点关键在于,一旦A与B在混合物中以不同速率产生,可能在某处A比B多,其他地方则B多于A。图灵只能用最简单的方程式计算各处的A、B的量,因为当时电子计算机数量极少,计算能力也有限,所以他必须用纸笔计算。这迫使他利用线性近似的方法模拟真实的非线性方程式,而这些方程式非常不稳定,在某处发生的一些微小计算误差会产生巨大的后续差异。因此图灵只能计算最简单的系统,但这已足以让他窥见各种可能性。图灵知道对此进行的全面性的研究有赖于数字计算机的进步,所以他将1952年那篇论文中所提出的基本概念,已尽所能地向前推进,他说明了A与B之间的竞争是如何成为图案形成的关键,因为B必须在混合物中扩散得比A快,因此虽有A经由自动催化反馈机制而急剧增长的局部现象,但B对A的抑制却是普遍的现象。另外,因为B产生后会快速扩散,这表示它并不会在生成处完全阻止A的产生。
为了得到较具体的概念,我们可以想象一下玻璃罐中静静地存在混合的化学物质。因为随机振荡,液体中某处有较高浓度的A,从而加速促使A与B在这个地方生成。大多数的B会经扩散离开这些点,并且抑制A在这些点之间的空间生成,而自动催化效应使得更多A(与B)持续在这些点生成(在原先的混合物中,某些点也会因随机振荡使B的浓度升高,但这些地方就不会发生任何有意思的反应)。假设A是红色,B是绿色,我们就会看到原先没有特征的均匀混合液体,将自行变成一罐在固定位置上产生许多红点的绿色液体混合物(只要液体不被搅动)。产生的图案将很稳定,但在这个例子中它是动态的过程,只要原料供给源源不断,新的A与B便会被不断制造出来,而制成品将被排出。用我们应该已经熟悉的术语讲,如果这是一个被维持在非平衡状态的开放耗散系统,它产生的图案可以持久稳定。图灵也讨论了在液体中借由颜色扩散产生图案变化的数学系统,对旁观者而言,这将更容易看出动态变化(如果这些系统真的可以用实验做出)。现在,A这种自动催化物质被称为“促进剂”(actuator),而B仍被称为抑制剂;图灵本人倒没有用这些名词,他称B为“毒药” (8)  。虽然这看起来与胚胎发育(更不用说人脑)有一大段距离,但图灵研究成果的精髓在于,他指出,一种化学方式可以自发地打破起始时的均衡,并形成原先不存在的图案——如果真的有某种以这一方式运作的化学系统。
 
时间的箭头不停地前后翻转
虽然图灵的想法引人入胜,他的论文也对今日的理论生物学界有极其重大的影响,但这在20世纪50至60年代并未吸引化学家与生物学家的注意,这完全是因为没有人知道任何真实化学系统会以他所描述的数学模型运作。只有一个人例外,他就是苏联的生化学家鲍里斯·贝洛索夫(Boris Belousov)。他没有读过《皇家学会哲学通讯》的文章,也并不知道图灵的研究,正如同图灵直到死也从不知道贝洛索夫的研究。在20世纪50年初期,贝洛索夫任职于苏联卫生部,他对葡萄糖在体内分解释放能量的过程感兴趣。那时他已五十出头,一般说来,这对于可能做出任何重大发现的科学家而言老了一些。他曾在军事实验室工作,关于这方面的记录不多,他在第二次世界大战结束后,退休前曾在军中拥有相当于上校的军衔,这对一名化学家而言相当罕见。与其他新陈代谢过程类似,贝洛索夫研究的葡萄糖分解依赖酵素的作用;酵素是在化学反应各步骤中,适时地扮演催化剂角色的各种不同蛋白质的组合。贝洛索夫调制了一组化学混合物,他认为它们可能模仿出这个过程中的一些特征。结果令人吃惊,他眼前的液体由透明无色转变为黄色,然后再转变回透明无色,之后有规律地重复着。这就像是他坐在一杯红酒前,看着颜色消失再重新出现,不止一次,而像变魔术般一直重复。以人们当时对热力学第二定律的了解,这是不可思议的。如果黄色代表具有更高熵值的较稳定状态,液体由透明变为黄色完全合理。而如果透明代表具有更高熵值的状态,从黄色变为透明也有道理。但两个状态不能同时具有比对方高的熵值。用19世纪当时关于热力学与时间之间关系的概念来说,这就像时间的箭头在液体中不停地前后翻转一样。
如果贝洛索夫知道前人的某些研究,他就不会那么吃惊了。从某种程度而言,这些研究成果预言了他的实验以及图灵的数学模型。1910年,擅长数学模型的美国科学家阿弗雷德·洛特卡(Alfred Lotka,1880—1949)想出了描述某种假设性化学系统的数学模型,它先制造出一种化合物,然后转而制造另一种化合物,再回头制造第一种化合物,如此反复振荡。(9)  有一个巧妙的例子可以显示,乍看之下发生于不同场合的反馈系统,通常可以用同一定律描述。20世纪30年代,意大利科学家维多·沃尔泰拉(Vito Volterra, 1860—1940)以两种鱼群数量消长的方式,完美地呈现了洛特卡方程式;当一种鱼为猎食者而另一种为猎物时,它们之间的互动会产生一种族群数量变化周期——一种数量暴增,再换成另一种,如此循环不断。早在1921年,当时任职于加州大学伯克利分校的加拿大裔化学家威廉·布雷(William Bray, 1879—1946)发现,过氧化氢与碘发生的化学反应会产生碘与氧这两种产物,而它们之间的比例会产生类似洛特卡描述的振荡情形。虽然布雷宣布他的发现引述了洛特卡的模型,但学界基本的反应是,既然这个结果违反了热力学第二定律,那么这个实验必然有问题,因此所谓的“发现”必然只是操作与读取数据时不小心的人为错误。1951年,也就是图灵发表经典论文的前一年,当贝洛索夫试图发表他的发现时,他遭遇了几乎相同的反对声,而那时洛特卡、沃尔泰拉和布雷早已不在人世。一位接到他投稿的期刊编辑说,贝洛索夫的结果违反了热力学第二定律,所以实验过程必然有误。
 
“除了在最深的羞辱中崩溃,别无选择”
从英国天文学家、物理学家亚瑟·爱丁顿(Arthur Eddington,1882—1944)所写的一段名言,我们可以看出热力学第二定律的地位差不多等同于《圣经》。他在1928年由剑桥大学出版社发行的《物理世界的本质》(The Nature of the Physical World)中写道:
我认为熵永远增加的定律,也就是热力学第二定律,在所有自然定律中具有至高无上的地位。如果有人告诉你,你最心爱的关于宇宙的理论和麦克斯韦方程组有冲突,那么麦克斯韦方程组也许不真是那么好。如果某种理论与实际观测不符,说不定这些做实验的专家们搞错了,这也是发生过的。但如果你的理论违反了热力学第二定律,我就完全帮不上忙了,除了在最深的羞辱中崩溃,别无选择。
将最后一句话中的“理论”以“实验”来替代,差不多就是贝洛索夫得到的反应;他是个糟糕的实验专家,应该“在最深的羞辱中崩溃”。我必须承认以前我在得到爱丁顿同意后曾引用过这段话,但并未解释其背景。爱丁顿心目中的第二定律在当时并非他认为的那么完善,还必须考虑到当重力介入时的非平衡情况。不过在1951年时没人了解这一点。
贝洛索夫对论文被拒绝的反应大致与我们所预期的相同,以他的年纪与背景,他为实验专业能力遭到质疑感到耻辱,既然他的研究结果受到如此对待,他决定不再从事这方面的工作。他的一位年轻同事S.E.司诺(S.E. Shnoll)试图劝他坚持下去,但没成功。几年尝试发表都遭遇了失败,贝洛索夫在1959年将他的发现写成两页摘要,偷偷地附在一篇毫不相干、前一年在莫斯科召开的放射线医学会议出现的报告中发表,然后彻底放弃了相关的工作。(10)  这次会议的论文集(不需经过同侪审查或经编辑同意)只以俄文发表,在苏联之外几乎没人读,即使在苏联本土,阅读的人也不多。但司诺对贝洛索夫的研究仍感兴趣。20世纪60年代,司诺把这个题目告诉了他的研究生阿纳托利·扎鲍廷斯基(Anatoly Zhabotinsky,1938—2008),鼓励他接下贝洛索夫的接力棒。下一代的化学家中,只有一位有兴趣继续研究贝洛索夫的两页摘要,但只要有一位就足以保存这项发现,进而引起科学界的注意。
 
“贝洛索夫-扎鲍廷斯基反应”
扎鲍廷斯基当时是莫斯科公立大学的研究生,当他知道贝洛索夫的研究时,他就对这个问题相当感兴趣,他准备自己试一试(当你的指导教授“建议”你了解某个研究问题时,想要不感兴趣也难)。他先验证了贝洛索夫所描述的现象,接着进一步变换原料,直到产生出一种颜色会从红变蓝再变回红色的混合物。由一名学生接手这个构想并非意外,因为年轻研究人员通常较资深者更不受传统束缚,而且他们比较愿意接受既有定律被打破的各种可能性(虽然大多情况下,定律都经得起挑战)。扎鲍廷斯基于1968年在布拉格的一场国际性会议中发表了这个结果,这是西方科学家首度知道后来被称为“贝洛索夫-扎鲍廷斯基反应”(Belousov-Zhabotinsky, 简称BZ反应)的有趣现象。这产生了相当大的影响,因为有许多与会者已经知道图灵的研究,但如我们之前所见,他们还不知道图灵的研究与真实化学系统能产生关联。与图灵不同,贝洛索夫得以在有生之年看到自己的研究被重视;但他于1970年去世,并没看到这种反应的重要性被全盘肯定。
不出人所料,第一位理解扎鲍廷斯基的研究并发展出一套描述这种振荡的理论模型的人是普里戈金。他曾在1952年于英国和图灵会面,那时图灵刚完成制造图案的化学反应论文。普里戈金后来在布鲁塞尔与同事勒菲弗(René Lefever)共同研究,他从图灵的研究出发,于1968年创造出了一个模型,其中两种化学物质在经过几个反应阶段后,被转变成另外两种物质,在反应过程中还会产生另外两种短暂存在的物质,这被称为“布鲁塞尔模型”(Brusselator);我们不需要探讨它的运作细节(虽然它们只比图灵制造斑点的模型复杂一点),重点是这些反应涉及反馈与非线性性质。如果我们假设这一连串反应中的产物分别是蓝色与红色,那么布鲁塞尔模型告诉我们,只要混合物被保持在远离平衡的发散状态,不断加入新物质并移走最终产物,它将规律地由红色变为蓝色然后再变回去,它不会像热力学第二定律所预测的那样停留在均匀紫色的状态。整个过程印证了普里戈金与他的伙伴早先提出的对热力学第二定律远离平衡时该如何被修正的见解。
 
有趣的情况都发生在混沌边缘
20世纪70年代,建立模型与探讨能够经由自组织自行产生出结构的真实化学系统的这两个方向,都取得了长足进步。在实验方面,化学家很快找到各种方式让颜色在化学混合物中一波波地推进;在BZ反应中,将适当调和的化学混合物置入浅碟中,将可能产生出呈同心圆或螺旋状、由内向外扩展的红、蓝色图案。接下来的几十年出现了各种不同模式的类似实验,到了20世纪90年代,化学家们终于找出了产生如图灵当初所称的“静止”(stationary)斑点图案的方法。20世纪70年代初,美国俄勒冈大学的研究团队进一步探讨BZ反应的化学细节,他们在改变整体颜色的一连串交互作用化学反应中,发现至少有30种不同的物质产生,其中也包括一些类似布鲁塞尔模型中短暂存在的中间物质。这使得他们在1974年仅用了6种化学物质,就建立出一个显现BZ反应主要过程的模型;它们在五个阶段中相互作用,其中包括最重要的自我催化作用。他们的模型与图灵模型、布鲁塞尔模型的差别在于,其他两种模型只处理标示为A、B等的虚构物质,而俄勒冈团队的模型运用的是产生真实化学反应的真实化学物质,这种类型被称为“俄勒冈模型”(Oregonator)。我们也不再探讨其中的细节,重点在于由自组织组成、看起来似乎很复杂的图案,可以借由少数简单反应达成。
不只如此,事实上我们有可能将BZ混合物设定于一致不变的状态——如果不添加任何物质,只要等久一点它终将自行稳定。这时如果加入一些反应物质,先前描述的振荡行为又会出现——系统由周期一状态转为周期二状态并出现了分歧。你可以猜到接下来发生的事。如果逐渐增加新物质同时提高“没用的产品”从系统中移出的速率,到达某个临界点时,振荡的模式将变得更复杂,显现出双重节奏,这时系统进一步分化成为由四个状态构成的周期。继续增加反应物添加速率,将出现类似滴水水龙头与其他先前提过的例子中发生的一连串周期加倍现象,周期模式将越来越不明显,系统将越过边际进入混沌(在这个例子中,实际上非常快,超过了周期四之后,一切都在一瞬间发生)。所有我们曾经描述的有趣情况,特别是自组织以及由一致状态的系统中自发产生的模式,都发生在混沌边缘。这一切都如同先前讨论过的例子,可以用相空间、极限循环以及吸引子的语言解释。甚至有证据显示,在相空间中存在的奇妙吸引子及其轨迹,可以描述BZ反应的演化。(11)  虽然我们乐于看到这一切都与主题有关,但我们似乎偏离了图灵希望从成长胚胎中发展出图案与形状的胚胎学角度,进而离深入了解新陈代谢的议题越来越远。其实不然。虽然他的想法还有待验证是否真能够对胚胎发育的研究做出重大贡献(许多相关研究正在进行),但在一个特定领域中,它们显然非常成功。
 
动物外表图案的产生
图灵式机制成功地解释了涉及哺乳动物皮毛上斑点与条纹之类标记的形成方式,它也可以被用来解释其他动物身体表面图案的形成原因。詹姆斯·莫瑞(James Murray,1931—)对于这项研究的贡献很大,他原先执教于牛津大学,后来转至西雅图的华盛顿大学。他将许多研究发现总结在一篇名为《豹的斑点怎么来的》(How the Leopard Gets Its Spot)的通俗文章中,这篇文章发表于1988年的《科学美国人》(Scientif i c American)的杂志上 (12)  ;至于比较详尽且涉及技术性细节的描述,可以参阅他的著作《数学生物学》(Mathematical Biology)这本书。莫瑞发现,不仅豹的斑点、斑马的条纹、长颈鹿的块状图案,甚至老鼠或大象身上看不出的图案等,都可以用一个简单的过程解释,这个过程涉及胚胎在成长早期一个关键阶段中,促进与抑制化学物质在胚胎表面的扩散。没有人能证明这就是动物外表图案形成的方式,但如果以这种方式解释,形成的图案就是我们所见的那样。这一想法十分吸引人,倒不只是因为它很简单。一方面,当把DNA视为储存建造个体指令的数据库时,储存“在这个阶段释放出这两种化学物质”所需的空间,要少于(利用计算机的模拟将占用更少的内存)字面蓝图描述每一斑点与条纹在成熟个体上的确切位置所需的空间。另一方面,让一种机制描述为何各种不同动物有不同的图案,以及为什么有些动物外表没有图案,比起每一种动物外表图案的产生有不同的解释说法来得更简洁。由图灵首创并由莫瑞与他同时代科学家所倡议的简单机制,终于对人们了解进化机制提供了重要帮助。在科学世界里,对某一问题最简单的答案并不见得就是对的,这个原则被称为“奥卡姆的剃刀”(Ockham’s Razor) (13)  ,它在大多数的情况下是值得信赖的经验法则;但在没有其他足够理由的情况下,我们当然应该选择最简单的答案。对于目前讨论的议题,图灵式的过程提供了解开这个谜题最简单的答案。
我们在哺乳动物表面所见到的图案,不是由皮肤的颜色造成的,就是由特定皮肤区域长出的毛发颜色造成的。无论哪一种方式,在皮肤中必然存在某种决定颜色的物质。造成图案的颜色出人意料得少——黑、白、棕,以及一系列橘黄色——这差不多就是在一只杂色猫身上能找到的颜色。颜色取决于皮肤细胞是否能产生出两种色素,颜色的深浅由每一种色素的多寡决定——真黑素(eumelanin)制造出棕黑色,棕黑素(phaeomelanin)显现出橘黄色(若是两种色素都不存在,毛发或皮肤将呈现白色)。莫瑞的成就在于,他告诉我们,即使我们不知道涉及其中的确切化学物质,我们在活生生动物身上看到的图案,完全符合经由发育早期的胚胎表面上促进及抑制物质交互作用所产生的图灵反应导致的扩散结果,这个过程发生于胚胎受精后几周内(以斑马为例,有证据显示,皮肤的图案在受孕后21到35天之间就形成了,整个妊娠期是360天)。如果某一化学物质当时也激发细胞产生色素的能力,这将使得在浅碟版本BZ反应中产生出的那种图案,以不可见的方式烙印在这些细胞里,这种图案只会显现于生命的未来,当另一种化学开关(或因毛发增长)发出开始制造色素的指令时,皮肤上的所有细胞都会接收到这个指令,但只有早期在图灵反应中被烙印过的细胞才会执行。
 
图案决定于胚胎发育早期
因此莫瑞不需要太过介意其中的生化过程,他要做的“只是”发展出一套能够预测哺乳动物胚胎成长的不同阶段中,依照它们表面所发生的图灵反应将可能产生出的各种图案的数学模型。因为整个过程涉及穿过这些胚胎表面的波动,所以表面的大小与形状都会影响反应制造出的图案。莫瑞指出,这种情况有些类似一面鼓发出的声音,取决于鼓皮的大小及形状,因为不同频率的声波恰好对应不同大小的鼓皮(虽然实际物理过程大不相同,但这两种系统之间存在相当接近的数学模型)。他发现,如果图灵过程展开时胚胎的表面太小,它将无法形成任何图案。没有足够的让这种机制得以运作的空间,或者你想以对应于不同大小鼓皮所产生的各种“波长”的方式思考,当波长大于鼓皮,细节将无法显现,这就像是用油漆辊在一块小画布上绘出精致细节。另一种极端的情况是,当表面非常大时,整个反应过程将复杂到令任何图案都无法产生。这就好像当许多人在房里同时进行交谈,人们听到的会是一种嘈杂的声音。然而,在非常大的表面仍旧可能产生微小尺度的图案模式,如果你仔细观察,将发现大象表面毛色并非一致,但远远看来就只表现出一种颜色,如同点彩派画家所做的油画中,色点之间存在微妙的结构,但隔着一段距离欣赏就只会看到均匀色彩(也如同在充满交谈者的房间里,虽说有一致的背景噪声,但我们还是可以听出邻近的人说些什么)。因此,根据这个模型,极大与极小的哺乳动物没有表面图案,这正是我们在大自然中观察到的。但在两种极端之间呢?
从小尺寸逐渐增大来看,最先形成的图案是宽带纹,然后是细条纹,接着是斑点,最后是由细条纹分开的大斑块,然后,所有斑块就会混成一色。整体的图案模式与自然界中的实例类似,从豹的斑点到斑马或老虎的条纹,再到长颈鹿的斑块。如莫瑞在他的书中所说:
我们在模型产生的图案与多种动物身上的图案之间,看到了惊人的相似。即使在模拟时对各种参数加以限制,依旧能产生出可观数量的图案。这些图案取决于参与反应表面的形状与大小,虽然日后的成长会扭曲原始的图案……但单一机制便能产生所有观察到的哺乳动物外表,这是相当有说服力的说法。
当然,动物不见得一定会有图案,即使相关的生化机制确实存在。这种机制可以被关掉,我们从进化的角度很容易看出,比如像北极熊就只有单一的白色外表。但当图案显现时,由表面大小产生不同图案的关联性,我们可以从猫科动物的尾巴上找到一个十分有趣的例子。对于基本上是柱状的尾巴,图案可能是斑点或环绕尾巴的圆环。但像美洲豹,即使开始时以斑点覆盖,到了尾巴末端,尾尖上形成的仍是条纹图案,这与模型所预测的条纹出现在较小表面,斑点出现在较大表面的结果一致。
这个模型有个重要特质,动物表面图案并非取决于成年动物的大小与形状,而取决于图灵式的过程发生时胚胎的大小与形状。当然,大象胚胎会比老鼠胚胎大;但胚胎大小的重要性可以从两种斑马——草原斑马(Equus burchelli)与格利威斑马(Equus grevyi)——的不同条纹的对比中得到完美的印证。前者有较少、较宽的条纹,虽然成年动物体型差不多,但将两种斑马放在一块我们就很容易看出差别。20世纪70年代,J.B.L.巴德(J.B.L. Bard)计算了两种斑马的条纹数目,并考虑了生长过程中图案被扭曲的方式,他宣称,草原斑马的条纹必然在胚胎受精21天时被决定,而格利威斑马的图案则是在35天时被决定。这早在莫瑞运用图灵效果建立数学模型之前便为人所知,但这个差别完美地呼应了模型预测。基因与环境(先天与后天)的这种戏剧性结合,在2002年初第一只克隆猫诞生时就充分显现了出来。因为具有多种颜色的动物身上的图案与色彩,取决于基因遗传以及子宫内的条件(例如发育胚胎接收的营养),所以即便这两只动物有相同的DNA,小猫皮毛上的图案仍然和母猫的并不完全相同。
 
胚胎发育过程中发生的改变,是可以想象出的最微小的“变异”
两种斑马外表图案的差异,只是因为作用于胚胎的图灵反应发生的时间不同。就目前所知,以这个案例而言,任何一种图案都不具有进化上的优势(并非每一项生物构造都必须适应环境)。但若是较细(或较宽)的条纹更具优势,也许更具欺敌效果,我们便不难看出自然进化可以轻易地在个体间制造变化,这使得它们具备更能对抗自然选择压力的能力,最终促使整个族群的斑马朝较具优势的一方发展;除了改变胚胎发育过程中特定事件发生的时机之外,我们无须做任何更改,这是可以想象出的最微小的“变异”。后面我们还会讨论更多关于进化的事。为了做好准备,我们先列举其他几个外表受简单化学作用控制的其他例子。我们深入地探讨了在莫瑞的模型下,哺乳动物是如何产生图案的,因为这是我们第一次看到这个模型运作,同时也因为它,我们很自然地延续了对图灵反应与BZ反应的讨论。但对其他例子就无须讲得这么详细,因为它们的原理都差不多。

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4.2 动物身上经由胚胎发育时自组织的化学变化产生的图案,和动物大小有关的化学扩散作用在较小的区域产生条纹,在较大区域产生斑点。
为了不占用太多后边关于进化的讨论,我们只稍稍回顾一下达尔文学说的自然选择的过程,因为在进化与自然选择之间存在了太多混淆。进化是一项事实,这个过程可以被现存的动物与化石记录证实。同样,苹果往下落及月亮绕着地球运转也是事实。苹果与月亮的运动(以及其他东西)可以用万有引力理论描述——对大多数人来说,牛顿理论已经够用了——如果要处理极端的状况,例如星球塌陷,爱因斯坦的理论更恰当。进化则由达尔文的自然选择理论所描述,对于今天地球上的大多数情况而言,它已够用,但像牛顿的万有引力定律一样,它被做了一些修正。达尔文理论与进化的关系,正如同牛顿理论与重力的关系,但我们还找不到一套类似爱因斯坦重力论的演化理论,也就是一套超越达尔文理论而能解释今日所知的一切的完整的进化论版本,虽然有许多人认为达尔文理论该做某些修正。达尔文理论的精髓仍是我们了解进化的核心,它指出新生生物与上一代相似,但又不完全相同,所以在代与代之间以及同一代中,不同个体存有差异。最能适应环境的个体(如同一块拼图最“适合”放在什么地方)最有能力觅食、交配并繁殖(最重要的),因此它们得以繁衍更多的后代。
这是自然选择过程,它青睐每一代中最能适应环境的个体(以拼图的角度而非比赛的角度来看,虽然两者并不相悖)。举个典型的例子,如果能吃到树顶的叶子是一项优势,那么颈较长的长颈鹿个体将更容易生存并产下更多后代,而颈较短的长颈鹿个体将得到较少食物并且更难繁殖后代。多样化并非只是生命的调味料,而是生命运作的核心。达尔文理论完美地解释了为什么物种会巧妙地契合于某种生态条件,就如同钥匙与锁一样。但很重要的一点是,在一定程度上,进化允许某些特征是中性的。这些特征变化包括花园中普通蜗牛外壳所显现的条纹图案,属于同一物种的不同蜗牛之间外表的差异,比草原斑马和格利威斑马之间的差异还大,虽然这两种斑马分属不同物种。水过这已经足够了解进化的基本原理了。
 
“要了解进化如何进行,必须先了解所涉及的形态发育过程”
延续莫瑞以图灵机制对条纹与斑点形成的研究,人们也以相同方式探讨自然界许多其他生物的图案,包括莫瑞与其他人。其中和我们主题最有关联的,是由位于图宾根(Tübingen)的马克斯·普朗克发展生物研究所(Max Planck Institute for Developmental Biology)的汉斯·马因哈特(Hans Meinhardt,1938—2016)及他的同事安德烈·科赫(André Koch)所做的研究。他们的研究利用了类似莫瑞的方法,但建立在BZ反应而非图灵反应的机制上,在他们的数学模型中,当促进物质在胚胎发育的适当时机以随机方式在其表面出现时,类似生命的图案(包括豹身上的斑点)便产生了。这种特殊模型的优点在于它能产生更复杂的图案,虽然基本的化学反应依旧很简单。水中生物外表的图案也与预期中由促进与抑制物质的化学反应所产生的图案吻合,许多生物学家认为,他们也许可以找到一种能观察到这个过程发生的物种。在一种名为主刺盖鱼(Pomacanthus imperator)的鱼类成熟个体上,平行条纹从头分布到尾。在成长过程中,主刺盖鱼身体会产生新的条纹,但条纹的尺寸和间距都和原先的相同。新条纹由原先条纹的分岔处产生,这好像一条铁轨在一些点上分岔,然后变成两条平行铁轨一样。20世纪90年代,京都大学的近藤茂(Shigeru Kondo)与山村旭(Rihito Asahi)利用图灵机制发展出一套数学模型,模型显示在成鱼身上,图灵反应仍会进行,而不仅限于在胚胎发育期,这使得找到涉及反应的确切化学物质的希望大增。
类似模型也被用来模拟蝴蝶翅膀上的图案,我们挑选其中一项和我们稍后的讨论有关的来看。莫瑞研究了许多产生翅膀图案特征的机制,包括一种看起来像眼睛的大斑点的形成(这被视为进化选择的结果,因为掠食者一眼瞥见这只蝴蝶时,看到的不是一口美食,而是一只更大生物的眼睛)。研究结果显示,这些图案可以很容易地由简单化学反应产生,无须在蝴蝶基因中储存复杂蓝图,因此这种特征更加可能是进化的结果。但在这个特殊的案例中也显示出眼点图案的主要特征——它的大小会随着相关化学反应逐渐改变而相对地逐渐变化。比方说,在某一温度下发育的蝴蝶会有某一尺寸的眼点,而在另一种温度下发育的蝴蝶会有另一种尺寸的眼点,且随着温度变化,眼点尺寸也会随之逐渐变化。之所以特别提到这一点,是因为这不是我们曾经讨论过的化学机制所产生的唯一的行为模式。在某些过程中,反应发生时环境的微小改变不会有太大的影响,直到到达某一临界点,反应过程会突然转换为新的运作模式。莫瑞举了一个例子,脊椎动物的肢体便是在这种敏感方式下发展的。如果涉及手指进长的生化过程受到些微干扰,结果将不是一个较小或较大的手掌,而是会出现有六根手指的手。这可能是由自然变异(或许因为复制错误所产生的DNA微小改变)引起的,它使得胚胎发育过程发生了微小变化;被更改的基因将会被世世代代遗传下去,除非这种变异是有害的。这就是为什么这种特质与家族遗传有关,例如亨利八世众多妻妾之一的安妮·博林(Anne Boleyn),她生来有六根手指,其中之一很早就被切除了。另一个发展生物学中有名的例子是,在波士顿有个人没有拇指。这也可以用适当的数学模型描述——类似描述发生于混沌边缘发散系统的遵循图灵机制的模型中。由此我们知道,环境微小的变化或微小的变异,对发展中的身体形状可以产生重大影响。这是达尔文所不知道的新发现,它使我们对进化有了更深刻的认识。但要注意,在某些情况下这类变化是渐进的。如莫瑞所说:
依照我们关注的机制与特定的图案特征,可能得到形态上逐渐或者不连续的改变……很明显,要了解进化如何进行,我们必须先了解所涉及的形态发育的过程。
事实上,我们要讨论的形态发育就到此为止。从这个讨论中,我们只想让读者知道,在形态发育与进化生物学中,有时微小的作用会产生微小的改变,有时微小的作用会产生巨大的改变,原则上这些都可用涉及简单化学反应的图案形成模型来解释。另外,在我们生活的世界,微小、随机的改变也可能产生或大或小的改变,特别是处于混沌边缘的发散系统。了解这些事件为什么发生、如何发生,将更有助于我们了解生命以及智能的出现。
(1)  严格说来,就是当瑞利数(Rayleigh Number)这个参数增加。这个参数不只取决于温度梯度,还取决于液体特性。
(2)  见《寻找大爆炸》(In Search of the Big Bang)。
(3)  见伽莫夫的《我的世界线》(My World Line)。
(4)  见戴维斯的《第五奇迹》(The Fifth Miracle)。
(5)  我在《星尘》(Stardust)中讨论的议题。
(6)  能量也来自地球内部,主要来自地核元素的辐射衰变。这些辐射物质产生于以前世代的恒星,并因这些星体爆炸散布到太空,成为形成太阳系星际星云中的一部分。因此这些能量来源最终也归功于重力。依赖这种从海底热孔流出的能量维生的生物,可能完全不需要来自阳光的能量,但它们和我们一样都是重力的产物。
(7)  见1952年《皇家学会哲学通讯》(Philosophical Transactions of the Royal Society, volume B237,P.37)。这是目前整个理论生物学领域最有影响力的论文之一。
(8)   图灵似乎对毒药有某种狂热。他的传记作者安德鲁·霍奇斯(Andrew Hodges)提到,图灵于1938年在剑桥看电影《白雪公主》时,深深着迷于坏巫婆将一颗苹果放入滚烫的毒汁中并喃喃自语道“把苹果送进汤,泡出死亡给人唱”的那一幕。显然,图灵反复吟诵这两句台词,直到一语成谶。
(9)  这种振荡系统现在被称为“化学钟”,因为它们有规律的节奏;但这种规则性只是相对的,它们实在不足以被拿来当成钟使用。
(10)  当初被拒绝刊登的论文英译版,终于在1985年发表于由R.J.费尔德(R.J. Field)和M.博格(M. Burger)所编的《化学系统中的振荡与行波》(Oscillations and Travelling Waves in Chemical Systems, Wiley, New York)中。
(11)  这个现象于1983年被得克萨斯大学奥斯汀分校的一个团队证实,其中包括哈利·史温尼(Harry Swinney,1939—),他后来成为最先制造出“图灵斑点”图案的学者之一。
(12)   Volume 258, number 3, p.80。
(13)  以英国逻辑与哲学家威廉·奥卡姆(William of Ockham,1285—1349)的名字命名,他说“除非必要,否则不应该多做假设”。
 
 第五章  地震、物种灭绝与突现
由于很难对久远年代的证据做出解释,并且地质层累积的速度相当慢,我们只能判断灭绝的过程大约经历了几万到几十万年。但以地质学的年代尺度来衡量,这种改变发生得很突然。
人们听科学家提到复杂系统时,常会心生疑惑,因为对许多人来说,“复杂”表示“难以理解”,所以他们立即会假设,如果系统复杂,它一定难以被理解。这些假设不见得正确,复杂系统只是由许多较为简单的部分彼此交互形成的系统。前面介绍过,自伽利略与牛顿以来科学上的伟大成就,大多经由将复杂系统分成简单部分,并对这些简单部分的行为进行研究而达成。在由此途径了解世界的成功典型中,有许多化学知识是经由原子这种简单模型而得来的,在这些研究中,这些原子的原子核构造无关紧要。往上一层,描述盒子里二氧化碳行为的定律,可以借由假设它们是与彼此以及容器壁撞击弹跳的球形分子而得出,分子是由两个氧原子与一个碳原子组成的事实也无足轻重。这两个系统从科学角度看都是复杂的,但却很容易被理解。而如同这些例子所突显的,另一项理解事物的关键在于正确地选择简单部分加以分析;好的选择可以建立应用广泛的模型,如同原子模型适用于所有化学,而不只是局限于碳与氧的化学,气体的“弹跳球”模型适用于所有气体,不只是局限于二氧化碳。
抽象一点说,相同的基本原则也适用于数学家所谓的复数。复数这个名称吓倒不少学生,但复数其实很简单,只包括两部分,名词暗示的“复杂”完全是小题大做。一个复数中的两部分本身只是普通数字,它们的区别只在于其中之一要乘上标为“i”的虚数单位。因此当普通数字可以用一个字母代表(例如X)时,一个复数则可以用一对字母代表(例如A+Bi),i是-1的平方根,所以i×i=-1,但这无关紧要。重要的是有一组相当简单的复数处理规则,无论是将两个复数相乘或相加。这些规则真的很简单,比象棋规则简单很多。但它们帮数学拓展了全新的世界。
 
地震的发生遵循幂定律
蕴含于复杂中的简洁,也有更生活化的例子。轮子和杠杆是两种最简单的“机器”。带齿的轮盘,像是竞赛自行车上的齿轮,实际上就是杠杆与轮子的结合。(1)  单独一个轮子,即使是一个齿轮,也算不上是复杂的东西。竞赛自行车基本上是轮子和杠杆的组合,但从科学角度来说,它就是个复杂物品,虽然轮子与拉杆组合的方式很容易被理解。这也点出了今日科学语言中“复杂”的另一重要特质——事物相互作用的重要性。一堆轮子与杠杆本身算不上复杂系统,即使这堆东西可以造出一辆竞赛自行车。简单零件必须以正确方式结合,彼此才能产生额外的力量。这就是建立于深层简洁之上的复杂。
当科学家面对“复杂”时,他们的第一反应就是试图经过观察主要的简单部分以及它们互相作用的方式来了解“真相”,然后希望找到一个(或一组)简单定律能应用在这个系统上。如果一切顺利,这一定律将能应用在更广泛的复杂系统上(如化学中的原子模型,或可以运用于自行车与钟表上的齿轮定律),这样,他们便发现了万物运作的深层真理。这种模式成为三百年来研究接近平衡系统行为的守则,现在它被应用于研究混沌边缘的耗散系统——地球上还有什么系统能耗散出比地震更多的能量呢?
一个关于地震最常见的问题就是不同强度的地震发生的频率。除了本质上的趣味,这问题有实质上的重要性——如果你住在地震区,或是你必须代表保险公司决定地震险的保费。地震释放的方式有许多种。大多数地震可能都很剧烈,释放出很多能量,然后再经过很长一段时间累积下次释放的能量。或者它们都很小,连续地释放能量,以至于几乎不可能累积足够的能量造成一次大地震。地震可能有一个典型的强度,比这个强度大或小的地震发生概率都相对较低(就好像人们身高的分布,集中在某个平均值)。或者它们可能完全随机发生。我们没有理由瞎猜,找到答案的唯一方法就是查阅所有的地震记录,算出每一个强度发生的次数。第一个做这件事的人是查尔斯·里克特(Charles Richter, 1900—1985),目前广泛用于测量地震强度的里氏规模(Richter scale)就是由他创造的。(2)  
里氏规模用的是对数 (3)  尺度,每增加一个单位,相对的能量就增加30倍。2级地震比1级地震强30倍,3级地震又比2级地震强30倍(也就是比1级地震强900倍),以此类推。实际上这项成果是他在20世纪30年代初期和他的同事宾诺·古登堡(Beno Gutenberg, 1889—1960)共同完成的。在20世纪50年代中期,这一个团队将注意力转向探索不同强度地震的发生频率。他们找出全世界发生的地震的资料,然后把每半级内的地震资料分进一个“箱子”,例如把介于5到5.5级地震的记录放进同一箱子,介于5.5到6级的放入下一个箱子,等等。因为里氏规身是对数的,为了在相同的尺度下比较,他们也将这些数字取对数。当他们通过画图来显示每个箱子中地震发生次数的对数和它们的里氏强度[所谓“对数-对数图”(log-log plot)] (4)  的关系时,他们发现这是条直线。

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5.1 古登堡-里克特定律将地震强度与其出现频率相比较,显示出
 噪声行为的幂定律。
小地震发生次数非常频繁,大地震很少见,介于两者之间的任何强度的地震发生的次数都落在这两个极端所构成的直线上。这意味着地震的强度和发生的数目遵循幂定律(power law)——相对于每1000次的5级地震,大约会发生100次6级地震、10次7级地震,等等。这个现象现被称为“古登堡-里克特定律”(Gutenberg-Richter law)。这是个第一眼看上去像是个复杂系统但背后只是个简单定律的典型例子。但它到底意味着什么呢?是不是有其他广泛的应用呢?
 
海岸线的分形维度
首先,我要强调这是个多么有力的定律。一个比著名的1906年旧金山大地震小一点的8级地震,比1级地震的能量多出200亿倍,1级地震差不多相当于一辆大卡车经过时你在屋里感受到的震动程度。然而同一个简单的法则在所有能量范围内都适用。很明显,这告诉了我们一些关于世界是如何运作的基本概念,其中一部分和我们在第三章看到的混沌和分形有关联,那时幂定律也出现过。你可以拿一个大自然产生出的分形最基本的例子——海岸线的长度——用同样的方式解释它。挪威的海岸是个非常好的例子 (5)  ,在那里一个大峡湾被分成多个比较小的峡湾,然后它们又被分成更小的峡湾。若要利用分形尺度描述这条海岸线的特性,你可以想象有一张十分详尽的海岸线地图(或者就是海岸线本身!),然后用方格网覆盖它。如果一个方格足够大,它可以包含整个挪威。但如果将格子越缩越小,你将需要更多的格子去覆盖每个扭曲的海湾。很明显,如果你将格子大小减半,你将需要两倍以上数量的格子。把所需的方格数量增加的程度和方格大小变化的程度做一个比较,你就可以得到海岸线的分形维度。在这个例子中,分形维度是1.52。你可以把不同阶段(依据方格大小)测得的海岸线的长度取对数,再加上方格大小的对数画出一张图,会得到一条直线,分形维度就是这条直线的斜率。

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5.2a 如文中所述,挪威海岸线的长度可以用覆盖在上面的方格图来估算。方格越小,量出的海岸线越长。当以对数-对数图表示这层关系时,其幂定律会形成一条直线。

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5.2b 在这里,直线的斜率是挪威海岸线分形尺度的度量值,算出来的斜率值是1.52,大约恰好介于一条直线(值为1)和一块区域(值为2)之间。
除了看到的斜率(图中直线倾斜的程度)数值,这个现象和古登堡-里克特定律所说的完全一样。挪威海岸线(或其他的海岸线)的分形几何似乎和世界各地(或是某一特定地震带)各种程度的地震发生的频率有某种关联。关联的这一部分在于我们所熟知的一种分形特性——它们是无尺度的;这就是为什么海岸线绘图遵循幂定律。我们因此可以推论,地震的发生也和尺度无关。这是一个满足我们好奇心的有趣说法,用比较实际的方式来说,大地震和小地震之间除了大小之外没有其他差别。你不需要引用什么特别的、罕见的物理作用来解释为什么大地震会发生——它们就是发生了。大地震的确比小地震不经常发生,但大地震们基本上是和小地震经由相同的物理过程产生的。即使你对产生地震的物理原因一无所知,但幂定律仍可以告诉你这个事实。
 
超越尺度的冰冻马铃薯
这与门外汉甚至一些地理专家认为的较大地震该有较大成因的想法有很大差异。这类想法会让人认为大地震(像1906年发生于旧金山的那次)的发生是因为地壳上累积了大量张力,然后在较弱的一处释放出来。然后人们得出结论,经过一次大地震,在同一地点要等很久才会遇到另一次。所有大小地震都随机发生,但频率不同(这点非常重要)。在地震带上,任何规模的地震在任何时刻都可能发生,如同丢硬币出现正面的可能性一直是二分之一,即便先前丢的三次都出现反面。因此在1907年再发生一次像1906年震级的地震,其概率不比在1905年时小。幂定律所描述的对象是超越尺度的,因此任何规模的地震适用同一定律。
还有一个经由简单物理系统运作而超越尺度的例子,它相当接近我们熟悉的事物。马克·布坎南(Mark Buchanan,1961—)在他的《无所不在》(Ubiquity)一书中,十分巧妙地阐述了这个例子。他在书中大胆地将这些概念运用到他所称的“历史上真正的科学”中。设想我们用冰冻的马铃薯做个实验,将它用力掷向硬墙使其碎成小块。这个实验真的有人做过,因为冰冻马铃薯碎裂的方式与大石块相撞后碎裂的方式相似,而观察这种过程,可以使我们更深入了解,比如在太空中巨大石块撞击的方式,以及撞击产生的碎块如何形成火星与木星轨道之间的小行星带之类的问题。马铃薯碎块有各种大小,许多很小块的、少数大块的,以及一些中等尺寸的。我们可以将这些碎块依照重量放入不同箱子,类似古登堡-里克特将地震记录依强度来排列。首先,忽略非常微小的碎块并将其放在一旁,然后将其余碎块放入箱子。接着,可以利用每个箱子中碎块的数目与重量总和的关系来画张图表;你将得出幂定律。20世纪90年代初期在南丹麦大学(University of Southerh Denmark)的实验中,研究人员以这种方式分析重量介于10到0.001克之间的马铃薯碎块,得出了相同的幂定律。这表示,如果你像只蚂蚁一般大,在这些碎块中周游,你看到的景象(以统计而言)和你变成瓢虫大小在其间行走看到的并无二致——你不会在一个场景看到类似英国萨塞克斯(Sussex)的山坡,在另一个场景却看到如喜马拉雅的山峰。马铃薯碎块创造出的“景观”在所有尺度上看起来都一样。
 
 1/f 噪声储存了信息
如果依月球表面坑洞的大小与数量来看,那么月球上的景观也是超越尺度的。因为这些坑洞是由不同大小的陨石撞击产生的,而这些陨石本身也是由更大的小行星,以控制冰冻马铃薯破碎方式的法则撞击产生的;这并不令人意外,它只是将这种特殊的幂定律的应用范围由马铃薯扩展到小行星。
还有另一种方式可以描述这类变化(其实只是一种变化的不同版本)。比较重大的“事件”(地震、海岸线延展、马铃薯碎块)比较罕见,你可以用“事件发生概率等于1除以其尺寸的某个指数”来描述这个现象。换个角度看,你也可以说,事件的大小和1除以它发生概率的某个指数成正比;f代表频率。因为确切的指数并不重要,这通常被称为“1/f ?噪声”( 1/fnoise)。用这种方式描述地震好像有点奇怪,这样做的原因是,1/f 噪声在许多不同系统中自然显现,而且早在地震项目进行研究之前,它就在数学领域中被探讨过。就我们的需要而言,“幂定律行为”和“ 噪声”可以被视为同义词。

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5.3 一个类星体亮度的改变,观察期介于1887年到1967年,可被视为 噪声的例子。
这种噪声普遍存在,从快速的闪烁到缓慢的脉动。对一名受过天文学训练的人来说,典型的 噪声发生于类星体(quasar)发出的光,其振荡频率从几分钟一次的快闪到数年或数十年一次的脉动 (6)  ;同样的模式也可从某些星球的光观测到,将这类物体的闪烁行为绘成图,以亮度与时间为两轴[天文学家称之为“光变曲线”(light curve)],会得到一条类似山脊形状的崎岖线,在每个尺度中都有些起伏;这就是 噪声。在一极端处,与 相对立的是白噪声(white noise),它完全随机;而另一个极端处则是只包含单一频率的讯号,例如单一音符。如同名称所示,这种现象首先在声学中被讨论,白噪声就是你将收音机转到没有电台的频率时听到的静电干扰杂音,单一频率的噪声是某一音符所发出的纯净但同样无趣的音调,而 噪声[有时被称为粉红噪声(pink noise)]听起来才有意思。音乐具有 结构,说话的声音也是(包括派对中嘈杂的杂音)。简而言之, 噪声储存了信息。

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5.4 在标准的对数-对数图中,古典乐、摇滚乐以及说话声,都显示出 噪声的特征,因为它们都包含了信息。
 
观察长期趋势的重要
但有一点要当心。每当出现一项科学新发现,都会产生一窝蜂的效应,人们会试图以新的热潮解释所有事物。 噪声已成为科学界的热门话题,热心者会尽其所能地利用它探索一切,这将带来新的洞见或是展露出此类方向所能达到的极限(或两者都有)。但 噪声显然不是作用于所有随时间改变现象上的唯一因素。比如说,全球平均气温从19世纪中期开始上升,它的变化与类星体天文学研究的光变曲线十分类似,在升高的大趋势中带有弯曲的起伏。研究显示,这些振荡就是 噪声。这项长期上升趋势有可能是位于更长时期中带有振荡噪声的整体模式中的一部分。但在这个案例中,长期趋势恰好发生于人类开始将温室气体排入大气层的时候。而当短期振荡被去掉,全球气温在一个半世纪中的上升幅度,恰好与预料中所排入大气的温室气体所造成的温度上升幅度一致。
结论是,虽然在天气系统中有许多噪声,而且大多是 噪声(它本身就是有趣而重要的发现),温度上升趋势与人类活动之间也确实存在关联。关于天气系统中的噪声属于 噪声的事实,当然也如同地震遵循幂定律一样令人感兴趣。这表示,任何尺度事件可在任何时刻发生,但重大事件很少见。习惯上,保险公司与土木工程师以历史为基础,计算出重大事件的发生概率。他们统计某一特定类型与尺度的事件(例如严重干旱)在过去发生的频率,然后猜测它在未来将以相同频率发生。但这只讨论了一半。 的信息告诉我们,这类事件遵循幂定律。这表示,如果你在某个夏天遇到了“百年一见”的大旱灾,明年发生同样严重的旱灾概率和前一年没发生旱灾的条件下所推算的概率是完全一样的。假设经过一次“百年一见”的旱灾后,要经过一百年才会再遇上一次,这是不可靠的。同样的, 噪声意味着,破纪录的旱灾发生之后,可能紧接着一次破纪录的寒灾。因为自然气候系统的随机振荡,明年可能是有史以来最冷的一年,但这并不能推翻温室效应的假设。这就是为什么观察长期趋势而非单一事件这件事格外重要。
 
计算机上模拟的堵车模型
自然中还有许多幂定律与 噪声的例子。在进入讨论它们与生命出现的关联这一主题前,还要再举两个例子,因为它们比类星体的光变曲线与长期气温趋势的统计,更贴近日常生活。本书大部分读者一生中某个时期都会居住于大城镇或都市中。早在20世纪40年代,哈佛大学的乔治·齐夫(George Zipf,1902—1950)就研究了世界上的城市人口数。他发现,少数城市拥有非常多的人口,而大部分城市的人口较少。令人意外的(虽然你可能已经猜到会发生什么)是,当不同大小的城市被装入箱子再与相对应人口数画成对数-对数图时,得到的是一条直线。不论以整个世界还是特定区域来做,结果都一样,人类聚居于城市的行为遵循幂定律,今天与20世纪40年代都是如此。我们都依个人自由意愿决定居住于何处,但某种意义上,我们与类星体发光以及地震发生遵循相同的法则。显然,我们正处于通往深层真理的途中,而我们可以借由探索简单系统来了解一切。
虽然很多人居住于城市,但并非所有城市都经历过地震,因此这个现象对大部分人而言只是抽象的概念;但每个城市居民都有堵车的经验,我们发现堵车也遵循幂定律。我们讨论的堵车模型发生于高速公路或是没有阻碍的马路上,这似乎没什么道理。因为任何驾驶员(或是任何没有睡着的乘客)都知道,当车子少时,交通顺畅,车子太多才会堵车。问题在于,如果一辆车因任何原因刹车(也许因为和前面一辆车贴得太近),它立刻会使后面每辆车都慢下来,而且减速比加速容易(对道路安全而言是好消息)。20世纪90年代初期,杜伊斯堡大学(University of Duisberg)的研究人员以数学模型在计算机上模拟研究这种行为。(7)  这个模型并不是要描述多车道公路中的真实情况,但(与其他好的模型一样)足以让我们对正在发生的问题产生深刻理解。模型中只有一排车子在一个车道上行进,不允许超车;所有车辆大小一样;每辆车的速度是根据计算机执行一个模拟步骤中它能移动多少辆车的长度确定的。如果一辆车快到会撞上前面的车,它就必须慢下来;如果车子前面出现大空间,它将会加速(不超过设定速限)以缩短和前车的距离。最后,将减速与加速的参数量化,减速总被设定为比加速容易。这的确能显现出所有堵车特性:当车辆很少时车流顺畅,如果车子多了,就会有点堵车,一旦车辆密度超过某个标准,交通就几乎瘫痪了。还有,在这个模型以及真实交通中,我们都发现了幂定律——不同程度的堵车数(以涉及的车辆数目计算)遵循的定律,与不同规模的地震数目遵循的定律相同。这明显是 噪声运作的例子。
我们从中可以学到两个实用教训:第一,不需要特殊重大的事件(如车祸)就能产生大堵车 (8)  ;任何大小的堵车都可能由最小的干扰诱发,例如一辆车与前车贴得太近而紧急刹车,但它们并没有任何碰撞,大多数身历其境的人看不出明显的堵车原因(造成堵车的那辆车可能早已开走,留下后面一堆不知发生了什么事的驾驶员),但可能给数百人造成不便。第二,如果车辆密度增高,降低最高限速能使车流更顺畅,因为这使得加速与减速之间的时间差别效应减小了。这是真的!如果每个人在拥挤车流中都依照速限行驶,那么他们会更早到达目的地。
 
经济与地震遵循相同定律
另一个人类活动也可能与幂定律以及 噪声相关,且在最近备受关注;那就是经济,特别是和股票市场有关的经济。我不打算讲得太详细,因为它离我们的大主题——生命的产生与其在宇宙中的地位——太远。(9)  但其中的关联值得一提。20世纪60年代,曼德博将注意力转向分形前不久,他监测了像是钢铁与棉花这些期货在纽约交易所的价格变化,他发现价格波动遵循某种幂定律,看来像 噪声。
这意味着经济是一个与地震(或堵车)遵循相同定律的系统,因而重大事件(在这里指的是股市崩盘,例如发生于1987年10月的那次)可能由一系列微小事件造成。这是不受经济学家欢迎的发现,这些人认为,经济可以经由调整利率的政策加以管控。但如果股票市场的震荡的确遵循幂定律,微小的利率调整可能(即使是偶尔)成为市场剧烈震荡的诱因。
我想强调的是,相同的定律可以运用在地震、堵车以及其他事件上。基本的模式建立于 噪声,但有时人类干预的程度足够大,也会形成影响。比如,没人会质疑美国经济复苏是得益于第二次世界大战,问题是,政府干预是否重要?问题的答案可以从布莱恩·阿瑟(Brian Arthur)的研究中找到,他在20世纪70年代晚期任职于应用系统分析国际研究所(International Institute for Applied Systems Analysis; IIASA),这是位于奥地利的智库;接下来在20世纪80年代他任教于斯坦福大学。古典经济学建立于一些与古典热力学类似的原则上,它处理接近平衡状态的系统(经济)。其中涉及一项称为“报酬递减”(diminishing returns)的概念,这是一种负向回馈。粗略来说,它是指虽然你可以通过研发新产品从而获利,但当所有人都拥有这一产品时,它的销售前景将会非常困难,利润也自然降低。阿瑟以他具有工程背景的思维,提出了深刻的见解。你可能通过正向回馈增加营收,一旦你掌握了市场,大家都必须买你的产品,你将发大财,最明显的就是今天比尔·盖茨与微软的例子。阿瑟还知道,你甚至不必拥有最好的产品。大家普遍认为,苹果计算机在技术上优于建立于微软架构上的个人计算机(在20世纪80年代时这是事实)。但它们一开始时的市场营销效果不够好,如果某项事物成为行业标准,那么“我也不例外”的效应将能保证它大卖大赚。
这种现象对物理学家或工程师而言完全合理,但受传统训练影响的经济学家仍然竭力试图与这种“异端邪说”重启辩论。我们对这种争辩不感兴趣,但希望了解古典热力学与非平衡热力学之间的差别,以及如何模拟古典经济学与可以称之为非平衡经济学的两者之间的模拟差别。像是阿瑟这样的当代经济学家面对的是动态的、改变中的系统,其中涉及以能量流动(在此指金钱)形态产生的正向回馈。用这种方式陈述故事并不新鲜。经济事实上是处在混沌边缘的自组织系统,其余尽在不言中。只是经济情况更加复杂,更难看清是树还是林,因为我们身处其中,而人类本身就是经济系统中不可分割的一部分。尽管如此,即使从最粗浅的层次看,也毫无理由怀疑股市震荡的行为属于 噪声,而任何人如果还相信某种力量能够完全掌控经济,那他必然还活在脱离现实的世界中。
 
大灭绝的合理原因
让我们回到更简单的话题,比如恐龙灭绝与生命的意义。恐龙大约在6500万年前绝迹 (10)  ,这是地球生物大灭绝的其中一部分,而这异常明显地呈现在地质记录上,因而它被用来标记一个地质时代——白垩纪(Cretaceous)的结束与另一个地质时代——第三纪(Tertiary)的开端。因为白垩纪的开头字母“C”已经被用于表示与寒武纪(Cambrian)连接的时期,所以我们将这个标记称为“K-T界线”;K是德文中白垩纪“Kreide”的前缀。虽然恐龙是这场灾难中最常被提及的物种,但它们不是唯一的受害者;大约有七成白垩纪晚期的物种消失于第三纪初期,形成货真价实的“大”灭绝,这说明了为什么地质学家与古生物学家用“K-T界线”作为化石记录的重要标志。由于很难对久远年代的证据做出解释,并且地质层累积的速度相当慢,我们只能判断灭绝的过程大约经历了几万到十万年的时间。但以地质学的年代尺度来衡量,这种改变发生得很突然。
这里产生了和研究大地震时同样显而易见的问题——它为什么发生?会不会再发生?如果会,在什么时候?在K-T事件的例子里,我们可以找到诱发这场6500万年前大灭绝的合理原因,而且可以确定不是发生在6000万或5500万年前。有人在墨西哥的犹加敦半岛发现了一个因巨大陨石撞击产生的坑洞,而在全世界形成于6500万年前的地层中,都可以找到一种被称为铱的重金属;这是地球上很罕见的金属,但在某些已知的陨石上含量很高。这意味着,是一块直径差不多10公里的大陨石撞击了地球,造成了这场大灾难。科学家所发现的这层铱非常薄,它一定形成于1万年前(可能更短),这与K-T事件大致是由来自太空的突然冲击所造成的假设吻合。
事情发生的经过并不难解释。那样的冲击所带的动能相当于十亿个百万吨级TNT炸弹的爆炸威力,可将巨大的碎片直接炸入位于太空的弹道轨道(如同洲际导弹),碎片再重新从四面八方进入大气层,散布热能,使整个地表的温度升高。在数小时之内,地表每平方米所接收的热能高达10千瓦。亚利桑那大学的杰伊·梅洛许(Jay Melosh,1947—)生动地将这一现象形容为“相当于将家中烤炉设定在'烤’的档位”。(11)  接下来,被抛入大气高层的微尘将包围地球,加上因为“烧烤”引发的大火所产生的烟阻隔了阳光,需要依赖光合作用的植物纷纷死亡,地球被暂时冷冻。我们不需在此做太详尽的介绍,但必须指出,这些场景都经过详细研究,符合地质学的研究,绝不是不成熟的古怪想法。我们只想强调,从太空来的冲击,对地球上的生命可能是坏消息。(12)  这还不是故事的全貌。首先,证据显示,在其他时刻,特别是大约3500万年前,地球曾受到类似规模的陨石撞击,但这未引发像K-T事件如此大规模的物种灭绝;规模相当的诱因并未产生相同规模的事件。其次,某些证据显示,恐龙与其他一些物种在白垩纪后期数百万年之间,已开始走下坡路。古生物学家对这项证据的解释仍有争议,而且很难厘清这种下坡的趋势是否可能造成灭绝(在漫游地球的1.5亿年之间,恐龙数量也经历过几次波动),还有些人主张恐龙那时根本称不上走下坡路。但犹加敦半岛的冲击(可以肯定发生于6500万年前的K-T界线),绝对有可能是诱发地球上已处于某种压力(也许是大陆板块移动造成的气候改变)下的生态网大量灭绝的最后一根稻草。重点在于,任何单一事件都可能是特例,它本身无法解释类似事件发生的潜在原因,或它们发生的概率,就如同研究单一地震,无法告诉你地震发生的原因及频率一样。我们必须审视地质历史中所有大灭绝的模式,才能厘清恐龙灭绝到底是一件特殊事件还是通例。
K-T事件事实上只是五次类似灾难的其中一个(从地球上所存在生命的角度来讲),地质学家将它们合称为“五大灭绝事件”,而K-T事件还不是最大的。每一次灭绝都被用以标志区分不同的地质纪元,且它们都发生在过去6亿年间。我们将焦点集中于近期地质时代的原因是,这时候生物才发展出较容易形成化石的特质,例如壳。在那之前(被称为前寒武纪的长久纪元),生命已在海洋中以单细胞形态存在了40亿年,也没有留下太多可供研究的资料。但在大约6亿—5.9亿年前,寒武纪开始(它是古生代的第一个纪元),生命逐渐演化成不同种类的多细胞生物,然后演化出具有坚硬部分的生物。很明显,越接近现代,我们对当时生命模式的改变就越清楚。
 
物种的消失,是否超越尺度?
按年代排列,五大灭绝大约分别发生于4.4亿年前(介于奥陶纪与志留纪)、3.6亿年前(介于泥盆纪与石炭纪)、2.5亿年前(介于二叠纪与三叠纪)、2.15亿年前(介于三叠纪与侏罗纪)以及6500万年前(KT界线)。化石记录显示了许多其他物种的灭绝,它们也被用来当作地质“日历”的标记。例如大约1.45亿年前的侏罗纪与白垩纪的界线,也是由物种灭绝来标记。但这五次是规模特别大的,其中规模最大的一次发生于大约2.5亿年前二叠纪结束时,它消灭了至少80%甚至可能高达95%的物种,且只用了短短不到一万年时间。虽然只有大约三分之一的物种因大灭绝而消失,但据估计曾经生存于地球上的物种中的99%已绝迹,这表示因较小事件而消失的物种数是大灭绝中消失的物种数的两倍。令人好奇的问题是,大灭绝是否真是特殊事件,它与一般发生的灭绝有没有本质不同?或者它们只是同样的事件,不过就是规模较大?地球上物种的消失,是否如同地震以及我们先前看过的其他现象一样,是超越尺度的?老实说,答案是“不知道”。但有足够证据显示确有这种可能。

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5.5 塞科斯基以每400万年为时间间隔单位,画出大灭绝事件发生的柱状图。超过90%的大灭绝发生在50%的时间间隔区间,分布并不平均。

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5.6a 大卫·劳普以柱状图的形成呈现出特定存活期的生物“属”的数量。

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5.6b 大卫·劳普以对数-对数关系图的形式,呈现出特定存活期的生物“属”的数量。“属”的存活期长短遵循幂定律,指数接近2。
大多数证据来自芝加哥大学的杰克·塞科斯基(Jack Sepkoski,1948—1999)的耐心研究。他建立了一个庞大的灭绝数据库,将其他研究者发表过的数以千计的包含不同物种的文章结合起来。当然还需要一些更高深的技巧。你必须对研究的物种相当了解(塞科斯基专注于海洋无脊椎动物),而且必须具有足够智慧来分辨出到底是灭绝还是因为化石采集不易形成的断层。通过这些努力,塞科斯基以每400万年为单位,画出过去6亿年中物种灭绝数量的起伏图。图中整体起伏振荡看来相当随机,大部分区段变化不大,只有少数物种不断消失,中间还夹杂着大量灭绝的戏剧性事件,也就是前面提到的大灭绝。
从塞科斯基发表于1993年的论文中所引用的图中可以看出,其中的百分比和我们先前提到的不完全吻合。因为它们代表的是整个家族,不是物种,而且只针对某些家族(海洋无脊椎生物),并非地球上所有生物。但这依旧在某种程度上证明了“恐龙之死”同时也是“海洋无脊椎生物之死”。问题是,如果它真是随机的,那它是哪一种随机?答案是一种幂定律,也就是我们的老朋友—— 噪声。揭露这项事实的学者是任教于芝加哥大学的大卫·劳普(David Raup,1933—2015),他将塞科斯基的数据按平常方式“装箱”,将少于10%的物属家族灭绝的400万年区间数加总、10%—20%的物属家族灭绝的400万年区间数加总,依此类推。这种方式得出的柱状图,就像以地震为对象做出的柱状图一样。劳普同时用柱状图分析了由化石记录得出的某一物属家族的存在时间。同样,这个模式也遵循幂定律。(13)  后来东伦敦大学(University of East London)的迈克尔·博尔特(Michael Boulter,1942—)与同事分析了更大的化石数据库,也得出了相同模式。
 
著名的“沙堆模型”
这样看来,地球上所有生命的灭绝,似乎不都是由太空来的撞击造成的。化石记录告诉我们,灭绝会发生于所有尺度、任何时间,任何尺度的灭绝可能随时发生(像地震一样);某些灭绝可能因陨石撞击造成,某些可能由冰河时期引发。我们从幂定律与 噪声中学到的教训是,并不需要一次重大诱因,便能引发重大事件,任何尺度的灭绝可能由任何尺度的诱因导致。重要的是,我们面对一个复杂系统——地球上的生命——它是自组织,它依赖能量流动,并且处于混沌边缘。我们可以将焦点集中于生命本身,但还有最后一项论点,它对我们了解演化与生命的显现有重大帮助。我们发扬科学的优良传统,找到一项普遍的定律——幂定律——它广泛地适用于各种复杂情况,我们希望进一步去芜存菁,更深入地找出核心的简单模型,使我们能够解开建立于深奥的简洁之上的复杂系统的谜题。这就像了解了最简单的重力系统,也就是一个物体沿轨道环绕另一物体运行,才能深入理解星体间的复杂重力作用,也才能进一步看清太阳系的运作,以及星系在宇宙中的运行方式。结果是,对于生命网的复杂性的研究,可以从更加简单的系统之研究开始——桌上的一堆沙。

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5.7 沙堆模型中,规模大小不同的沙崩数目也遵循幂定律,在对数-对数图上形成一条直线。
20世纪80年代后期,任职于纽约州长岛市布鲁克海文国家实验室(Brookhaven National Laboratory)的丹麦裔物理学家皮尔·巴克(Per Bak,1948—2002),对位于混沌边缘的复杂系统的行为产生了浓厚兴趣。(14)  依靠他所研究的基础物理问题(在此不讨论其细节),他开始着手这方面的研究。很快,他发现他所面对的现象具有广泛普遍的重要性——幂定律与 噪声总是发生于由许多部分组成的巨大系统 (15)  ,也就是我们所称的复杂系统。他当然明白具有外界能量供应的开放式系统的重要性,以及系统到达混沌边缘时会进入关键性的自组织状态。随后,巴克开始探索基础物理之外的系统,并接触了研究地震的古登堡-里克特定律,以及齐夫对城市规模大小的研究。当物理学家试图了解普遍定律如何运作时,他们的第一直觉便是找出描述相关现象的简单模型。在两位年轻同事汤超(Chao Tang)与科特·维森菲尔德(Kurt Wiesenfeld)的共同努力下,巴克建立了著名的“沙堆模型”(sandpile model)。
 
保持在临界状态
起初“沙堆模型”只是个概念性的模型,它可以用语言描述并以计算机模拟,而不涉及真正的沙堆。沙堆模型的关键以及它对人们洞察复杂系统所能提供的帮助,建立在观察两座沙堆的不同:其中一座静静地坐落在桌上,处于平衡状态(和处于平衡状态下的古典热力系统一样无趣);另一座则是同样坐落在桌上的沙堆,我们从上方一次往下丢一粒沙。(16)  按照日常经验以及在海滩玩沙的记忆,我们知道会发生什么事:沙堆会逐渐增高,直到坡的斜度达到某个临界值;此后加入更多的沙会造成沙崩,或一系列沙崩,再加入更多的沙,将使整个过程重复,直到沙堆覆盖整个桌面;而沙崩时沙子将落到桌下。在这个状态下,沙堆中沙子平均数目恒定不变,崩落到桌下的沙子数量与由上方加入的沙子数量相互抵消。系统此时处于临界的自组织状态,它依靠落下的沙粒带入能量。正如同任何规模的地震,都可能被相同大小的事件诱发一样,每加入一粒沙可能引发一次大规模沙崩,或一系列小沙崩,或让新沙粒巧妙地堆在沙堆上;但沙堆一直处于接近临界状态。
巴克和汤超利用这个方法研究了地震及相关的幂定律。他们建立了计算机模型来模拟包括圣安地列斯断层(San Andreas Fault)在内的地震带,也就是两块地壳彼此摩擦、走走停停的地方。如同先前提过的,传统地震模型主张,当断层接触,张力将会逐渐累积,直到一次性完全释放,将累积的能量归零。但在巴克和汤超建立的模型中,累积的张力只会使岩石变形,直到它们到达即将产生滑动的自组织临界状态,如同在沙堆上看到的情况一样,接下来地震带将重复各种尺度的滑动——这些滑动并不会一次释放所有能量,而只释放出足以使断层保持在临界状态的能量。与传统模型不同的是,这种方式解释了为什么地震会遵循幂定律。巴克与他的同伴使用的计算机模拟“沙堆”的程序,可以设定像是加入沙堆中的“沙粒的圆滑程度”等参数。他们分别监测了当沙粒随机由不同地方掉下,或是固定在一处掉下所发生的状况。但你并不需要用一台计算机(或沙堆)进行沙堆实验,才能深入了解影响包括生命系统在内的非平衡系统的最基本定律之一。在巴克的《大自然如何运作》(How Nature Works)一书中,他提到一种方法,这种方法可以使任何人都能利用小孩玩的积木来了解沙堆模型的真谛。(17)  在一个类似棋盘的方格阵上面随机选取一些方格,然后把积木放在里面,直到达到特定数量,例如不能超过三块积木,再重复这个过程。过段时间,某些方格里没有积木,某些有一块,某些有两块,还有些有三块(如果你找得到足够多的棋子,也可用棋子代替积木,硬币也行)。我们随便定个规则,规定当积木达到四块时就进入临界状态,这时四块积木(相当于沙堆中的沙粒)将被移除,然后在相邻的每个方格中加入一块积木,如果有超出棋盘范围的就当它们掉出了棋盘。如果这让相邻的方格进入了临界状态,再重复这个过程。接下来,以随机方式在棋盘上一次加入一块积木(可以用丢骰子的方式决定,或是用计算机产生随机数的方式) (18)  ,每一步骤都遵循相同规则。你可以观察到整个系统是如何走向临界状态的。当新东西加入时,它们会造成各种尺度的“沙崩”,一些“沙”被推出棋盘外。在这种自组织的临界状态下,无论是用计算机模拟或是以这种“模拟模型的模型”来实验,它们产生的崩塌,都遵循幂定律。
 
系统中临界点构成的网络
当然你也可以用真实沙堆模拟,唯一的障碍在于,一般沙子的行为也不完全符合这个简单模型,因为沙子黏度不够,而且每一粒沙都有惯性,因此沙崩很难停下来。对于计算机模拟的“理想”沙堆实验,用长粒米来堆反而能产生更好的效果,因为长形的米具有更大的摩擦力使它们能结合得更久,而且不像沙粒一样,一崩就整个崩掉。用米粒做实验,是由挪威奥斯陆大学(University of Oslo)的维达·弗雷蒂(Vidar Frette)及其同事首创的。为了使实验条件更简单,他们将米粒丢进两片间隔只有一颗米粒宽、直立的玻璃板之间,将这一实验原则上变成二维的了(物理学家刻意简化事物的另一个例子),他们利用摄影机记录米粒一颗颗被加入后所产生的结果。他们利用惯有的方式分析此系统在临界状态时产生的米崩大小,结果显示出预期的幂定律。更棒的是,分析两次米崩之间的静止影像,他们发现它们的边缘类似挪威海岸线。但该团队最重要的发现在于,他们将丢进“窗户”的米粒加以着色,以此可以观察单一米粒的运动。结果显示,新加入的米粒并不一定会如预期那样在下一次崩塌时滑下斜坡。相反,任何一粒米都可能被埋在米堆中,直到很久之后才浮现并参与崩塌过程。任何米粒都可以在米堆中停留任意长的时间,而米粒也不会永远留在米堆中,即使被埋得最深的米粒,最终也会浮现于表层并随米崩被冲刷掉。我们并不完全明白这种现象的原因与其运作的机制,但它告诉我们,即使在这样一个简单到不能再简单的临界的自组织例子中,系统仍会对每一个构成部分产生重大影响,而每一部分又对整个系统造成重大影响。没有任何一个部分会被冷落。
将某些“颗粒”涂上颜色的点子,在计算机模拟的沙堆游戏中也大有用处;即使事后看来这应该被称为米堆游戏更恰当,但我们还是保留原来的名称。在米粒实验中,我们经由观察米堆的边缘获得知识;在新版本的计算机模拟沙堆游戏中,我们借由从顶端观察获得知识。这是利用计算机模拟的优势,我们可以从任何角度“看”,甚至可以取沙堆截面观察。从这点出发,布鲁克海文团队用计算机给沙堆表面的一层沙涂上颜色:将平坦处或在缓坡上看来不会发生沙崩的沙涂上绿色;将处于陡坡上,接近临界点随时可能引发崩塌的沙涂上红色(在棋盘版本的游戏中,这相当于将所有在一格中的三块积木涂上红色,其他的涂绿色)。这项实验(当然完全在计算机中进行)从一些散布于桌面的绿色沙粒开始。当沙堆增高,渐渐出现一些红点。更进一步接近临界状态时,这些红点会变长并连接成线,像是覆盖于沙堆表面的网。当只存在少许红点时,即使新落下的沙掉在上面,也只会产生局部效应,使小规模、局部的沙重新排列。但当网络密度够大时,掉在红色区域的新沙粒将对周围红点产生扰动,接着产生的连锁反应可能引发小部分重新组合,或涉及沙堆表面大部分的一连串沙崩。这里的关键在于系统中临界点构成网络的密度。(19)  还有一点很重要:如同发生在地震带的地震一样,无论网络多么密集,整个系统都不会归零。在这个自组织的临界状态下,掉在网络上的沙粒可能引发大规模的重新组合,但之后仍会有一个处于临界状态的网络出现,只是以不一样的面貌呈现,可谓万变不离其宗。
 
一瞬间发生的相变
我们已经准备好开始探讨生命起源。经历了将复杂系统尽力简化的过程之后,我们发现在许多面貌不同的事物之下,诸如地震、股票市场、人类迁移,都存在着相同的深层真理,它完全建立在网络之上,连接构成复杂系统的各个简单部分。新墨西哥州圣菲研究所(Santa Fe Institute)的斯图亚特·考夫曼(Stuart Kauffman,1939—)的研究指出这种网络的重要性,以及应用在探讨生命起源时的特殊价值。考夫曼通过一项惊人的模拟,将所知的复杂度与复杂系统中网络的重要地位联系起来。他假设有很多纽扣,或许一万个吧,散布在地板上。纽扣可以两两被线串起来,但在实验开始时没有任何纽扣连接在一起。但你将它们连接起来的方式,会把这变成一个复杂系统。开始时,地板上有一堆纽扣,你手中有很多线,而纽扣之间没有任何连接。你随机挑一对纽扣,将它们用线连接并放回原先的位置,并重复这个动作。如果你挑到一个已经被连接过的纽扣,不必在意,依旧将它们连接起来。一段时间之后,纽扣中将出现少量复杂结构。一直做下去,你将会发现选到连接过的纽扣次数越来越多;有时甚至会选到已经有两个连接点的纽扣,之后将出现第三个连接点,整个连接网络继续增长。

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5.8a 考夫曼的“纽扣”模型。

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5.8b 当连接数量增加时,原本很多“松脱”的纽扣迅速地转变为网络的一部分。
这个网络之所以变得有趣,关键在于你可以任意挑出一个纽扣,按图索骥地找出所有和它连接的“同伴”,一路找下去,可以找到一团彼此连接的纽扣。这“丛聚”(cluster)状的纽扣,也就是网络中所谓的“组群”(component)的概念;纽扣代表被连接的节点(node)。其中最大一个丛聚的纽扣数目(最大组群的大小),可以被当成衡量系统复杂度的指标。最大一个丛聚开始时随着连接的增加,以类似线性的方式缓慢增长,因为大多数纽扣只有少数连接,每次新加入的连接给已经是最大的一个丛聚带入新纽扣的机会不太大。但是当连接线的数目接近并超过纽扣数量的一半时,最大的一个丛聚的大小会因为连接线的加入而急速增长(成指数形态增长),因为这时大多数纽扣已属于某一组群,新加入的连接很可能将现存的一个小丛聚(不仅仅是一个纽扣)和现存的最大一个丛聚连在一起。很快,单一的超大型丛聚将形成,网络中大多数的纽扣属于同一组群。随后增长速率又开始回落,因为新加入的连接通常只会将属于同一组群的纽扣连在一起,偶尔才会将超大丛聚之外的少数组群加进来。虽然新加入的连接不再带来巨大改变,但毫无疑问,这是一个复杂系统。
你可以用纽扣做实验,来亲身感受这种效应,但利用简单的计算机模型很容易就可以模拟出这种行为模式。重点在于,当连接数超过节点数的一半时,系统会从一个无趣的状态(许多纽扣中存在少数连接)进入另一个具有更多结构的稳定状态,这时再进一步改变的空间变得极为有限。这是一个所谓“相变”现象的简单例子,考夫曼将它比喻为水经过相变结成冰的过程。在这个网络的例子中,只要加入更多连接,复杂系统便自然地从非常简单的系统中浮现出来,随着改变而产生的有趣现象也在相变的一瞬间同时发生,系统只需增加少许连接,便可从原来状态转换成另一种状态。

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