文艺复兴三杰拉斐尔名画《雅典学院》 授权自 zhihu.com/question/19746620/answer/1652522409 (原文有删减) 首先,对这个问题感兴趣,还点进来看的人,都不是一般人。 00 一切先从定义开始 数学究竟是发现(discovered),还是发明(invented),取决于“发明”和“发现”的定义。 精英谏言 感谢关注 1篇原创内容 公众号 先看两个案例: 科学家发现了微观粒子,而不是发明了微观粒子; 殷商时代的古人发明了甲骨文,而不是发现了甲骨文。 通过这个例子,我们可以达成共识: 发现,是指人类在自然宇宙里找到了以前没见过的事物 发明,是指人类创造出了自然宇宙中以前不存在的事物 如果以这两个定义为基础,可以推出: 因为,数学的定义、符号和规则都是人类的发明,是自然宇宙中以前不存在的事物。 所以,数学是人类的发明,而不是发现。 Q.E.D. 等一下,这样就结束了? 并没有,因为事情没有这么简单。 01 有限的自然宇宙和无穷的数学宇宙无穷符号 “无穷”是数学中最核心的概念之一,但是”无穷“只存在于人类的想象中,不存在于自然宇宙中。 在我们的印象里,自然宇宙是无穷的。 然而,随着人类观测能力增强,科学家逐渐发现,我们所生活的自然宇宙,实际上比我们想象的要“小”的多。 根据观测到的天文数据,科学家发现宇宙的时间不能无限上溯,而是存在一个叫“大爆炸”的起点,宇宙的年龄估计不超过200亿年; 宇宙的空间也非无限,宇宙的直径不超过1000亿光年; 而宇宙里所有普通物质的质量是1.45×10^53千克,尽管这些都是极其庞大的天文数字,但也是有限的。 也就是说,我们印象里那个无穷的宇宙,是我们想象出来的。 宇宙中所有已知的自然事物,包括时间、空间、物质、能量… 等等都是有限的,在自然中并不存在无穷的事物。 圆周率π 02 无穷让数学凌驾于其他科学之上 公元前6世纪,古希腊人证明出了第一个数学定理,从此,无穷进入了数学。 第一个定理是泰勒斯证明出来的泰勒斯定理,和他同时代的毕达哥拉斯则证明了勾股定理,并建立了第一个数学学派。 《雅典学院》中的毕达哥拉斯,旁边抄作业的是德莫克里克。维基百科说图中抄作业的是阿那克西曼德,但他比毕达哥拉斯要早,我更倾向于是德谟克利特,反正拉斐尔也没明确他是谁 (当然很可能他们也证明了,只是还没有足够的证据支持) 是无穷让定律和定理之间产生了天壤之别。 定律是对已知规律的归纳总结,将来可能会出现例外情况,改写定律 而定理则通过演绎推理实现了无穷,不存在例外情况,不会被推翻。 所以,毕达哥拉斯之前的古代数学家更多的是发现,他们发现了很多定律,但是没有发明太多超越自然宇宙的数学概念。 而毕达哥拉斯之后的数学家,引入了演绎和无穷,还定义了很多超越自然的概念,导致此后的数学越来越多的是发明。 这是一个历史性的时刻,古希腊哲学家开辟了一个无穷的新世界,而数学也从此开始凌驾于其他科学之上。 高斯称,“数学是科学的皇后”。 而爱因斯坦也表示认同:
大部分自然科学中的定律,放在数学中只能算作猜想。 因为这些定律都是观察、归纳而来的,还不能靠严格的证明保证其永远成立。 例如以牛顿定律所构建的经典力学,后来就被相对论和量子力学所改写。 现代物理学 数学的地位要归功于无穷,数学家赫尔曼.外尔也说:
外尔的第一句话,我们已经理解,第二句话也很重要,可是该如何理解呢? 让我们以《几何原本》为例: 利玛窦和徐光启所翻译的拉丁语版《几何原本》 古希腊数学家欧几里得的《几何原本》,是数学史上最重要的文献之一,这本书的第一句话就暗含了无穷。
有没有意识到,这个定义很古怪,但是哪里古怪,又说不出来。 其实,这是欧几里得在用精巧的话术,想方设法的要绕开无穷,只是为了说明”点“只有位置,而没有大小。 如果直接说“点”没有大小,就必须引出“无穷小”这个至关重要的概念。 所谓”无穷小“是指无限的接近于零,却不等于零。 古希腊人发现”无穷小“会引发很多悖论,他们无法解决,所以只好用“分割”来定义“点”,回避“无穷小”悖论。 如果有人问,这个定义好像包含了无穷小啊? 你就可以反驳:谁说无穷小了?我说的是”不能再分割“。 不管怎么说,无穷隐含其中。 《雅典学院》中手拿圆规作图的欧几里得 定义完了“点”,紧接着,欧几里得又在“点”的定义基础之上,构造出了“线”的定义:
有了“线”的定义,接下来是“面”的定义,然后是各种“几何图形”的定义,… 欧几里得构造了点、线、面、形、角等23个数学元素的定义(后面的12卷又增加到了131个),以及5条公理、5条公设,并以这些有限的元素和规则证明了465个命题,构建出无限的欧几里得几何空间。 号称最美彩版《几何原本》中的插图 数学的定义里有无穷、定理里也有无穷、数学的空间也是无穷的…,总之数学世界中到处都是无穷。 回过头来,再重新品味外尔的话:
是不是容易理解多了? 03 数学来源于自然,却高于自然 人类观察鸟的飞行,发现了飞行的原理,然后发明出飞机这种全新的事物。 随着人类对飞机的不断改良,飞机的速度和范围很快就超越了所有鸟类。 数学的计算边界远远超过自然 注意,这个图只是演示数学可计算的边界远远超出了自然宇宙的范围,并不代表数学已经比自然大。 数学完全有能力来描述我们所在的这个自然宇宙,但是反过来,数学宇宙中的很多东西是无法用自然事物来描述的,比如无穷。 这是不是很神奇? 爱因斯坦也这样认为,他说:
数学史的时间线 按照数学史的时间线:
直到此时,爱因斯坦才有能力用现代数学的强大工具发明出了相对论,如果没有现代数学,即使爱因斯坦也寸步难行。 这个图片是搞笑用的,但内容是认真的。 一个不会现代数学的爱因斯坦,和一个掌握现代数学的爱因斯坦,只有后者才可以发明相对论。 智商决定不了人的上限,是人所能掌握的数学水平,限制了人能掌握的科学和技术水平,而这些才决定了人的上限。 事实上,数学家每发明创造出一个新的数学概念,都会让数学的边界扩展出一个更庞大的无穷空间。 如果只依靠发现的话,数学家的能力就会受到极大的限制。 2000多年前,毕达哥拉斯学派的希帕索斯,基于勾股定理发明出了根号2,这种不能用自然数的比例来表示的非比例数,也就是无理数。 学派认为他发明出的新数,不是自然宇宙中存在的数,是亵渎神灵的行为,于是淹死了希帕索斯。 如果数学家停止脚步,只使用自然数,而不使用发明出来的新数,那就极大约束他们的能力,就不会有后来高度繁荣的数学世界了。 经过2000多年创造,数学家打破了自然的限制,发明出了越来越多自然宇宙中并不存在的新数。 从0维空间到4维空间 二向箔把太阳系碾压成低维空间 图片出处:《三体艺术插画集》 而如果能让数学家把数学工具带到自然宇宙的话,他们完全可以碾压歌者,彻底摧毁歌者文明。 如果想限制住数学家的力量,就让他们只能用在自然中才存在的事物。 这样人类的科学探索能力,就会被永远锁死在2000多年前的古代,这比智子锁死基础物理还要狠毒!(三体迷都知道的梗^_^) 幸好,数学家已经摆脱了自然的限制,就像《西游记》里的孙悟空一样,“跳出三界外,不在五行中”,这是前所未有的自由。“ 人定胜天”这个梦想,至少在数学上已经完全实现了! 现在你已经明白了,数学的强大力量恰恰来自于发明,而没有停留在发现上。 数学是人类文明对自然的伟大超越! 04 仔细观察拉斐尔的《雅典学院》,就会发现画中暗藏着一个金字塔形的层次结构。 整个《雅典学院》以柏拉图和亚里士多德为中心。 同时他们也是身边人物的视线焦点。 如果以亚里士多德伸出的右手作为顶点,可以做出一个等腰三角形,从台阶之上向下延伸到地板,底边的两个角右边指向毕达哥拉斯,左边指向欧几里得。 注意观察,就会发现这两个数学家也是周围人物的视线焦点。 右边是由达芬奇Cosplay的柏拉图,他的右手竖着中指(啊不,是食指)指向天空,左手夹着《蒂迈欧篇》,象征着「形式」可以构造出理想的世界。 左边是亚里斯多德(可能是米开朗基罗Cosplay),右手拍向大地,左手扶着《伦理学》,象征着「经验」需要通过脚踏实地的观察才能发现。 他们两个人,正好代表了人类获得知识的两种途径: 一种来自演绎、发明,另一种则来自归纳、发现。 拉斐尔用这样的构图来表达,在自然哲学的层级结构中,数学是整个自然哲学的基础。 两者不是非此即彼的关系,而是兼而有之的关系。 发现和发明是数学的不同阶段:
所以,发明和发现在过程上是统一的,并非对立。 PS: 01 如果有外星高级智慧,他们想用一种工具来描述那些规律的时候,会发明另一种类似数学的东西,而不是人类数学么? 参考资料 1.https://en./wiki/Observable_universe 2.Weyl, H. Axiomatic versus constructive procedures in mathematics.The Mathematical Intelligencer 7,10–17 (1985). https:///10.1007/BF03024481 3.AlbertEinstein(1923).'GeometryandExperience'.Sidelights on relativity. Courier Dover Publications. p. 27.Reprinted by Dover (2010),ISBN978-0-486-24511-9. 4.AndrewRobinson.Did Einstein really say that? Nature 557, 30 (2018). https:///10.1038/d41586-018-05004-4 5.【费物理学2-5】费曼趣谈数学家与物理学家的区别_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili6.https://zh./wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F_(%E5%93%B2%E5%AD%B8) 7.https://en./wiki/Oliver_Byrne_(mathematician) 8.https:///ru/post/451682/ 9.我如何用TeX“复活”两千多年前的《几何原本》?- 云+社区 - 腾讯云 |
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