No.201 绳子绷紧为啥会产生热量？这应该是最接地气的解释啦！

说到产生热量，很多同学第一时间会想到的是“摩擦生热”，其次是想到“燃烧现象”，亦或有些同学会想到人体消耗生物化学能产热等。

但在高考物理中，经常会遇到绳子绷紧时，损失机械能的情况。这时，不少参考资料或老师这样解释：绳子绷紧的瞬间，损失的机械能转化为了内能（热量）耗散掉了。如下常见模型：

上图的平抛小球，在绳子绷紧的瞬间，沿绳方向的速度瞬间消失，机械能减小。我们往往把这类损失归结于绳子绷紧产生了热量。

那么，我们如何理解绳子绷紧会产生热量呢？产生的热量或损失的机械能大小又有怎样的特点呢？我们不妨从下面一个常见的例题开始。

例题：一根质量为  的质量分布均匀的绳子，长度为  ，自然堆放在光滑的水平面上，现用一竖直向上的力  以恒定速度   匀速提起绳子的一端，求绳子被完全提起的过程中  所做的功。

对于这道常见习题，首先要吐槽下错解，该错解广泛分布在各种参考资料，甚至部分老师的课堂中，错解如下：

从功能原理的角度分析，  所做的功，转化为了绳子的重力势能和动能，即增加的机械能，故：

 

看似很有道理，实际上却忽略了一部分能量，即该过程中产生的热量。

从定性角度感受，绳子的每一小段，速度从0变为  ，类似于发生了完全非弹性碰撞，类比应该要产生能量损失（热量）。

那么，到底产生了多少热量（损失了多少能量）呢？我们不妨再换个角度来计算  所做的功，这次我们直接进行计算。

因为绳子被匀速提起，故可以判断拉力  的大小不断改变。而拉力的大小由两部分构成，一部分是已经提起那部分绳子的重力（假设已经提起绳子的长度为  ）：

 另一部分为使得即将离开桌面的一小段绳（绳元），速度从0增加到  所对应的“冲力”。

假设这一段极短的绳子质量为  ，在极短的时间  内被提起，完成速度改变，则：

因为  ，故相比于上部分绳子给的“冲力”  太小，可以忽略。故对  用动量定理可得：

 整理得：

为一恒定值。

 故  随拉起绳长  变化，且大小可表示为：

 故拉力  所做的元功为：  ，整个过程所做功为：

 当然，这里的力随  线性变化，不喜欢积分的同学也可以用示功图求面积做，这里不再赘述。

相比于第一种解法用功能原理计算，很显然直接计算多了  ！

绳子在初末状态所增加的重力势能和动能是确定的，第一种方法在计算绳子机械能增量方面没有问题。第二种方法在计算  变力做功也没有问题！那增加的  到底是什么呢？

没错！这  的能量就是全过程中，绳子中产生的热量！！！

等等，绳子最终获得的动能是  ，整个过程中产生的热量也是  ，即  。这个等量关系我们好像在哪里见过啊！

没错，请看下面常见的题目：

有一足够长水平传送带保持以速度  匀速转动，现将一质量为  的物块无初速度轻放在传送带上。为了保证传送带一直匀速转动，需增加一水平方向的力  。求从开始到小物块与皮带相对静止的过程中，外力  做功为多少？该过程中产生的热量是多少？

对于这道题目，相信每个同学都非常熟练了。显然，外力  做的功，并不等于物块动能的增量。

其中，小物块的动能增量：  ；

对小物块用动能定理得：   ；

为保持皮带匀速运动，易得  ，则外力做功：  ；

其中  为整个加速过程中，皮带的位移。易得：

则 我们可以看到外力做功并不等于物块的动能增量，而是多出了   。我们都知道多出的这部分功，就是小物块在皮带上滑动时，摩擦生热产生的热量。

这个结论和绳子提起过程中产生热量的数值完全一致！！！

这是巧合吗？我们能否用类比的方法，来理解绳子中产生热量的原理呢？杠精老师认为没得问题撒。

首先我们看到传送带问题中，外力做功较多的直接原因是，皮带位移是物块位移是小物块的两倍，更深层次的原因是一对内力，因为发生相对位移，所以这对内力做负功，而这对内力做负功的值即为产生的热量。

那么，绳子中的这对内力是什么？发生的相对位移是什么呢？我们不妨仍然以已提起  长度时，即将被提起的绳元  为研究对象。

对于已经被提起的  长度绳子，在极短时间  内运动的位移为  ，而  并不是在做匀速直线运动，此处也可以类比于做了匀加速直线运动，发生的位移为  。

我们可以清晰的看到，此时两部分的位移也存在类似于摩擦力做功中的二倍关系。所以在每一段  内，外力多做的功，大小都应该等于线元增加的动能，这里只不过把小物块和皮带之间的摩擦力，换做了绳子之间的拉力，同样是系统的一对内力。证明过程由读者自行完成，不再赘述。

然而，我们在摩擦力模型中，已经知道产生的热量等于摩擦力乘以相对位移，这里绳中的拉力已经确定是这对内力，相对位移在哪里呢？

这也是为什么很多同学，很难意识到绳模型中有能量耗散的原因所在！

这里的相对位移就是上面所提到的  所造成的差值。上面已经提起的绳在同样的时间内，显然比即将提起线元位移大。

这意味着，绳子被拉长了！这段拉长的距离就是相对位移！

而一般情况下，绳子的形变量是极小的，远没有皮带上物块的相对滑动那么明显！这就造成了很多同学非常容易忽略这对内力做功产生热量的事实。

综上，我们已经清楚了绳子绷紧过程中，产生热量的机制和传送带上物体相对滑动产热一致。都是因为系统内一对内力所作的功为负功，而负功的大小对应着系统内机械能的减少，即产生的热量多少。

若把其余类似情况，均简化为匀变速运动，则内力与相对位移的乘积恰好等于动能增加的一半。

至此，我们已经通过类比的方法，定性半定量地理解了为何绳子绷紧会产生热量，会造成系统机械能损失！