巧用“旋转”方法求解一类几何最值问题（费马点问题）【模型1】如图，正方形ABCD的边长为√2，在对角线BD上有一点P，求当PA+PC+PB的
和最小时，则这个最小值为多少？【解析】如图，将△ABP以点B为中心逆时针旋转60o，得到△EBQ，连接PQ，则△BPQ和△ABE
均为等边三角形。设y=PA+PC+PB，则y=EQ+QP+PC，故当y最小时，点E、Q、P、C在同一条直线上。即y的最小值为CE的
长度。过点E作EM⊥BC，交CB延长线于点M，易知，∠EBM=30o，∴EM=√2/2，BM=√3·√2/2=√6/2；∴CE2
=（√2/2）2+（√6/2+√2）2=4+2√3=（√3+1）2，∴CE=√3+1，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为√3
+1。通过求解过程我们发现，点P在不在BD上与结果并无关系，可以认为点P为△ABC内部的一点，当∠ABC=90o，BA=BC=√2
时，PA+PB+PC的最小值仍然是√3+1。于是我们设想当∠ABC为其他特殊角，BA和BC不相等时，PA+PB+PC的最小值可以求
得吗？【模型2】在△ABC中，∠BAC=30o，AB=6，AC=8，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC
的最小值。【解析】如图，将△ABP以点A为中心逆时针旋转60o，得到△AB′P′，连接PP′，则△APP′为等边三角形。则PA+
PC+PB=B′P′+PP′+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B′、P′、P、C在同一条直线上，即PA+PC+PB的最小值为B
′C的长度。易知，∠B′AC=30o+60o=90o，AB′=AB=6，∴B′C=10，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为1
0。【模型3】在△ABC中，∠BAC=60o，AB=2√3，AC=4-√3，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+P
B+PC的最小值。【解析】如图，将△ABP以点A为中心逆时针旋转60o，得到△AB′P′，连接PP′，则△APP′为等边三角形。
则PA+PC+PB=B′P′+PP′+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B′、P′、P、C在同一条直线上，即PA+PC+PB的最
小值为B′C的长度。过点B′作B′D⊥AC，交CA延长线于点D，易知，∠B′AD=60o，∴B′D=2√3·√3/2=3，AD=
√3；CD=4-√3+√3=4，∴B′C=5，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为5。【模型4】在△ABC中，∠BAC=90
o，AB=2√3，AC=3√3-3，点P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。【提示】与【模型1
】情况类似，最小值为√30。.【模型5】在△ABC中，∠ABC=75o，AB=2√2，BC=2，点P为△ABC内一点，连接PA，P
B，PC，求PA+PB+PC的最小值。【提示】如图，通过旋转可知PA+PC+PB的最小值为CD的长度。过点E作EM⊥BC，交
CB延长线于点M，易知，∠DBM=45o。最小值为2√5。2/2 |
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