【原】2021沙特IMO代表队选拔考试题 中文翻译

第一天

1.对非空数集, 设表示中所有元素的乘积. 是否存在一个由个元素组成的集合, 使得对任意, 均有为奇数?考虑一下两种情况:
中所有元素均不为有理数.
中至少有一个元素为有理数.

2.求所有完美数, 使得为的幂.
注:若正整数满足, 其所有正因数的和为,则称为完美数.

3.（选自2020IMO预选题G6）内心为, 角所对的旁心为. 内切圆与边切于点. 直线与交于点, 与交于点. 求证: 外接圆与外接圆相切.

第二天

4.（选自2020IMO预选题C2）一个正边形中, 个顶点被染成黑色, 个顶点被染成白色. 求证: 一定存在个互不相交的凸四边形, 他们的顶点均为该边形的顶点, 且其中任意一个凸四边形有且仅有三个顶点颜色相同.

5.外心为,内心为, 其外接圆半径为. 的外角平分线与交于点. 过作垂线与的垂直平分线交于点.求证: .

6.（选自2020IMO预选题A6）求所有函数 , 使得对任意整数, 均有

第三天

7.（选自2020IMO预选题G1）等腰中, .边上一点满足. 分别在上, 且满足.线段的垂直平分线与线段交于点. 外接圆与外接圆再次相交于点. 若共线, 求证:

8.（选自2020IMO预选题C4） 斐波那契数列 定义为:, 且 for . 对给定正整数, 求元素个数最小的数集, 使得对任意, 一定存在, 满足 .

9.（选自2020IMO预选题N6） 对正整数, 设表示其正因数个数, 表示其中与互素的正因数个数. 求证: 对任意实数 , 一定存在正整数, 使得

第四天

10.（选自2020IMO预选题N1） 给定正整数, 证明: 存在素数, 使得我们可以从集合 中选出互异的正整数, 满足对任意 , 均有被整除.

11.（选自2020IMO预选题A3） 互异的正实数满足. 求的最小值.

12.（选自2020IMO预选题C5） 已知为奇素数, 数 某人逐个将实数任意染成红蓝两色之一. 对任意正整数 设表示 中被染成红色的数的比例.求证: 存在正整数, 使得对任意 均有.