小时候，最喜欢夏天夜晚，可以在门前空地摆一张竹床，躺在上面看星星。那时的天空很透亮，总能看见满天繁星，偶尔瞥见一闪而过的流星，也能幸运地目睹长尾巴彗星。喜欢在繁星中寻找星座，使劲把它们想象成希腊故事中的人物。听老师讲过太阳系的九大行星，幻想着能把它们找出来。 肉眼能看见的行星不多，其中最容易辨认的是金星，它经常在傍晚和清晨挂在地平线上方不远处，闪烁着明亮的光芒，它因此还有两个中国人非常熟悉的名字：启明星和长庚星。 很佩服古人，仅凭肉眼和望远镜，不但能辨别哪些是行星，而且能推断它们的运行周期、轨道形状，甚至计算出“轨道半径在相同时间内扫过的面积相等”。要知道，那时没有权威的理论做指导，所有都是基于观察推测得出，还要与根深蒂固的旧常识发生冲突，难度可想而知。 但即使有了这么多的发现，关于行星运行始终没有一个有说服力的解释。直到牛顿横空出世，他的三大定律和万有引力定律如同照亮黑暗的明灯，一切都清楚了，大到天体运行、潮起潮落，小到苹果下落、炮弹飞行，都能给出准确的计算。今天我们就从牛顿的定律出发，来说说行星轨道为什么是椭圆形的。
万有引力定律告诉我们任何两个物体之间都存在引力，引力大小与两个物体的质量成正比，与距离的平方成反比；牛顿第二定律告诉我们物体运动的加速度与受到的外力成正比，与质量成反比。只要知道这两条，就可以分析行星的运行轨道了。 我们先从熟悉的事物入手。天宫一号（Tiangong-1）大家都知道，它是我国第一个空间实验室，于2011年9月29日发射升空。入轨后，先后与神舟八号、神舟九号和神舟十号飞船完成多次空间交会对接，为我国载人航天发展作出了重大贡献。结束使命后于2018年4月2日坠入大气层。它的轨道接近于最简单的一种情况——圆形。 下面是天宫一号轨道示意图。 天宫一号轨道接近圆形，坐标单位：公里 文章中所有示意图都保持真实比例关系，以给人直观感受。受时间限制，速度除外。 图中蓝色是地球，平均半径6370公里，黄色圆形是天宫一号的轨道，高度约370公里，相比地球半径很小。通过万有引力定律和圆周运动公式计算可得航天器在这样的圆形轨道中运行速度约为7.68公里/秒，与天宫一号实际情况相符。（这里说的计算式为 GM/r2 = v2/r ，中学物理课本和网上都有，就不详细解释了）
下面我们让天宫一号运行到轨道最右边时突然减点儿速度，看看会发生什么。 远地点速度分别为7.68、7.6、7、5公里/秒时轨道的变化 当天宫一号在最右边速度变为 7.6公里/秒时，轨道开始呈现略微椭圆，轨道最左侧近地点距离地面仅 85公里；当 7公里/秒时，轨道已经与地面有交叉了，说明这个速度无法维持天宫一号的运行；当 5公里/秒时，轨道已经呈现明显椭圆形。 因为会撞击地面，所以实际 7公里/秒和 5公里/秒都是无法维持运转的。假设地球在保持质量不变的情况下半径缩小到 1000公里，天宫一号将不会与地面相撞，见下图。 天宫一号离地球越近，速度越快，在近地点，速度达到了 18.61公里/秒！ 这一切是怎么发生的？ 一、卡通版解释 地球与天宫一号的对话说清楚了这一切。 图1 天宫一号以7.68公里/秒速度运行 地球：“你给我过来” 天宫：“我不过去” 地球：“唉，我实在是没力气把你拉得更近” 天宫：“可是我也跑不了更远” 图2 天宫一号降速到 5公里/秒 地球：“嘿嘿，刚才我拉不动你，你现在速度变小了，看我怎么把你抓回来，小样儿” 天宫：“哎呀，不好，我要被地球抓回去了！这里距离地心6740公里，我的速度是5公里/秒，我每公斤身体只能产生0.37公斤的离心力，而地球的拉力是0.88公斤...” 图3 地球：“拉呀拉，拉呀拉呀拉...” 天宫：“我迈着沉重的脚步...” 地球：“越来越近了，一会儿就该坠入大气层了” 天宫：“不能放弃！虽然离地球越来越近，但我的速度也越来越快，我正在积攒力量，一会儿找机会逃走” 地球：“可是离得越近我的拉力也越大呀，一会儿看谁更厉害” 图4 天宫：“我的机会来了，你不能把我拉得更近了” 地球：“啊——，我用力...用力....” 天宫：“近地点距离地心1810公里，我的速度是18.61公里/秒，我每公斤身体能产生约19公斤的离心力，而你的拉力才12公斤。你拉不住我，我走了” 地球：“为什么你的力气增加这么多？” 天宫：“虽然距离越近你的拉力越大，但你的拉力是与距离的平方成反比的；而相比远地点，我在近地点的离心力和距离的立方成反比，所以我逃脱的力量增加得更多” 图5 地球：“我尽力了...” 天宫：“打破玉笼飞彩凤，顿开金锁走蛟龙” 地球：“我会一直拽着你，消磨你的气力，因为与距离的立方成反比的关系，你的离心力减小得比我的拉力快，等你走到远地点，我的机会又来了...” 可能有人不满足于上面的解释：“卡通想怎么画就怎么画，我怎么知道是不是正确？” 二、图形版解释 那咱们就换一个例子。我们知道天体虽然运行轨道都是椭圆形，但偏心率大都很小，例如：月球绕地轨道的平均偏心率是0.0549；地球绕日轨道的偏心率更小，才0.01667；金星为0.006772。不过，八大行星中，水星的偏心率比较大，达到0.205630，为有好的展示效果，我们就选择水星。水星的数据大家都可以查到，便于验证。 水星轨道。远日点6982万公里，速度38.86公里/秒；近日点4601万公里，速度58.96公里/秒 我们用图形来分析分析水星轨道为什么是上面的椭圆形。 仔细观察“太阳-水星”系统，可以发现两个不变的量，一是水星的动能与势能之和，二是水星公转的角动量。 第一个实际是机械能守恒
动能等于水星质量 m 乘以速度 v 的平方再除以 2，即：动能 = 1/2mv2； 以无穷远为 0 基准，势能等于负的引力常数 G 与太阳质量 M 和水星质量 m 的乘积再除以距离 r ，即：势能 = -GMm/r。 所以，水星的机械能 E = 1/2mv2 - GMm/r 第二个实际是角动量守恒
水星角动量等于水星质量 m 乘以角速度 ω 再乘以与太阳距离 r 的平方，即：角动量 W = mωr2 这两个“守恒”都可以根据牛顿定律推导出来，推导过程就不写了。
图A 速度分解 速度 v 可以分解为两个互相垂直的分量，径向垂直分量 vₜ 和径向分量 vₕ （见上图）。 而角速度 ω 乘以距离 r 正等于水星运行速度 v 的径向垂直分量 vₜ，即：vₜ = ωr 所以，水星的角动量又可以表示为：W = mvₜr 远日点水星速度与半径垂直，因此在远日点有：vₕ = 0，v = vₜ 把引力常数G、太阳质量M、水星质量m、水星远日点速度v、远日点距离r的数值代入 E 和 W 的计算式，可以求得： E = -3.78×10³² 焦耳 W = 8.96×10³⁸ 千克*米2/秒 因为 v、vₜ 和 vₕ 是直角三角形关系，所以有：v2 = vₜ2 + vₕ2，因此，我们可以得到任意位置 v2 和 vₕ2 的计算式： v2 = 2E/m + 2GM/r = -2.29×10⁹+2.65×10²⁰/r 米2/秒2 vₕ2 = 2E/m + 2GM/r - (W/mr)2 = -2.29×10⁹+2.65×10²⁰/r - 7.36×10³⁰/r2 米2/秒2 根据上式，可知在水星轨道平面上，任意一点的 vₕ 值都由与太阳的距离决定。我们把 vₕ 表示到3D图形中，用“高度”来表示每个点 vₕ 的值，这些点的 vₕ 值连起来可以得到下面这个“救生圈”形状，任意坐标 (x,y) 处的 vₕ 大小只能是“救生圈”上对应的 (x,y,z) 点的 z 值。
vₕ 的取值分布 把“救生圈”剖开，旋转角度，方便看到细节。无论水星走到哪个位置，其正上方（或下方）“救生圈”表面的点与水星的距离表示的是当前水星径向运动速度 vₕ 的大小。
vₕ 的旋转视图
vₕ 的侧视图
vₕ 的侧面剖视图 上面图中可以看出，vₕ 只在距离太阳4601万公里到6982万公里之间这个范围内有值。这说明水星轨道只能位于距离太阳4601万公里到6982万公里这个圆环带内，否则无法让 E 和 W 保持不变。
只有在距离太阳4601万公里或6982万公里位置 vₕ 才等于 0，说明水星轨道必须与圆环带的内圆和外圆相切，而不能相交；轨道上任意相邻两点的 vₕ 不能跳变，决定了除与圆环带内外圆相切处，其它位置 vₕ 不会改变方向。 可以画出三种符合上述条件的轨道，见下图的轨道1、2、3。
轨道1：黄色实线，以太阳为焦点1，以4601+6982万公里为长轴，以2×(6982-4601)万公里为两焦点距离的椭圆； 轨道2：灰色虚线，以2×6982万公里为长轴，2×4601万公里为短轴，太阳为中心的椭圆，这个椭圆与圆环内外圆分别有两个切点； 轨道3：红色虚线，与近日点和远日点各有一个切点的其它椭圆。 到底哪个才是水星的真正的轨道呢？判断方法很简单。 中学时我们学过，每个椭圆都可以描述成下面形式：
椭圆直角坐标方程。a为长半轴长度，b为短半轴长度（b2 = a2 - c2），c为两焦点距离的二分之一 由这个式子可以得出椭圆上任一点的切线的斜率为：
大家只需按前面的“图A 速度分解”和 vₜ 、vₕ 的计算式，验证三种轨道的关键点切线斜率是否与速度方向一致，就知道哪个是水星的轨道了。 比如：轨道2和轨道1有交点，那么在交点处两个轨道的切线方向不一样，必然至少有一个与水星速度方向不一致；轨道3和轨道1，除了远日点和近日点外的其它任何位置，在相同的太阳距离下会有不同的切线斜率。 经过验证，会发现只有轨道1符合计算结果，因此水星轨道直角坐标公式为：
水星轨道公式（单位：万公里） 三、终极版解释（前方涉及微分方程，考验你的耐心哦~） 可能你还是不满意：图形法解释虽然很直观，但需要先猜测轨道形状，再验证，可是谁也做不到验证轨道上所有的点，因此从逻辑上讲并不严密。 好吧，你说得对。那下面我就祭出终极大招，用纯数学进行推导。没有兴趣阅读的朋友直接跳过吧。 其实行星轨道问题用到的物理定律非常少，给人的第一感觉是：
等动手开始计算，内心却很崩溃，我也不例外：
根据万有引力定律和牛顿第二定律，我们可以轻松列出一堆式子：
这些式子列时简单，但想解开它，得出用 x、y 表示的轨道方程，你会发现极为困难。 其实，要列出方便求解的式子，还是离不开前面说到的 E、W。 前面已经得到一个重要的式子：vₕ2 = 2E/m + 2GM/r - (W/mr)2，答案就在这里。
这个表达式是中学学过的圆锥曲线极坐标形式，当 e < 1 时，就是椭圆的极坐标形式，e 是椭圆的偏心率。 分别取 θ=0 和 180º，得到远日点距离 r₁ 和 近日点距离 r₂，取：
就可以得到与图形版解释完全相同的水星轨道直角坐标方程：
解释完毕！ 大家看到数学的威力了吧？最简单方便、清晰明了、没有歧义的解释方法就是数学推导。 四、历史上行星轨道研究相关的重要人物 前面说了这么多烧脑的东西，下面说点儿轻松的。 行星运行大概是上帝有意留给人类的一把钥匙，上帝深谙人性，知道人类永无止境的好奇心会带领他们沿着他指引的方向走下去。 从古至今，众多杰出的人物为行星运行规律研究做了重大贡献，取得的成果应用到现代科学和现代工程中，成为科技进步的重大推动力，这样的杰出人物覆盖古今中外。不过客观地说，中国古代对行星运行的研究没有形成体系，现代天体运行理论体系主要还是由国外学者所构筑。 下面介绍四位重要人物和他们的成就。 （一）开普勒 约翰尼斯·开普勒（1571年12月27日—1630年11月15日），德国天文学家、数学家与占星家。 在当时大多数科学家拒不接受哥白尼的日心说的情况下，开普勒在图宾根大学学习期间，听到哥白尼日心说所做的合乎逻辑的阐述，很快就相信了这一学说。他根据长期研究，发现了行星运动三大定律，分别是：轨道定律、面积定律和周期定律。这三大定律分别为：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上运行；在同样的时间里行星向径在轨道平面上所扫过的面积相等；行星公转周期的平方与它同太阳距离的立方成正比。这三大定律最终使他赢得了“天空立法者”的美名。 解释开普勒三大定律并不困难，你有兴趣尝试一下吗？ （二）牛顿 艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日），英国皇家学会会长，英国著名的物理学家。 牛顿1687年发表的《自然哲学的数学原理》对万有引力和三大运动定律进行了描述，奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。 （三）拉普拉斯 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（1749年3月23日—1827年3月5日），法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。 1773年到1776年，拉普拉斯根据牛顿的引力理论，利用微分方程计算了天体运动，解决了行星在多体运行干扰下的进动问题。1786年，拉普拉斯完成了多体运动的计算，证明了多体运动相互影响所造成的行星进动的数量级与其循轨运动相比不仅非常微小，而且是可以“自我修复”的，因而整体太阳系是稳定的。他1789年出版的《天体力学原理》一书，使天文学从“观测”飞跃到了理论研究，既使数学开创了理论天文学，也使天文学成为应用数学发展的突破口。 （四）爱因斯坦 阿尔伯特·爱因斯坦（1879年3月14日—1955年4月18日），现代物理学家。 天文测量发现水星轨道绕太阳逆时针转动而不封闭，这就是水星轨道进动。而根据牛顿万有引力定律计算的水星近日点进动值与观测值存在每世纪 43"的差值。1916年，爱因斯坦发表著名的广义相对论，成功地解释了这个问题，根据广义相对论计算的水星轨道进动值与观测值十分接近，成为天文学对广义相对论最有力的验证之一。
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