平面几何联赛真题讲解（2017A卷）

数学竞赛

备考高中数学联赛，做真题必不可少，这一段时间，我会针对平面几何模块历年真题进行具体解读，希望能给爱好数学竞赛的您带来帮助！（关于真题题型与考法，请参考文章高中数学竞赛大纲）

我们来看一看17年A卷的这道题：

（解答数学题，没有无缘无故的条件，也没有无缘无故的结论）

本题乍一看，感觉条件很麻烦，圆多了观察图形就复杂了，我们先看看关键点有哪些：

“AB=AC”，“内心I”，

“圆”，“交点”，“BR⊥RC”

由于本题并不涉及具体角度，而结论要证明直角，那么研究方向既要考虑等腰三角形及其内心，又要考虑圆衍生出的角度关系，还要适当考虑结论角的构成，因此我们分正、反两个方向进行。

正向：

A、等腰三角形及其内心

  等腰△ABC中AB=AC，故∠A+∠B+∠C=∠A+2∠B=180°，

  若要转化出直角，可能方向为

  ½（∠A+∠B+∠C）=½∠A+∠B=90°；

  内心为角平分线交点，且∠BIA=90°+½∠C，

  ∠BIC=90°+½∠A，∠CIA=90°+½∠B，

  由于本题图中不涉及切点，其他角度无法看出。

B、圆衍生的角

  三个圆我们用①②③表示，

  ①和②知道圆心，会有圆心角与对应圆周角的二倍关系，并且如果有两半径构成的三角形，则该三角形为等腰三角形；这两个圆的圆上只出现了3个点，在不附加辅助线的情况下没有圆内等弧对等角情况；

  ③不知道圆心，但是圆上有四个点，涉及四点共圆相关等角关系；

  这三个圆均不涉及切线，相关弦切角暂不考虑。

反向：结论垂直如何转化

  R点为③内两弦延长所得交点，∠BRC不在圆上，这类题在计算其角度时都要进行转化计算，要证明∠BRC=90°，只需证明∠BRI+∠IRC=90°，或证明∠RBC+∠BCR=90°。

综合上述分析，我们连接一些必要的线：

（我们以等腰三角形△ABC为出发点分析，∠BAC为∠A，∠ABC为∠B，∠ACB为∠C）

通过图形，我们发现∠RBC+∠BCR=90°的分析在不添加新点或新辅助线的情况下，不容易进行，所以我们把∠BRI和∠CRI的转化作为重点进行分析。

观察图像，我们发现I，P，R三点共线，B和C分居两侧具有对称性，BPC在①上，我们先梳理一下BPCI涉及的四个角。

∠BPC=180°-½∠A，∠BIC=90°+½∠A，我们意外发现在四边形BPCI中，∠IBP+∠ICP=360°-∠BPC-∠BIC=90°，再根据图形的对称特点，我们尝试将∠BRI和∠IRC转化成∠IBP和∠ICP。

∠BRI和∠IBP：若两角相等，结合公共角∠RIB（∠BIP），则△BRI∽△PBI，那么两个三角形的第三对角∠IBR和∠IPB是否相等，就是我们的研究方向。利用四点共圆和等腰三角形，这个问题便可以解决。

∠IRC和∠ICP：由于上述两角相等，则这对角必相等。△CRI和△PCI有一对公共角∠CIR（∠PIC），故△CRI和△PCI必相似，证明相似两个途径：∠ICR=∠IPC或者CI：IR=PI：IC。由于∠ICR在图中并没有特殊性（不添加新辅助线），故证明方向应考虑边对应成比例。比例关系中I、P、R正好也在第一组相似关系中，并且IC=IB可以转化，故这个问题亦可以解决。

我们梳理一下证明过程：

本题证明过程中的第一个难点，是将∠BRP和∠CRP转化成∠IBP和∠ICP，第二个难点是证明上述转化。与圆相关的三角形的相似证明，需要对等角有观察力，需要练习积累经验，而相似三角形的证明中，SAS型最难想到。因此，本题的证明方法是一种需要我们掌握的特别方法。数学能力的提升，既需要日积月累，也需要“灵光一现”，所以还是希望读者多思考，多练习，多积累。

平面几何模块，是高中数学联赛加试中，相对较容易得分的模块。想要在数学联赛中获得二等奖以上成绩，做对此题绝对“物超所值”。尤其在竞赛整体水平较弱地区，一试70+，加试做对平面几何，一等奖就会向你招手。虽说获奖不是我们学习竞赛的初衷，但是不拿点奖，怎么能证明我们认真学过呢？竞赛学习，贵在坚持，希望我的一点点经验能够给您带来帮助！