交叉熵损失(Cross-entropy)和平方损失(MSE)究竟有何区别？

520jefferson 2021-10-01

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一、概念区别

1. 均方差损失函数（MSE）
简单来说，均方误差（MSE）的含义是求一个batch中n个样本的n个输出与期望输出的差的平方的平均值

2. Cross-entropy（交叉熵损失函数)
交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况。它刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近。

二、为什么不用MSE（两者区别详解）

原因 1：交叉熵loss权重更新更快

1. MSE

比如对于一个神经元（单输入单输出，sigmoid函数）,定义其代价函数为:

C=\frac{(y-a)^{2}}{2}

其中

C

是损失，

y

是我们期望的输出(真实值target)，

a

为神经元的实际输出(输出值)

z=w x+b，a=\sigma(z)

在训练神经网络过程中，我们通过梯度下降算法来更新

w

和

b

，因此需要计算损失函数对

w

和

b

的导数：

\frac{\partial C}{\partial w}=(a-y) \sigma^{\prime}(z) x =(a-y)a(1-a)x \approx a \sigma^{\prime}(z)

\frac{\partial C}{\partial b}=(a-y) \sigma^{\prime}(z) =(a-y)a(1-a) \approx a \sigma^{\prime}(z)

（其中 $x$ 和 $y$ 都是已知量，因为网络输入都是以 $(x_i,y_i)$ 形式输入的，所以上式直接的 “≈” 把 $x$ 和 $y$ 略去了）

而后更新 $w$ 和 $b$ ：
$w = w-\eta \frac{\partial C}{\partial w}=w-\eta a \sigma^{\prime}(z)$ $b = b-\eta \frac{\partial C}{\partial b}=b- \eta a \sigma^{\prime}(z)$

因为sigmoid函数的性质，如图的两端，几近于平坦，导致

\sigma^{\prime}(z)

在

z

取大部分值时会很小，这样会使得

w

和

b

更新非常慢（因为

\eta a \sigma^{\prime}(z) =>0

）。

再定量解释如下：

在上式

\frac{\partial C}{\partial w}=(a-y) \sigma^{\prime}(z) x =(a-y)a(1-a)x \approx a \sigma^{\prime}(z)

a) 当真实值 $y=1$

若输出值

a=1

，则

\frac{\partial C}{\partial w}=0

若输出值

a=0

，则

\frac{\partial C}{\partial w}=0

b) 当真实值 $y=0$

若输出值

a=1

，则

\frac{\partial C}{\partial w}=0

若输出值

a=0

，则

\frac{\partial C}{\partial w}=0

也就是平方损失（MSE）的梯度更新很慢，如下图所示

这就带来实际操作的问题。当梯度很小的时候，应该减小步长（否则容易在最优解附近产生来回震荡），但是如果采用 MSE ，当梯度很小的时候，无法知道是离目标很远还是已经在目标附近了。（离目标很近和离目标很远，其梯度都很小）

2. Cross-entropy

为了克服上述 MSE 不足，引入了categorical_crossentropy（交叉熵损失函数）

1）二分类 Binary Cross-entropy

激活函数为 sigmoid
$f(z)=\frac{1}{1+\exp (-z)}$ 损失函数：

或者简写成：

$C=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \ln a+\left(1-y_{i}\right) \ln(1-a) \right]$ 其中 $z=wx+b$ ， $a=\sigma(z)$ ， $N$ 表示样本数量。

同样求导可得：

\frac{\partial C}{\partial b}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\sigma(z)-y)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (a-y)

证明如下：
$\begin{aligned} \frac{\partial C}{\partial w_{j}} &=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{y}{\sigma(z)}-\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)}\right) \frac{\partial \sigma}{\partial w_{j}} \&=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{y}{\sigma(z)}-\frac{(1-y)}{1-\sigma(z)}\right) \sigma^{\prime}(z) x_{j} \&=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{\sigma^{\prime}(z) x_{j}}{\sigma(z)(1-\sigma(z))}(\sigma(z)-y) \&=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{j}(\sigma(z)-y) \end{aligned}$ 其中, $\sigma^{\prime}(z)=\sigma(z)(1-\sigma(z))$

因此， $W$ 的梯度公式中原来的 $\sigma^{\prime}(z)$ 被消掉了，所以导数中没有 $\sigma^{\prime}(z)$ 这一项，权重的更新是受 $(a-y)$ 这一项影响（表示真实值和输出值之间的误差），即受误差的影响，所以当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。

2）多分类 Categorican Cross-entropy

激活函数为 softmax
$\sigma(\mathbf{z}){j}=\frac{e^{z{j}}}{\sum_{k=1}^{K} e^{z_{k}}}$ 可以看作是Sigmoid的一般情况，用于多分类问题。损失函数：

$C = -\sum_{i=1}^{k} {y}{i} \ln a{i}$ 后续分析类似。

3. 补充 Cross-entropy 的缺点

sigmoid(softmax)+cross-entropy loss 擅长于学习类间的信息，因为它采用了类间竞争机制，它只关心对于正确标签预测概率的准确性，忽略了其他非正确标签的差异，导致学习到的特征比较散。基于这个问题的优化有很多，比如对softmax进行改进，如L-Softmax、SM-Softmax、AM-Softmax等。这些在本篇不展开讨论。

原因 2：MSE是非凸优化问题而 Cross-entropy 是凸优化问题

1.MSE

我们从最简单的线性回归开始讨论：
线性回归（回归问题）使用的是平方损失：

$\begin{aligned} {L}{(\omega, b)}&=\frac{1}{2 N} \sum{i=1}^{N}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2}=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\omega x_{i}-b\right)^{2} \end{aligned}$ 因为这个函数 ${L}{(\omega, b)}$ 是凸函数，直接求导等于零，即可求出解析解，很简单。但是对于逻辑回归则不行（分类问题）【注意：逻辑回归不是回归！是分类！！】。因为如果逻辑回归也用平方损失作为损失函数，则：

$\begin{aligned} {L}_{(\boldsymbol{w})}&=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(f\left(x_{i}\right)-y_{i}\right)^{2} \&=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\sigma(z)\right)^{2} \&=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\sigma(\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x})\right)^{2} \&=\frac{1}{2 N} \sum_{i=1}^{N}\left(y_{i}-\frac{1}{1+e^{-(\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x})}}\right)^{2} \end{aligned}$ 其中 $N$ 表示样本数量。
上式是非凸的，不能直接求解析解，而且不宜优化，易陷入局部最优解，即使使用梯度下降也很难得到全局最优解。如下图所示：

2.Cross-entropy

而，Cross-entropy 计算 loss，则依旧是一个凸优化问题。

以下进行详细说明和推导：

逻辑回归模型进行学习时，给定训练集 $T=\left\{\left(\boldsymbol{x}_{1}, y_{1}\right),\left(\boldsymbol{x}_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(\boldsymbol{x}_{N}, y_{N}\right)\right\}$ ，其中 $\boldsymbol{x}_{i}=\left[\begin{array}{c}x_{i}^{(1)} \\ x_{i}^{(2)} \\ \vdots \\ x_{i}^{(n)}\end{array}\right] \in \mathbf{R}^{n}, \quad y_{i} \in\{0,1\}$ ，可以应用 极大似然估计 估计模型参数，从而得到逻辑回归模型。设：

P(Y=1 | \boldsymbol{x})=\pi(\boldsymbol{x}), \quad P(Y=0 | \boldsymbol{x})=1-\pi(\boldsymbol{x})

似然函数：

\prod_{i=1}^{N}\left[\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{y_{i}}\left[1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}

对数似然函数为：

\begin{aligned} L(w) &=\log \left[\prod_{i=1}^{N}\left[\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{y_{i}}\left[1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}\right] \&=\sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log \pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \&=\sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log \frac{\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}{1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)}+\log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \&=\sum_{i=1}^{N}\left[y_{i}\left(\boldsymbol{w} \cdot \boldsymbol{x}_{i}\right)-\log \left(1+e^{w \cdot \boldsymbol{x}_{i}}\right)\right] \end{aligned}

接下来求

L(w)

的极大值，从而得到

w

的估计值。这样一来，问题就变成了以对数似然函数为目标函数的最优化问题，逻辑回归中通常的方法就是梯度下降法和拟牛顿法。极大似然函数是求极大，取个相反数，再对所有

N

个样本取平均，即得到逻辑回归的损失函数：

$\begin{aligned} L(\boldsymbol{w}) &=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[-y_{i} \log \pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)-\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \&=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log \pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right)\right] \end{aligned}$ 并且这个损失函数 L(w) 是凸函数，没有局部最优解，便于优化。

以下是直观理解：
$L(\boldsymbol{w})=\left\{\begin{aligned} -\log \left(\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right) & \text { if } y=1 \-\log \left(1-\pi\left(\boldsymbol{x}_{i}\right)\right) & \text { if } y=0 \end{aligned}\right.$ 其中：