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1、 鸡兔同笼问题：  所有兔子抬起两条腿 题目：笼子里有鸡兔若干，数头有35，数脚有94，问有鸡和兔各多少？ 巧妙思路1：命令所有兔子抬起两条腿，那么地上有35×2=70条腿，抬起了94-70=24条腿，这24条腿是所有兔子抬起的，每只兔子抬起两条腿，24条腿就有12只兔子。 巧妙思路2：命令所有动物都抬起两条腿，那么一共抬起了70条腿，剩下24条腿，这24条腿是兔子多出来的，每只腿子多两条腿，所以兔子数是12。 总结：这两种思路也叫抬腿法，其实就是假设法的直观理解。 2、 空瓶换酒问题  题目：一瓶汽水3元钱，6个空瓶可以换一瓶汽水，五一班有50名同学，需要花多少钱刚好每人喝到一瓶汽水？ 巧妙思路：同学们只喝汽水，不要空瓶，所以花钱最终是花在了喝水上，空瓶的钱不算。 一瓶汽水=3元 6个空瓶=1瓶汽水=3元 所以每个空瓶=0.5元 一瓶汽水=一个空瓶+一份汽水 所以一份汽水=3-0.5=2.5元 全班有50人，需要50×2.5=125元 总结：喝的是水，付钱买水，和瓶子无关。 3、 和差问题  题目：甲乙两仓库共存米60吨,从甲仓库运6吨米到乙仓库,两仓库米正好相等,求原来两个仓库各存米多少吨? 这是一道和差问题,常规方法先找到两仓库的和与差,通过公式 :多=(和+差)÷2; 少=(和-差)÷2 方法一: 两仓库的和是60,两仓库的差是12。 甲=（60+12）÷2=36 乙=（60-12）÷2=24 方法二：逆向思维。既然现在相等了，那现在两仓库都是30吨，甲仓库是运出6吨变成30吨，所以甲仓库原来是36吨，乙仓库是得到6吨后变成30吨，所以原来是24吨。 4、 盈亏问题 题目：花园小学学生春游，如果每辆车坐60个学生，则有15人上不了车，如果每辆车坐65人，就恰好多出一辆车，问有多少学生多少辆车？ 这是典型的盈亏问题： 巧妙思维一：第一种方案，每辆车坐60人，有15人坐不下，第二种方案，每辆车坐65人，正好多出一辆车，也就是说如果这辆车也坐65人的话，就可以多坐65人。 两种方案一对比，方案二不仅把方案一坐不下的15人坐下了，还可以额外坐65人，说明方案二比方案一多坐65+15=80人，为什么会多出来80人呢，因为每辆车多坐了5人，所以车有80÷5=16辆 学生有（16-1）×65=975人 巧妙思维二：既然第二种方案多出来一辆车，我们就从这一辆车入手。最后这一辆车本来做了60人的，因为每辆车可以多坐5个人，所以这辆车的60人全部分配到其他车，另外15人也分配到其他车。一共75人分配到其他车刚好分配完。所以除了最后多出来这辆车还有75÷5=15辆车 加上多出来的这两车就是16辆车。 学会这样的分析方法，做应用题就不需要记公式了。 5、 相遇和追及问题 相遇和追及统称为路程问题，主要区别是跑得方向和速度大小有区别，无论怎么跑，万变不离其宗，归根到底是考察路程=速度×时间 这个公式。 对于相遇问题：总路程=速度和×时间 对于追及问题：路程差=速度差×时间 题目1：甲乙两辆汽车分别从AB两地相对开出，两辆车速度不同并且始终保持匀速。第一次相遇时离A地80千米，两车到达BA两地后立即返回，在距离A地50千米处再次相遇，两地相距多少千米？ 方法：首先，对于路程问题，画线段图是特别重要的。  如图，甲乙第一次相遇距离A点80千米，说明第一次相遇，甲乙共走了一个全程，甲走了80千米。第二次相遇，甲乙共走了3个全程，那么甲就走了3个80千米，此时距离A点50千米。所以甲走的240千米加上50千米就等于两个全程，所以一个全程=290÷2=145千米。 题目2：甲汽车每小时行驶80千米，乙汽车每小时行驶90千米，两车同时从同一地点向同一方向开出，两小时后，乙车返回取东西，取东西花费半小时，然后出发，问距原地多少千米处追上甲车？ 本题看似复杂，又是返回又是停留，我们要通过分析把复杂问题简单化。乙车开出两小时返回两小时找东西花了半小时，也就是说这4个半小时乙车浪费了，还在原地，而甲车已经开车4个半小时，这4个半小时甲车跑了80×4.5=360千米。问题就简化了，甲乙相距360千米，甲的速度是80千米，乙的速度是90千米，问乙多长时间追上甲？追及时间=路程差÷速度差=36小时，乙的路程=36×90=3240千米。所以在距原地3240千米处追上甲。 6、 公倍数问题 题目：三年级同学野炊，老师让学生准备碗筷，要求三个人一个汤碗，两个人一个菜碗，一个人一个饭碗，一共需要220个碗，问三年级一共有多少学生？ 巧妙思路：先找到1、 2 、3的最小公倍数6 。6个人需要6个饭碗，2个汤碗，3个菜碗，共需要11个碗。也就是把6个人分成一组，每6个人需要11个碗，一共需要220个碗，说明共有220÷11=20组 所以学生有20×6=120人 7、 时钟角度问题 题目：5时40分，时针与分针角度是 （ ） 要解决时钟角度问题，首次按要知道分针每小时走一圈，360度，每分钟走360÷60=6度 时针每小时走一大格，1/12圈 ，360÷12=30度，每分钟走30÷60=0.5度 （关键知识点需要记住） 小时刻度把钟表分成12大格，每一格30度，分钟刻度把钟表分成60小格，每一格6度。 每一大格里有5小格。  分析：如图，先画出时针分针位置，时针分针角度=5和8的夹角—角度1， 5和8对的夹角=30×3=90度， 角1的度数是时针从5走到当前位置所走的角度，也就是时针走了40分钟的度数，等于40×0.5=20度， 所以时针分针夹角=90-20=70度。 8、 鸽巢问题  1、 7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里？ 分析：如果每个鸽舍只飞进1只鸽子，最多飞回5只鸽子，剩下2只鸽子还要飞进其中的一个鸽舍或分别飞进其中的两个鸽舍。所以至少有2只鸽子飞进同一个鸽舍。 2、 8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有几只鸽子要飞进同一个鸽舍里？ 分析：每个鸽舍飞进2只鸽子，共飞进6只鸽子。剩下2只鸽子还要飞进其中的1个或2个鸽舍，所以，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里。 总结:鸽子数÷鸽巢数=n 余 m 至少有几只鸽子飞进同一个鸽巢，没有余数就是n，有余数就n+1. 题目：一个班有50个学生，那么至少有几人的生日是同一个月？ 通过上面的分析，我们很快得出答案：50÷12=4余2 有余数4+1=5个人。 9、 植树问题 植树问题其实质是考察线段的段数和端点数的问题。我们先画一个线段，分析一下线段的特点。  注意线段有几段，有几个点 这是一个线段，先数一下这个线段有几段，有几个端点。数一数就会发现，段数是5，端点数是6。这个特点很重要。 首先要明确，我们要种树的话，是种在端点上的，也就是说如果这个线段每段长1米，一共是5米，每隔1米种一棵树，实际上是可以种6棵树的。 然后我们还能发现，如果我们要把一根线段分成两段，需要切一刀，分成3段，需要切2刀，分成5段，需要切4刀，为什么呢，我们看到图上的线段，除了两头的两个点，中间有4个分割点，要把线段分割开，我们只需要切割中间的点就可以了。 了解了上面的两个重要知识点，就可以做题了。 题目1：在一条路的一侧从头到尾种树，每隔15米种一颗树，一共种了31棵树，这条路有多长? 分析：一侧、从头到尾也就是两端要种树。31棵树就是31个端点，30个线段，所以长度是（31-1）×15=450米 题目2：每层楼有16个台阶，小红从1楼到4楼需要走多少个台阶？ 本题需要求得是线段数。1楼到4楼是3段，所以要走16×3=48个台阶 题目3：把一根木头锯成5段需要20分钟，锯成10段需要多少分钟？ 分析：锯成五段，需要锯4次，每次5分钟，锯成10段需要9次，5×9=45分钟 10、 行船问题 甲乙两港间的水路距离208千米，一艘船从甲到乙，顺水8小时到达，从乙到甲，逆水13个小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？ 分析，顺水速度快，逆水速度慢，因为顺水速度是船的静水速度加上水流速度，逆水速度是船的静水速度减去水流速度。 所以本题是路程问题和和差问题的一个结合。 顺水速度=静水船速+水速=208÷8=26 逆水速度=静水船速-水速=208÷13=16 所以静水船速=（26+16）÷2=21 水流速度=26-21=5 |
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