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利用库仑定律推导出高斯定律,电与磁之间相互作用的基本方程

2021-10-12  老胡说科学

在经典电磁学的世界里,我们可以通过四个基本方程(即麦克斯韦方程)来理解电与磁之间的相互作用。这些方程最初是由詹姆斯-克拉克-麦克斯韦在19世纪得出的,发表在他著名的论文《论物理力线(On Physical Lines of Force)》中,作为对迈克尔-法拉第关于电磁学的所有经验观察的回应,这些方程构成了现代电信、电路等的基础。推导麦克斯韦方程并非易事,但对于物理学和电气工程专业的学生,或者任何喜欢看数学运算的人来说,这是非常不错的。在这篇文章中,我将介绍推导其中一个方程的数学方法,也被称为 "高斯电场定律",数学上写为:
它告诉我们关于电场的信息。
我们将从库仑定律来开始我们的推导。让我们考虑空间中的两个电荷,即q1和q2。从经验观察中得知,这种电荷之间的静电力与它们之间的距离的平方成反比,与两个电荷的乘积成正比。我们可以把它写成公式(1)如下:
  • 式1
其中k是一个常数,与介质的介电常数有关。
  • 式2
矢量r12实际上是电荷1和2的位移矢量之差,或者简单地说:
  • 式3
使用单位矢量的定义为:
  • 式4
我们现在把库仑力项写成:
  • 式5
现在,根据牛顿第三定律,我们知道,力有大小相等方向相反的反作用力,因此我们可以写出:
  • 式6
此外,由于电场E对电荷q施加的力被定义为F=qE。因此,我们将电场表示为:
  • 式7
这实际上意味着什么呢?它意味着电荷q2对电荷q1所产生的电场E1只取决于q2的大小。这个符号可能看起来很混乱,但我们可以记住这一点,因为电场应该总是从正电荷向外指向,因此如果我们测量正电荷q2周围的电场,那么电场线将沿着矢量r12指向(即从q2指向q1)。很多教科书都喜欢把这个符号去掉,而写成:
  • 式8
但必须注意避免混淆。因为来自正点电荷Q的电场线是径向向外的(对于负电荷来说向内),所以电场具有完美的球形对称性。根据牛顿第二定律(F=ma),我们知道作用在物体上的净力是所有作用在物体上的力的总和,在电荷情况下,我们可以轻松写出:
  • 式9
通过同样的推理,我们可以把某个任意空间中所有电荷所产生的总电场写为:
  • 式10
因此,在没有任何其他力的情况下,电场总是沿着力的方向。这个相当微不足道的发现得出了一个更重要的结果:如果我们用一个连续的电荷量来代替离散的电荷空间q,称为电荷密度𝝆(r),单位为C/m^3(注意,电荷是一个离散的量,但对于大量的电荷,我们可以用积分来近似求和),我们把从位置r出发的所有坐标r '的积分写出来:
  • 式11
因此,只要我们知道电荷密度函数𝝆(r)是什么,就有可能计算出任何电荷分布引起的电场。
现在我们已经得出了电场E(r)作为连续电荷密度(r)的函数的一般表达式,我们可以开始思考对E(r)进行数学运算时会发生什么。例如,让我们把公式(11)中的场散度作为例子
  • 式12
方程右侧的散度算子可以自由地放在三重积分的内部或外部,因为散度和积分算子都是线性的(例如,如果你把积分看成是一个和,那么一堆函数之和的发散与那一堆函数的发散之和相同)。我们注意到,由于散度算子是相对于r而不是r'作用的,所以函数𝝆(r')可以移到散度算子之外,即我们把方程改写为:
  • 式13
现在,我们要解决这个问题,只需知道散度项:
  • 式14
被化简成什么。为了做到这一点,我们将援引散度定理,即
  • 式15
这基本上意味着某个函数的散度的体积积分与该函数沿一组法向量n的表面积分相同,这些法向量总是垂直于表面元素dS。现在假设我们选择一个半径为R的球体,那么就会发现,表面的单位法向量总是从球体的径向向外指向,这样就可以写出:
另外|r-r'|=R。现在,球面坐标中的表面积元素为:
  • 式16
这意味着散度积分化简为:
  • 式17
这个相当令人惊讶的结果有一个非常特殊的含义:式(14)中的散度项必须等于某个函数,该函数在被积分后等于常数4𝛑。具有这种性质的一个函数是狄拉克δ函数(Dirac-delta function),即:
  • 式18
因此,这表明我们可以定义:
  • 式19
得到的结果是:
  • 式20
因此,我们现在得到了高斯定律的理想方程:
  • 式21:高斯定律的微分形式
在微分形式中,这个方程告诉我们,通过一个无限小的空间体积的场E的量(我们把它表示为dV)等于该局部区域的电荷密度,除以自由空间的介电率。通过以积分形式观察,可以获得更好的理解:让我们把两边相对于一个体积进行积分:
  • 式22
右边的积分只不过是体积V内的总电荷Q。然后,利用散度定理,我们把左边的积分变成一个表面积分:
  • 式23:高斯定律的积分
这里,场的总通量E等于表面S所包围的电荷总量。为了证明这一点,我们将考虑以原点为中心的点电荷Q所产生的电场,其三维场在球面坐标中的方向是径向向外的(这是我们之前用库仑定律得出的表达式):
  • 式24
并选择一个以原点为中心的固定半径为R的球面,与之前相同的面径向向外:
我们得到:
这个定律最重要的结果是,不管我们把表面S放在电荷Q周围的什么地方,电通量总是相同的,即使场线没有与表面法向量对齐。因此,通过任意表面S的电通量只取决于所包围的电荷Q。举一个例子,假设我们有一个电荷在空间的离散分布,如Q=所有q的总和。那么,从它们周围的一个任意封闭表面S出来的总电通量是:
  • 式25:电通量
还应注意的是,表面内的负电荷会消除电通量。考虑一个由两个相等和相反的电荷q和-q组成的简单偶极子。对于它们周围的任何任意表面,很容易表明净电通量为零
然而,如果我们通过在每个电荷周围放置两个互不相干的表面来计算其周围的总电通量,我们就会发现,这些电通量将是大小相等方向相反的,即:
因此,由n个子区域组成的区域Ω中的总电通量,都被围在Ω内,只不过是该区域内所有单个电通量的总和。
  • 式26
高斯的电场定律推导到此结束。


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