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黎曼假设的实分析视角,非数学专业也能理解这个最著名的数学难题

2021-10-15  老胡说科学
它被称为 "数学的圣杯",毫无疑问,它是数学中最难、最著名的问题之一。在这篇文章中,我将首先给出一个经典的问题描述。稍后我将在不使用复数解析延拓理论的情况下陈述这个问题,希望能让更多人了解这个美丽的问题。
没有理由把这颗数学明珠的美丽隐藏起来,只留给有具有专业数学知识的人。

经典问题陈述‍

黎曼假设是关于黎曼Zeta函数的,所以首先需要了解zeta函数。
黎曼Zeta函数被定义为以下复数全纯函数(complex holomorphic function
请注意,这个Zeta函数的定义只对实部大于1的复数有效,这是为了确保数列的收敛性。
然而,通常当我们谈论黎曼Zeta函数时,我们指的是解析延拓黎曼Zeta函数,它的域是所有的复数,除了1(这是一个简单极点)。
因此,我们可以把上述定义看作是给出了限定在半平面Re(s) > 1的黎曼ζ函数的表达式。
欧拉(Leonhard Euler)表明,这个函数在素数上有一个无限的乘积展开式:
  • 这里用ℙ表示素数的集合。
这种关系贯穿了整个理论,并将zeta函数的解析性质与素数的分布联系起来(在这种情况下被视为自然数的有序子集)。
这使得黎曼zeta函数理论就像数论和复分析之间的交集。
例如,素数定理最容易、最简单、在我看来也是最优雅(已知)的证明,它指出素数的数量大致以x/ln(x)的形式增长,使用的是 zeta函数。
事实上,可以证明素数定理(或多或少)等同于zeta函数在Re(s)=1上没有零的事实。尽管它在上述直线上没有任何零点,但解析延拓的ζ函数有无穷多个零点,就是方程zeta(s) = 0的解。这些零点很重要,因为它们告诉我们素数是如何分布的。
因此,我们非常想知道这些零点在复平面的位置。从某种意义上说,这将给我们提供关于素数增长的最佳约束。
我们知道,零点分为两类。一类被称平凡零点( the trivial zeros)。这些都是负的偶数。也就是:
另一类零点被称为非平凡零点(the non-trivial zeros。所有非平凡零点必须有一个介于0和1之间的实数部分,这一点已经被证明。事实上,一旦我们知道Re(s)=1和Re(s)=0这两条线上没有零点,就很容易证明。
我们有欧拉积,表明在半平面Re(s)>1上没有零点,而且有一个函数方程:
这就得到了sin项在负偶数处的平凡零点。这个函数方程是由波恩哈德·黎曼在1859年的一篇简短但具有突破性的论文中证明的。
在同一篇论文中,黎曼本人实际计算了前几个非平凡零点,并注意到所有这些零点都位于一条直线上,即垂直线Re(s)=1/2。
这就引出了著名的假说:

黎曼假说

zeta函数的所有非平凡零点都有实部1/2。

这个问题自1859年以来一直困扰着数学家。没有人知道如何证明(或证伪)这个说法。

黎曼假设有许多等价的表述。其中大多数涉及复分析或对素数理论及其复杂见解,而我们离回答这些问题还有很长时间,如素数的精确分布。
我的观点是,通过仅用实数分析,而没有数论或全纯函数来做等价,可能会让更多的人对这个探索感兴趣。
这种方法的起点将是考虑一个相关的函数,然后将其分成实数和复数部分。最后,我们将进行一些运算,创造一个与黎曼假设等价的问题。
狄利克雷Eta函数(The Dirichlet Eta Function
正如我在上面简要地提到的,Zeta函数的级数定义将只给出在半平面Re(s)>1的收敛性,这对于研究零点是非常无用的,因为感兴趣的零点位于临界带0<Re(s)<1。
幸运的是,有一个非常有趣的相关函数叫作狄利克雷函数。它的定义如下:
级数这其实并不明显。这种形式的级数被称为狄利克雷级数,它们都有一个所谓的收敛余数alpha。
对于一个特定的狄利克雷级数,收敛alpha的横坐标是一个实数,它标志着收敛半平面和发散半平面之间的极限。形式上,如果Re(s) > alpha,则级数收敛。
非正式,由于eta函数的级数对于任何实数s>0都是收敛的,而对于实数s≤0则是发散的,所以收敛的横坐标必须是0。
此外,我们可以检查一下,eta函数和zeta函数满足以下函数方程:
这很有意思,因为我们从这个方程中立即看到了关于eta函数的零点的一些事实。
首先,eta具有zeta所具有的所有零点。此外,η在Re(s)=1的直线上有无限多的零点,这来自于上面的第一个因素。
有趣的是,我们知道zeta函数的所有非平凡零点所在的关键地带,eta函数也有完全相同的零点。
换句话说,对于eta函数也有一个黎曼假设。这说明所有eta的非平凡零点(指临界带内的零点)都有实部1/2。
这等同于一般的黎曼假设,但eta函数的级数定义在临界带内是有效的。而Zeta的数列定义则不然。
让我们把eta函数分成它的实部和虚部。
由于s是一个复数,我们首先需要理解所谓的实数的复数的幂是什么意思。
我们需要欧拉恒等式(Euler’s identity)
通过这个美丽的等式,我们得出结论,指数函数是周期性的,具有虚数周期。
让我们用这个来拆分eta函数。首先注意,如果我们写s = σ + it,那么:
因此,我们可以通过以下方式写出狄利克雷 eta函数:
我并不完全清楚为什么我们可以把级数分解成实部和虚部的级数然后假设它是收敛的。我鼓励读者思考这个问题。
现在我们来定义两个函数:
其中σ>0,σ,t∈ℝ为实数。
我们可以到此为止,并说明黎曼假设等同于这样的陈述:如果α和β都消失(vanishes),并且0 < σ < 1,那么σ = 1/2。
然而,我们必须排除σ=1这条线上的零点,因此,必须对函数进行限制,这一点略显烦人。
让我们再做一个迂回,用一个所谓的sigmoid函数的对数函数代替Sigma。
定义f,g:ℝ² → ℝ如下:
请注意,n的指数作为r的函数时,是对数函数:
Sigma取任何实数,并满足0 < Sigma(r)< 1,对于所有r∈ℝ。
黎曼假设等同于以下语句:
等价地,我们可以用以下方式建立一个映射T:
黎曼假设是一个迷人的问题,把它变成实分析的问题不一定就是答案。事实上,复分析有更丰富的理论和更强大的工具。但偶尔,我们需要同时从几个不同的角度来看待一个问题。
我希望这种方法能让那些没有接触过复变函数理论的人更容易理解这个问题,并给那些接触过复变函数理论的人一个新的视角。
思考这个问题总是很有趣,因为黎曼假设就像一本好书。不管你读过多少次,重温它总是一种乐趣。



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