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欧拉发现的最深刻的数学真理之一,一个数学奇迹,揭示了数字分割之谜

2021-10-19  老胡说科学
这是我所见过的最美丽的数学“东西”之一,是由18世纪的数学家欧拉发现的,对于欧拉及其作品,我们做过很多介绍:
欧拉常数——最神秘的数字,调和级数的产物,至今看不清它的面貌
很多人真正爱上数学,是从欧拉公式开始的,它到底有怎样的魔力?
世界上最短的数学论文系列,关于费马大定理和欧拉猜想
调和级数——自然真理是如何隐藏在数字中的,永远不要相信直觉
又是欧拉,用代数法求解四次方程的通解,伟大头脑的一个精妙设计
欧拉方法,用初等微积分证明质数有无穷多个,极为巧妙
这位数学家所做的很多数学工作本身就令人震惊。为了理解我所说的和文章开头的图片,我们先问自己一个简单的问题:在不考虑顺序的情况下,有多少种方式可以将一个数字写成其他数字的总和?
这是一个相当难的问题,让我们先从一些简单的例子入手,比方说4,现在所有这些所谓的 "方式 "是:
这就是所谓的4的分割(请允许我这么称呼),这些是把4分成其他正整数的方法。假设p(4)代表4的分割量,那么p(4)=5。不管你信不信,p(100)=190,569,292,这意味着有190,569,292种方法可以把100写成正整数之和。
一个数字的分割量是一个非常深刻的数学问题,欧拉发现的最深刻的真理之一,可以用来精确地根据其他数字的分割量来计算一个数字的分割量。首先让我们列出一些数字的分割量的数值:
  • p(0)=1
  • p(1)=1
  • p(2)=2=p(1)+p(0)
  • p(3)=3=p(2)+p(1)
  • P(4)=5=P(3)+P(2)
  • p(5)=7=p(4)+p(3)-p(0)
  • p(6)=11=p(5)+p(4)-p(1)
  • p(7)=15=p(6)+p(5)-p(2)-p(1)
  • p(8)=22=p(7)+p(6)-p(3)-p(1)
  • p(9)=30=p(8)+p(7)-p(4)-p(2)
p(数字)=p(数字-1)+p(数字-2)-p(数字-5)-p(数字-7)-…
这相当有趣。现在,这些数字(1、2、5、7、12、15、22…)是什么?看看每一个奇数位置的数字(比如第1个、第3个、第5个等等),把它们列出来:1、5、12、22…,尽管它们可能只是看起来很随机,但它们确实有一个非常简单的规律,这个规律是:
这正是它的本质,至于偶数,其中第n个数字的确切值是:
这些数字是所谓的 "五边形数",
  • 五边形数是能排成五边形的多边形数。其概念类似三角形数及平方数,不过五边形数和三角形数及平方数不同,所对应的形状没有旋转对称(Rotational symmetry)的特性。
欧拉证明了,对于n是你选择的任何数字,对于p(0)=1和对于所有负数,它们的分割量是0,我们有:
这揭示了所有数字分割量的真理。


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