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积分收敛判法举例

 toujingshuxue 2021-10-19

1、A(a)=∫(0,1)[(1-ta)/(1-t)]dt.

(1)a>-1:A(a)=ψ(a+1)-ψ(1).

(2)a≤-1:A(a)发散。

(3)判法:A(a)-A(a-1)=(1/a)|ta|(0,1).

2、B(a)=∫(0,π/2)(cosx)a-1cos(ax+x)dx.

(1)a>0:B(a)=0.

(2)a=0:B(0)=π/2.

(3)a<0:B(a)发散。

(4)判法:B(a)=(1/a)|(cosx)asin(ax)|(0,π/2).

3、C(a)=∫(0,π/2)(cosx)a-1sin(ax+x)dx.

(1)a>0:C(a)=1/a.

(2)a0:C(a)发散。

(3)判法:C(a)=(-1/a)|(cosx)acos(ax)|(0,π/2).

4、D(a)=∫(0,π/2)[cosnxsin(nx+x)/sinx]dx.

(1)a为自然数:D(a)=π/2.

(2)a=-1:D(-1)=0.

(3)a<-1:D(a)发散。

(4)判法:D(a)-D(a-1)=B(a).

5、E(a)=∫(0,π/2){[cosx-cosaxcos(ax+x)]/sinx}dx.

(1)a为正整数:E(a)=有限调和级数.

(2)a=0:E(0)=0.

(3)a-1:E(a)发散。

(4)判法:E(a)-E(a-1)=C(a).

6、三个积分极限:

(1)A(k,a)=(0,1)[ta(-lnt)k/(1-t)]dt.

①k>0:(a→∞)A(k,a)=0;    k≤0:(a→∞)A(k,a)=∞ .

(2)(a→∞)∫(0,π/2)[cosaxcos(ax+x)/sinx]dx=∞ .

(3)(a→∞)∫(0,π/2)[cosaxsin(ax+x)/sinx]dx=不定值.

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