【原】欧拉常数——最神秘的数字，调和级数的产物，至今看不清它的面貌

还记得调和级数吗？

通常情况下，它是我们遇到的第一个级数，是一个递减级数，但却发散到无穷大。然而，在这篇文章中，我们关注的是这样一个问题：

这里，我们所说的部分和，是指级数的前n项，即：

事实证明，有一个，即自然对数函数。当n变大时，部分和与ln(n)之间的差异接近一个有限的极限。这个极限被称为称欧拉-马斯克若尼常数，γ（gamma）。

该常数首次出现在1734年，其名称来自两位数学家欧拉和意大利数学家马斯克若尼。之所以采用gamma这个符号，很可能是因为这个常数与gamma函数（阶乘函数的延伸）有关。尽管已经存在了近300年，但它是有理数还是无理数一直是个谜。另外，gamma是代数性的还是超越性的也是未知的。

调和数列与对数函数的关系如何？确切地说，这就是本文的内容。接下来的过程依赖于几何直觉，是一个建立良好的级数收敛检验的原型，即积分检验法。

设：

那么：

为了更好地理解，本文分为四个部分：

• 证明T_n是有界的。
• 证明T_n是单调递减的，因此，有一个确定的极限，即γ（gamma）存在。

• 为γ找到一个更严格的下限。
• 为有兴趣的读者提供一些围绕级数收敛的额外（严格）细节。

T_n是有边界的‍

首先，我们给出γ的下限。下面是y=1/x的图。在这里，我们利用了一个技巧，即用单位宽度的矩形条比较图下的面积，高度等于函数在该点的值。

从上述情况可以看出：

推而广之，我们得到：

在证明了T_n自下而上有界后，我们现在继续证明它自上而下也是有界的。之前，矩形的面积主导了曲线下的面积。那么，反过来呢？让我们来看看。

在这种情况下：

再一次归纳，我们得到：

结合以上两个结果，我们得到：

因此，T_n是有界的。

T_n是单调递减的‍

现在我们证明，T_n是单调递减的，即：

证明——

回顾ln(x)的泰勒级数展开：

现在：

因此，我们可以使用上述泰勒级数展开。继续：

现在，观察一下：

这意味着第一项以及上述求和中的每项都是负数。由此证明：

因此，T_n是单调递减的。

现在，结合这两个事实：

• T_n是有界的。
• T_n是单调递减的。

并使用单调收敛定理，我们得到T_n确实收敛于一个固定的极限。也就是说，γ（gamma）存在。

给出γ一个更严格的下限‍

在上述基础上，我们可以自信地说：

但我们能不能再接近一些呢？

如果我们用梯形来代替矩形呢？

鉴于y=1/x的凸性，梯形所覆盖的面积比曲线要大。

从上面可以看出：

再一次归纳，我们可以得到：

现在，由于：

因此，我们有：

因此，我们已经将γ的下限从0提高到1/2：

事实证明，γ的值，精确到到小数点后5位是0.57721，与我们的下限相差不大。

关于级数收敛的额外内容

这是一个辅助部分，在这里我们明确地证明一个已经在上使用过的结果。

假设有两个级数：

那么，必须有：

证明：

首先，让我们回顾一下级数收敛的含义。

现在，我们通过矛盾法构建一个证明：

上面的最后一行意味着，对于n>N，a_n被限制在a_0的r邻域，b_n被限制在b_0的r邻域。

形象地讲:

上述情况表明：

因此我们得出了一个矛盾的结论。因此，我们的假设（a_0 < b_0）是错误的。因此，a_0≥b_0。