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最优传输理论博大精深，到处充满了概率论、拓扑、泛函分析、偏微分方程理论的专业术语，经常提及“几乎处处”、“弱收敛”、“微分形式”、“de Rham上同调”、“不动点”、“等度连续”、“正则性”、“磨光算子”、“先验估计”、”蒙日-安培算子线性化”，对于缺乏基础数学背景的同学而言犹如天书一般，难以沟通交流。但是一旦学通之后，其精神实质又都非常简单自然。我们一直希望能够找到某种教学方法，将阳春白雪的理论，用下里巴人的方式来表达，简明扼要，一针见血。同时将晦涩庞杂的文献，加以浓缩提炼，将其思想精髓用浅显直白的语言来传播，使得天堑变通途。 第二个作者开始学习最优传输理论的时候，丘成桐先生用凸微分几何的观点与蒙日-安培方程带来笔者登堂入室，体会到理论的和谐优美和算法的强大实效。后来我们遇到很多著名的数学家，他们热心传授对偶观点、正则性理论和球面最优传输理论，使得我们有了更深的领悟。我们深信：这些美丽的思想，都是人类思想的精华，值得每一个年轻人去思考欣赏，融入到知识结构之中，潜移默化到气质里。我们回想起小时候的启蒙阶段，老师都是教给大家各种口诀，容易记忆，朗朗上口。虽然开始无法彻底理解，但是依随心智成长，对于口诀的参悟逐渐加深，慢慢掌握了精髓。 我们不揣冒昧，将教学和科研中的心得体会，总结成顶真口诀：
虽然行文并不工整，但是每个词都其来有自，对应着最优传输理论的专业术语，每句话都蕴含着某个关键定理。如果一位同学能够参透这个口诀，那么他（她）就可以完全理解最优传输理论的几何观点，并且能够独立设计新颖算法。 最优传输理论的一个最大优点（也是最大难点）在于它可以从连续可微情形自然过渡到离散间断情形，从而其数学思想与算法设计可以无缝连接。最优传输理论的另外一个优点在于它的适用范围极其广泛，同样的思想可以应用于完全不同的领域，超乎人们的想象。我们试举几个应用实例，
用以解释上面的口诀。如果同学们参透这几个例子，最好能够亲自编程实践，那么就完美地完成了这个系列讲座。 我们回顾一下经典的Monge-Kantorovich理论，将对应口诀中的专用名词用黑体标出。设和是紧致度量空间，测度定义在上，定义在上，例如有界或者连续，并且总质量相等。给定传输代价函数，具有一定的正则性。一个映射被称为是保测度的，如果对一切Borel集， 记为。Monge提出最优传输映射问题：如何寻找保测度映射，极小化总传输代价： Kantorovich将Monge问题推广，并且提出了对偶问题： 这里连续函数被称为是Kantorovich势能函数，满足条件, c-变换的概念具有重要的意义： c-变换也叫广义Legendre对偶。最优的势能函数有以下关系： 势能函数的c-次微分定义成 最优传输方案可以表示成： 如果代价函数可微，存在最优传输映射，则满足 我们看到口诀中的关键词大都已经定义了，下面我们用实例来进一步解释口诀的含义。后面我们能够看到，这里每一个数学符号、数学概念都有鲜明的物理意义，例如我们可以将最优传输映射诠释成几何中的Gauss映射，或者光学中的反射、折射定律。数学与物理如此完美的结合，的确令人赏心悦目。 “代价变换支撑”是说传输代价函数定义了支撑曲面，固定,支撑曲面的方程为。如果传输代价函数变化了，则支撑曲面也会相应变化。例如，我们后面会看到，不同的最优传输问题中支撑曲面可以是平面、旋转抛物面、椭球曲面和双叶双曲面， 图1. 支撑包络势能，势能微分映射。 “支撑包络势能”是指当变化时，我们得到一族支撑曲面，这个支撑曲面族的包络就得到了Kantorovich势能函数， '势能微分映射'是指Kantorovich势能函数的c-次微分就给出了最优传输方案。例如在保面积参数化中，最优传输映射由势能函数的梯度映射给出；Minkowski问题中，最优传输映射就是Gauss映射等。 “映射对偶凸形”，这句话是说最优传输映射的逆映射也是最优传输映射，它的势能函数是，是的c-次微分映射。的每个支撑曲面对偶成一个点，是这些对偶点的凸壳。和互为c-变换，也被成为是广义Legendre对偶，同为c-凹函数。如果将和互换，整个图景完全对称。 保面积参数化
我们将曲面通过黎曼映照映射到平面圆盘上，将曲面的面元推前到上，得到圆盘上的测度，定义为，归一化后。我们将定义为目标测度。源区域也是圆盘，源测度是标准Lebesgue测度，。在这里，我们可以在中稠密采样，得到样本点，同时将离散化， 保面积参数化等价于最优传输映射。
这里势能函数是平面族的上包络，因此是分片线性的，的图是一个凸多面体。的图投影到平面，得到平面的胞腔分解 (Power digram)，每个胞腔是一个面的投影,势能函数限制在胞腔上的次微分（广义梯度）等于，
这里的最优传输映射是凸函数的梯度映射。
图左上为势能函数，支撑平面的上包络；右上为对偶势能函数，对偶点的凸包；左下到右下显示了次微分（梯度）映射，即最优传输映射。如果左右颠倒，整个图景完全对称。 Minkowski问题
图3. Minkowski问题，通过Gauss曲率决定曲面形状。
等价地
反射镜面设计问题 图4. 反射镜曲面设计问题。 我们在原点放置一个点光源，在无穷远处放置一个屏幕，屏幕上预先定义一幅图像（即给定目标光强分布），我们希望设计一张反射曲面，将光源发出的光线反射到屏幕上，得到预定的图像。 图5. 基于最优传输方法设计的反射镜。 我们定义光源射出的方向为，所有射出光线方向的集合为，光强分布为；反射光线的方向定义为，所有反射光线方向的集合为，光强分布为。根据能量守恒，我们有。相比于用投影仪的方法，这种方法完全将光源的光能转换成屏幕上的光能，传输过程中没有转成热能，没有任何浪费。
图6. 左帧，目标光强分布；右帧，光线追踪法仿真图4中镜面反射的效果。
等价地
下图是我们为蒙日先生设计的反射镜曲面。
图7. 致敬最优传输理论的奠基者：蒙日（Monge）先生，以其画像为目标分布而设计反射镜面和仿真效果。 折射透镜设计问题
图8. 折射透镜设计问题。 我们在原点放置一个点光源，在无穷远处放置一个屏幕，屏幕上预先定义一幅图像（即给定目标光强分布），我们希望设计一张折射透镜曲面，将光源发出的光线折射到屏幕上，得到预定的图像。
图9. 基于最优传输设计出的折射透镜曲面和仿真效果。 我们定义光源射出的方向为，所有射出光线方向的集合为，光强分布为；折射光线的方向定义为，所有折射光线方向的集合为，光强分布为。根据能量守恒，我们有。 透镜曲面将空间分成透镜内部介质I和透镜外部介质II，分别具有折射率和，定义常数。光的传播满足Snell折射定律, ，这里和分别是入射角和出射角。
等价地
如果，则传输代价为 支撑曲面为双叶旋转双曲面的一叶（固定， 由物理约束） 其他的几何图景类似。 小结 我们将最优传输理论的几何观点总结成顶真口诀，方便大家记忆和应用。
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