在 LeetCode 中,「岛屿问题」是一个系列系列问题,比如:
我们所熟悉的 DFS(深度优先搜索)问题通常是在树或者图结构上进行的。而我们今天要讨论的 DFS 问题,是在一种「网格」结构中进行的。岛屿问题是这类网格 DFS 问题的典型代表。网格结构遍历起来要比二叉树复杂一些,如果没有掌握一定的方法,DFS 代码容易写得冗长繁杂。 本文将以岛屿问题为例,展示网格类问题 DFS 通用思路,以及如何让代码变得简洁。 网格类问题的 DFS 遍历方法网格问题的基本概念我们首先明确一下岛屿问题中的网格结构是如何定义的,以方便我们后面的讨论。 网格问题是由 个小方格组成一个网格,每个小方格与其上下左右四个方格认为是相邻的,要在这样的网格上进行某种搜索。 岛屿问题是一类典型的网格问题。每个格子中的数字可能是 0 或者 1。我们把数字为 0 的格子看成海洋格子,数字为 1 的格子看成陆地格子,这样相邻的陆地格子就连接成一个岛屿。 在这样一个设定下,就出现了各种岛屿问题的变种,包括岛屿的数量、面积、周长等。不过这些问题,基本都可以用 DFS 遍历来解决。 DFS 的基本结构网格结构要比二叉树结构稍微复杂一些,它其实是一种简化版的图结构。要写好网格上的 DFS 遍历,我们首先要理解二叉树上的 DFS 遍历方法,再类比写出网格结构上的 DFS 遍历。我们写的二叉树 DFS 遍历一般是这样的: void traverse(TreeNode root) {
// 判断 base case
if (root == null) {
return;
}
// 访问两个相邻结点:左子结点、右子结点
traverse(root.left);
traverse(root.right);
}
可以看到,二叉树的 DFS 有两个要素:「访问相邻结点」和「判断 base case」。 第一个要素是访问相邻结点。二叉树的相邻结点非常简单,只有左子结点和右子结点两个。二叉树本身就是一个递归定义的结构:一棵二叉树,它的左子树和右子树也是一棵二叉树。那么我们的 DFS 遍历只需要递归调用左子树和右子树即可。 第二个要素是 判断 base case。一般来说,二叉树遍历的 base case 是 对于网格上的 DFS,我们完全可以参考二叉树的 DFS,写出网格 DFS 的两个要素: 首先,网格结构中的格子有多少相邻结点?答案是上下左右四个。对于格子 其次,网格 DFS 中的 base case 是什么?从二叉树的 base case 对应过来,应该是网格中不需要继续遍历、 这一点稍微有些反直觉,坐标竟然可以临时超出网格的范围?这种方法我称为「先污染后治理」—— 甭管当前是在哪个格子,先往四个方向走一步再说,如果发现走出了网格范围再赶紧返回。这跟二叉树的遍历方法是一样的,先递归调用,发现 这样,我们得到了网格 DFS 遍历的框架代码:
如何避免重复遍历网格结构的 DFS 与二叉树的 DFS 最大的不同之处在于,遍历中可能遇到遍历过的结点。这是因为,网格结构本质上是一个「图」,我们可以把每个格子看成图中的结点,每个结点有向上下左右的四条边。在图中遍历时,自然可能遇到重复遍历结点。 这时候,DFS 可能会不停地「兜圈子」,永远停不下来,如下图所示: 如何避免这样的重复遍历呢?答案是标记已经遍历过的格子。以岛屿问题为例,我们需要在所有值为 1 的陆地格子上做 DFS 遍历。每走过一个陆地格子,就把格子的值改为 2,这样当我们遇到 2 的时候,就知道这是遍历过的格子了。也就是说,每个格子可能取三个值:
我们在框架代码中加入避免重复遍历的语句: void dfs(int[][] grid, int r, int c) {
// 判断 base case
if (!inArea(grid, r, c)) {
return;
}
// 如果这个格子不是岛屿,直接返回
if (grid[r][c] != 1) {
return;
}
grid[r][c] = 2; // 将格子标记为「已遍历过」
// 访问上、下、左、右四个相邻结点
dfs(grid, r - 1, c);
dfs(grid, r 1, c);
dfs(grid, r, c - 1);
dfs(grid, r, c 1);
}
// 判断坐标 (r, c) 是否在网格中
boolean inArea(int[][] grid, int r, int c) {
return 0 <= r && r < grid.length
&& 0 <= c && c < grid[0].length;
}
这样,我们就得到了一个岛屿问题、乃至各种网格问题的通用 DFS 遍历方法。以下所讲的几个例题,其实都只需要在 DFS 遍历框架上稍加修改而已。
岛屿问题的解法理解了网格结构的 DFS 遍历方法以后,岛屿问题就不难解决了。下面我们分别看看三个题目该如何用 DFS 遍历来求解。 例题 1:岛屿的最大面积LeetCode 695. Max Area of Island (Medium)
这道题目只需要对每个岛屿做 DFS 遍历,求出每个岛屿的面积就可以了。求岛屿面积的方法也很简单,代码如下,每遍历到一个格子,就把面积加一。
最终我们得到的完整题解代码如下: public int maxAreaOfIsland(int[][] grid) {
int res = 0;
for (int r = 0; r < grid.length; r ) {
for (int c = 0; c < grid[0].length; c ) {
if (grid[r][c] == 1) {
int a = area(grid, r, c);
res = Math.max(res, a);
}
}
}
return res;
}
int area(int[][] grid, int r, int c) {
if (!inArea(grid, r, c)) {
return 0;
}
if (grid[r][c] != 1) {
return 0;
}
grid[r][c] = 2;
return 1
area(grid, r - 1, c)
area(grid, r 1, c)
area(grid, r, c - 1)
area(grid, r, c 1);
}
boolean inArea(int[][] grid, int r, int c) {
return 0 <= r && r < grid.length
&& 0 <= c && c < grid[0].length;
}
例题 2:填海造陆问题LeetCode 827. Making A Large Island (Hard)
这道题是岛屿最大面积问题的升级版。现在我们有填海造陆的能力,可以把一个海洋格子变成陆地格子,进而让两块岛屿连成一块。那么填海造陆之后,最大可能构造出多大的岛屿呢? 大致的思路我们不难想到,我们先计算出所有岛屿的面积,在所有的格子上标记出岛屿的面积。然后搜索哪个海洋格子相邻的两个岛屿面积最大。例如下图中红色方框内的海洋格子,上边、左边都与岛屿相邻,我们可以计算出它变成陆地之后可以连接成的岛屿面积为 。 然而,这种做法可能遇到一个问题。如下图中红色方框内的海洋格子,它的上边、左边都与岛屿相邻,这时候连接成的岛屿面积难道是 ?显然不是。这两个 7 来自同一个岛屿,所以填海造陆之后得到的岛屿面积应该只有 。 可以看到,要让算法正确,我们得能区分一个海洋格子相邻的两个 7 是不是来自同一个岛屿。那么,我们不能在方格中标记岛屿的面积,而应该标记岛屿的索引(下标),另外用一个数组记录每个岛屿的面积,如下图所示。这样我们就可以发现红色方框内的海洋格子,它的「两个」相邻的岛屿实际上是同一个。 可以看到,这道题实际上是对网格做了两遍 DFS:第一遍 DFS 遍历陆地格子,计算每个岛屿的面积并标记岛屿;第二遍 DFS 遍历海洋格子,观察每个海洋格子相邻的陆地格子。 这道题的基本思路就是这样,具体的代码还有一些需要注意的细节,但和本文的主题已经联系不大。各位可以自己思考一下如何把上述思路转化为代码。 例题 3:岛屿的周长LeetCode 463. Island Perimeter (Easy)
实话说,这道题用 DFS 来解并不是最优的方法。对于岛屿,直接用数学的方法求周长会更容易。不过这道题是一个很好的理解 DFS 遍历过程的例题,不信你跟着我往下看。 我们再回顾一下 网格 DFS 遍历的基本框架:
可以看到,
那么这些和我们岛屿的周长有什么关系呢?实际上,岛屿的周长是计算岛屿全部的「边缘」,而这些边缘就是我们在 DFS 遍历中, 当我们的 public int islandPerimeter(int[][] grid) {
for (int r = 0; r < grid.length; r ) {
for (int c = 0; c < grid[0].length; c ) {
if (grid[r][c] == 1) {
// 题目限制只有一个岛屿,计算一个即可
return dfs(grid, r, c);
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int[][] grid, int r, int c) {
// 函数因为「坐标 (r, c) 超出网格范围」返回,对应一条黄色的边
if (!inArea(grid, r, c)) {
return 1;
}
// 函数因为「当前格子是海洋格子」返回,对应一条蓝色的边
if (grid[r][c] == 0) {
return 1;
}
// 函数因为「当前格子是已遍历的陆地格子」返回,和周长没关系
if (grid[r][c] != 1) {
return 0;
}
grid[r][c] = 2;
return dfs(grid, r - 1, c)
dfs(grid, r 1, c)
dfs(grid, r, c - 1)
dfs(grid, r, c 1);
}
// 判断坐标 (r, c) 是否在网格中
boolean inArea(int[][] grid, int r, int c) {
return 0 <= r && r < grid.length
&& 0 <= c && c < grid[0].length;
}
总结对比完三个例题的题解代码,你会发现网格问题的代码真的都非常相似。其实这一类问题属于「会了不难」类型。了解树、图的基本遍历方法,再学会一点小技巧,掌握网格 DFS 遍历就一点也不难了。 本文作者 nettee,致力于写各种 LeetCode 解题套路,让你在解题之外举一反三。欢迎在力扣关注我,我会不定期更新题解文章。 |
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