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我认为库尔特-哥德尔（Kurt Gödel），之所以没有像达尔文、牛顿、爱因斯坦和亚里士多德等许多大思想家那样有名，是因为大众很难理解一个数学家的工作。科普工作者很容易向大众解释达尔文或牛顿的基本思想（爱因斯坦的思想更复杂一些）。因此，很多人至少对爱因斯坦和牛顿的一些工作的基本思想（理论）有一个很好的了解。然而，数学家的贡献常常被忽视，库尔特-哥德尔也不例外。我认为，不完全性定理（ the incompleteness theorem，不完备性定理）的思想，是现代真正革命性的思想之一，是逻辑学中最伟大的成果之一。很多人都说库尔特-哥德尔与亚里士多德齐名，不完备性结果是亚里士多德以来逻辑学领域的第一个重大成果。哥德尔于1906年出生在奥匈帝国的布鲁恩镇——现在的捷克共和国布尔诺市。他于1924年毕业于布鲁恩的体育学院，然后在维也纳大学学习物理、数学和哲学。1929年，他以一篇精彩的论文获得了数学博士学位，并继续在维也纳大学工作，直到他前往美国。然后，他与好朋友阿尔伯特-爱因斯坦一起在普林斯顿高级研究所任职。他的大部分时间都在与爱因斯坦散步和聊天。他于1976年结束了在普林斯顿高等研究院的工作，几年后因饥饿和疲惫而去世。1929年，他发表了关于一阶逻辑完备性的博士论文，对于只有23岁的他是一项非常了不起的成就。这些成果后来促成了他在25岁时提出的第一和第二不完备性定理。随后，他在集合论方面做了一些开创性的工作。1949年，他发现了爱因斯坦场方程的新解。虽然他是一位数学家，但他也对广义相对论做出了重大贡献。在20世纪初，数学的基础正处于危机之中。伯特兰-罗素（Bertrand Russell）指出，集合理论是不一致的，而集合理论又是数学理论的基础。对于一个数学家来说，这是最糟糕的事情。一个公理系统称为一致性（自洽，相容），如果它没有矛盾，也就是说没有从公理同时导出一个命题及其否定的能力——百科 康托尔证明，如果存在一个无限集比如自然数（1，2，3，4，5，6，......），那么有无限多不同的无限集。如果不深入研究数学，你很难弄清楚这意味着什么。这可以说是标准集合理论的一个自然结果。无限的东西让人难以想象。人们对什么是无限以及是否可以有无限多不同的无限并不那么清楚。如果一个无穷大比第一个无穷大大，那么小的就不可能是无穷大，对吧？数学家试图找到一个一致的集合理论，与此同时，许多人对康托尔关于无穷大的研究持谨慎态度。戈特洛夫-弗雷格试图把事情建立在一个坚实的基础上。他认为：难怪我们不理解所有这些关于无穷的事情，因为我们甚至不理解数字2。数字2究竟是什么？数字3是什么？自然数是怎么回事？我们知道如何知道2+2=4？ 他理论上认为这是数学中大量问题的根源，人们没有充分理解数学的意义。弗雷格的研究深刻地影响了罗素。罗素一直在阅读弗雷格，并意识到，有一个不一致的弗雷格的系统。
亲爱的弗雷格教授，我可以大胆地建议，你的理论中有一个不一致的地方...... 弗雷格立即看到了这一点，并意识到这是毁灭性的。它关系到整个数学。有一个非常古老的哲学难题，叫做说谎者悖论，悖论的表述很简单：如果你思考一下这个句子，有两种可能性：要么是真的，要么是假的。如果它是真的，那么它说的就是事实，那它就是假的。所以如果它是真的，那正如句子所说，它是假的。罗素意识到，这个问题在数学上也是可以推广的。只需考虑一个集合，例如，自然数的集合，正在读这篇文章的人的集合，你坐过的椅子的集合等等。还有一个集合的集合。
罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。数学不应该允许这样的事情发生。然后，罗素向弗雷格解释了他的研究结果。这是弗雷格的问题，也是集合理论的问题。在某种程度上，弗雷格让问题变得清晰起来，因为他对自己的假设非常清楚。集合论中一个重要的概念是幂集。幂集是所有子集的集合。根据集合理论，任何集合都存在对应的幂集。所谓幂集（Power Set）， 就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。可数集是最小的无限集；它的幂集和实数集一一对应（也称同势），是不可数集。不是所有不可数集都和实数集等势，集合的势可以无限的大。如实数集的幂集也是不可数集，但它的势比实数集大。设X是一个有限集，|X| = k，根据二项式定理，X的幂集的势为2的k次方——百度百科 一个集合的势（cardinality）是集合的大小，即有多少元素在里面。因此，如果两个集合具有相同的势，那么这两个集合可以一一对应。因此，不通过计算就能知道两个集合的大小关系。例如，我不需要做任何计数就能看到一个房间里的座位比人多，我只需要知道每个人和座位配对情况。这一点很重要，因为它对无限的集合也有效。但是，这如何与幂集联系起来，以理解势的概念？这就引出了康托尔定理（Cantor’s theorem）康托尔定理告诉我们，一个集合本身的势严格小于其幂集的势。自然数集的幂集是无限的，它们是比自然数集本身更大的一个无限集。自然数集的幂集的幂集比自然数的幂集要大，不断取下去，会得到一个越来越大的幂集（一个更高阶的无穷大）。如果存在一个无限的集合，就有无限多的无限幂集，而且一个比一个大。这导致了各种奇怪的难题。有无限多的无穷数的想法让人感到很不安，自然数集是最小的无穷集。有多少个偶数自然数？偶数集比自然数集小吗？并非如此，这是人类的认知噩梦，这里不展开讨论。想象一下，有一个无限大的酒店，里面有无限多的房间，而且都住满了客人。然后又来了一个客人，想要一个房间。前台说："对不起，我们不能收留你，酒店已经满了。" 但是，老板说："可以收留！我们可以把这个人移到1号房间，把1号房的人搬到2号房，然后把2号房的人搬到3号房……现在就有一个额外的房间了。这就是在无穷大中出现的一个奇怪的现象，总是可以腾出一个房间。这里，我解释一下当时弥漫在数学文化中的问题。其中一个来自于历史上最伟大的数学家之一——大卫-希尔伯特。希尔伯特有一个计划，又称证明论计划，是在20世纪初数学奠基问题的论战中，旨在保卫古典数学、避免悖论以解决数学奠基问题的一种方案。20世纪初，悖论尤其是罗素悖论的出现，引起了当时数学界和逻辑界的极大震动。它直接冲击了以严谨著称的数学和逻辑学科，动摇了传统的数学概念、数学命题和数学方法的可信性标准，也就是说悖论的出现关系到整个数学的奠基问题，从而引起所谓的第三次数学危机。 所以他想到的是把那些关于无限多无限的疯狂想法限制在更合理的东西上，比如说有限集。对于每一个有限集，都会有一个更大的有限集。所以他想在有限数学（离散数学）的基础上建立一个牢固的理解，然后再在其上建立无限数学。无限的东西最终会成为离散的有限数学之上的一种形式上的伪装。这只是数学的规则。所以我们可以像制定国际象棋的规则一样来对待它。国际象棋中的 "车 "是什么？无非是扮演车的东西。某些规则支配着它。不管它是用木头、纸还是瓷器做成的，都不重要。车只是一个扮演棋子角色的物体，同时具有规则赋予它的所有特征。那么，数学游戏怎么会和国际象棋一样呢？无论你如何改变数学中符号背后的含义，结果都是一样的。数学是一种逻辑上的结果。这就是我们所做的一切：将逻辑结果具体化，这也是促使伯特兰-罗素说的：数学可以被定义为这样一门学科：我们永远不知道我们在谈论什么，也不知道我们说的是否是真的。 它只是一个运算的符号。希尔伯特想保留数学的无限特性，他曾经说过一句很有名的话。"没有人可以把我们从康托尔为我们创造的天堂中驱逐出去。"在伯特兰-罗素悖论的危机之后，现代集合理论的研究者们一直试图用更好的方式来表述问题，但却没有罗素那么成功。因此希尔伯特的计划至关重要。为了做到这一点，希尔伯特需要完全依靠有限数学来证明他的证明的完备性，以建立无限数学的必要一致性。1931年，哥德尔表明，当数学中存在一个句子时，如果系统是一致的，那么这个句子就不是定理，也不是不是定理。他的意思是，数学中存在一个句子，如果它是一致的，它就不能从数学中推导出来。如果它不一致，那么它就可以。然而，这又带来了另一个问题。我们需要回顾一下说谎者悖论，哥德尔也担心一个说谎者：我是不可证明的。如果它是可证明的呢？那么它一定是假的，因为它说它是不可证明的。所以这就是系统中的不一致。所以，如果你能证明那句话，你的系统就不一致。另一方面，如果它是不可证明的呢？那么它所说的就是真的，但无法证明。这是剩下的唯一选择。如果系统是一致的，这个句子就是真的，但在系统中无法证明。哥德尔的基本思想非常简单。他一直在思考说谎者悖论。这对希尔伯特来说是个问题。希尔伯特认为人们应该通过玩这个正式的游戏来重新掌握所有的数学知识。在正式游戏中，他的意图只是通过规则来运算符号。希尔伯特的第二个问题：哥德尔的第二个不完备性定理如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。 这意味着，任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。当数学不一致时，很多研究就不能继续下去了。然而，这个危机只涉及集合理论，集合理论陷入危机并不意味着整个数学都陷入了危机。当涉及到集合理论时，我们遇到了麻烦，但这并不意味着数学的其他部分就停滞不前了。这些只是关于系统的事实。数学总会有盲点，这是事实。我们不可能推导出一个系统的一致性，不可能推导出系统的所有真理。我们该怎么办呢？与之共存。这些是关于数学的数学定理，而我们现在有元数学定理，它是在普通数学之上的一层。元数学与一般数学理论的关系有点像计算机中应用程序和普通文件的关系。 我们只是要接受它们。因此，它们对数学和逻辑等各方面都有重大影响，显然也对计算有影响。计算机是哥德尔系统的一种实例化，会有盲点。这让一些人认为“这些结果不仅仅是数学结果”，然后他们会深入了解计算的本质或者机器思维的本质。人类思维和计算性机器思维之间有区别吗？这也是哥德尔的结果之所以如此著名的原因之一，因为这些结果对理解人类思维很有意义。哥德尔实际上表明，数学中存在着 "盲点"（无法证明的真理）。但是，哥德尔句子 "这个句子是无法证明的 "的真理是简单而明确的。所以有了盲点，任何一种算法系统都会陷入困境，而我们人类可以直接接受不一致的事实。所以这是一种非常自然的思维方式，因为看起来人类的思维方式和机器的思维方式有本质上的不同。人类的大脑只是一种由神经元而不是硅制成的计算机。这种思路表明，看起来机器思维有一些根本性的不同，它有这些哥德尔盲点，而那些已经被证明的盲点对人类来说根本就不是盲点。 那么，这是否说明了关于计算机和人类思维之间的差异的一些深刻而有趣的东西呢？我正在思考这个问题，哥德尔结果是否表明，并告诉我们人类和机器有一些不同之处。对于人类来说，在处理逻辑和推理时，有不同的方法来评估事物，其中包括简单的观察、概率推理、直觉、甚至第六感等等。如果你试图建立一个人类思维的模型，它就是没有盲点，这很耐人寻味，因为机器有（盲点）。哥德尔结果所显示的是，在系统是一致的假设下，会有盲点。它并不是说系统中存在盲点。它只是说如果系统是一致的，就会有盲点。在逻辑课堂上，老师在讲课时，你往往会感到非常困惑，你的思维方式也会发生变化。然而，大多数人一走出教室就会恢复到他们默认的思维方式。20世纪50年代，哥德尔经常到普林斯顿拜访爱因斯坦，并与之散步。在与爱因斯坦的各种谈话中，哥德尔得到了快速的发展。他没有从事数学物理工作，但他足够聪明，能够快速掌握广义相对论，以至于能够在相对论领域发表惊人的成果。他发现，爱因斯坦方程有一个奇怪的模型。该模型将宇宙视为一个大的旋转盘，其中有封闭的时间线世界线。世界线只是一种粒子通过时空的轨迹。如果你想想我的世界线，它从某个地方开始，当我在空间中移动时，随着时间的推移，我就在这种轨迹上。一个封闭的时间线看起来就像一个在时间维度返回自身的世界线，这在本质上相当于一种时间旅行的形式。就好像时空有一种结构，如果你足够聪明，向正确的方向发射你所在的飞船，你就可以回到自己的早期。哥德尔在研究数理逻辑时，对广义相对论有了新的认识，他说，爱因斯坦：如果你走得足够快（超过光速），你最终会回到你开始的地方，因为时间线世界线的概念。 它实际上在哲学上非常重要，因为人们提出的一些论点表明，时间旅行在逻辑上是不可能的。你经常在哲学界听到这种说法。那是因为存在时间旅行，就会出现逻辑上的悖论（祖父悖论）。哥德尔对爱因斯坦方程的解呢？它与最好的物理理论相一致，并与广义相对论相一致，即存在封闭的时间线世界线。所以，时间旅行的说法并不太可怕。我们有可能生活在这样一个符合爱因斯坦理论的世界里。
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