 说到数学学习，就不得不提动点类问题，此类题型因具有综合性强、灵活度高、解法灵活等特点，题目的难度一般比较大，深受命题老师的青睐，成为考试热点题型。 动点类问题是指图形中存在一个或多个动点，它们是在某条线段、射线或弧线上运动的，从而引起另一图形的变化，从运动变化的角度来研究、探索发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理，是一类开放性题目。 通过对此类的题型设置，能对考生的观察能力和创新能力进行很好的考查，预计这类题仍然是中考数学的热点，解决这类问题的关键是动中求静，在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 通过对近几年动点有关的试题进行分析和研究，发现具有以下三个明显特征。 一是有特殊位置点的动点问题： 本类型问题中的动点往往和某些定点构成特殊的位置关系，利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之间线段最短”或“垂线段最短”等知识进行解题。 二是几何图形中的动点问题： 由动点引起某一线段长度变化(自变量)，通过题目中提供的其他条件表示出另一线段或某一图形面积，从而构建两者之间的函数关系，再根据函数性质解题。 三是函数图象中的动点问题： 动点在某一函数图象上，当点运动到某一特殊位置时，某一线段长度或某一图形的面积达到最值，或与某些点构成一个特殊的图形；解题利用函数图象上点坐标的对应关系，用动点的坐标表示出要求图形的数量特征(如线段的长度或图形面积)，再利用函数性质或方程进行求解。  动点有关的典型例题分析，讲解1： 已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）. (1)求直线l1，l2的表达式； (2)点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF. ①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）； ②若矩形CDEF的面积为60，请直接写出此时点C的坐标．  考点分析： 一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解一元二次方程。 题干分析： （1）设直线l1的表达式为y=k1x，它过（18，6）可求出k1的值，从而得出其解析式；设直线l2的表达式为y=k2+b，由于它过点A（0，24），B（18，6），故把此两点坐标代入即可求出k2，b的值，从而得出其解析式。 （2）①因为点C在直线l1上，且点C的纵坐标为a，故把y=a代入直线l1的表达式即可得出x的值，从而得出C点坐标；由于CD∥y轴，所以点D的横坐标为3a，再根据点D在直线l2上即可得出点D的纵坐标，从而得出结论。 ②先根据C、D两点的坐标用a表示出CF及CD的值，由矩形的面积为60即可求出a的值，得出C点坐标。  动点有关的典型例题分析，讲解2： 已知抛物线y=ax²-2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（－1，0），O是坐标原点，且|OC|=3|OA|． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式； （3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）. 求：①s与t之间的函数关系式； ②在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由． （4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.   考点分析： 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质，二次函数的性质，平行四边形的判定。 题干分析： （1）求出点C的坐标，即可根据A，C的坐标用待定系数法求出抛物线的函数表达式。 （2）求出点B的坐标（3，0），即可由待定系数法求出直线BC的函数表达式。 （3）①分0＜t≤1和1＜t≤2讨论即可。 （4）由点P（1，k）在直线BC上，可得k=－2。∴P（1，－2）。 则过点P且平行于x轴的直线N1N2和在x轴上方与x轴的距离为2的直线N3N4，与y=x²－2x－3的交点N1、N2、N3、N4。  动点有关的典型例题分析，讲解3： 如图，已知抛物线y=ax²+bx+3经过点B（－1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4,0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG,EF=EH=1。直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒。 （1）求此抛物线的解析式； （2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形； （3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形。请直接写出符合条件的t值。   考点分析： 二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角梯形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、矩形和菱形的判定。 题干分析： （1）用待定系数法，将B（－1,0）、C（3,0）代入y=ax²+bx+3即可求得抛物线的解析式。 （2）当直角梯形EFGH运动到E′F′G′H′时，过点F′作F′N⊥x轴于点N，延长E′H’交x轴于点P。根据相似三角形的判定和性质，可用t表示出OP和H′P。分平行四边形E′H′OM是矩形和菱形两种情况讨论即可。 点在运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度、线段、周长、面积及相关的关系)的变化或其中存在的函数关系。 解题策略：对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变的量，不变的关系或特殊关系，善于化动为静，由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形，综合运用各种相关知识及数形结合，分类讨论，转化等数学思想加以解决。 当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解。 |
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