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问题的提出： 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径为36mm，深度为21.6mm。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。 该设计规范在简化后可描述如下：在焦点F正前方25m处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6m。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只需考虑一次反射）。在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 问题分析 由于线光源是均匀分布的，要使线光源功率最小，其长度也应该较小，但若线光源的长度太小，有可能出现C点的光强度小于额定值；若线光源的长度过大，虽然能同时满足B，C两点光强度的要求，但线光源的功率也增大了。我们的目的就是在B，C两点光强度满足题目要求的情况下，求出最优的线光源长度。 建模及求解 在这里只强调把线光源看成是有无数个点光源叠加而成的，而其余的假设略。 以抛物面的顶点为原点O，对称轴为x轴，线光源所在的直线为y轴，过顶点且与平面xOy垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。由题中所给出的数据可求得旋转抛物面的方程是：60x=y^2+z^2. 根据光路的几何原理，线光源发出的光线经抛物面反射后如果能到达B，C两点，则反射点应该在z=0的抛物线60x=y2上，如图2-4-1所示。其中F是焦点。 由题意可知B（25015，1300），C（25015，2600），F（15，0）。 1.能够到达B点的入射光线方程的求法 我日，为什么这么大 画个示意图 由导数的几何意义可知：过P点的法线PN的斜率是 。又根据光线的几何原理（入射角等于反射角）有 。于是将kBPP和kPN代入即得 从而就得到过P点的入射光线的方程为 2.能够到达C点的入射光线方程的求法 同前，易求得能够到达C点且过P点的入射光线方程为 计算机模拟 尽管线光源与起反作用的抛物线是连续型的，但为了使达到B、C两点的光线粒子化，我们不妨将它们看做是间隔足够小（比如0.01mm）的离散型点列。这是一种离散化的处理方法，其本质是连续系统地计算机模拟（见§7.6）。下面使用MATLAB语言来编程，文件名guang.m 第一次的结果 运行程序通过反复实验、比较，我们可以找到满足功率最小时的最优线光源长度约为L=2×1.97=3.94mm，即得到反射光在测试屏上的亮区，如图。
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