平面几何的几个著名问题
一、诡辩问题
定理：任意三角形都是等腰三角形。
证明：如图三角形△ABC，作∠A的角平分线和BC边的垂直平分线，设它们的交点为O。
又过O作AB、AC的垂线，垂足分别是D、E，连结OB，OC。
显然，△AOD≌△AOE，由此
OD＝OE且AD＝AE…………①。
在Rt△ODB和Rt△OEC中，由OD＝OE，OB＝OC，得
△ODB≌△OEC，所以
BD＝CE…………②
①＋②，即得AB＝AC，得证。
推论：任意三角形都是等边三角形。
【思考】
1.解析：结论是谎谬的，问题的根源是图错了，O应在△ABC的外部，且一定在△ABC的外接圆上。
2.非等腰三角形底边上必按中线、角平分、高的顺序或其反序排列.
证明：不妨设AB＞AC，如图，AM、AT、AH分别为中线、角平分和高.
①AB＞AC(BT＞CT，∴T在M的右侧.
②AB＞AC(∠C＞∠B，∴∠BAH＞∠CAH，
∴∠CAH＜∠BAC＝∠CAT，H在T的右侧.
证毕.
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